专题1.4 球（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

本讲义聚焦球的结构特征、截面性质及表面积与体积公式的应用，系统构建从概念理解到实际问题解决的学习支架，涵盖球的定义、截面圆关系、外接球与内切球求法等核心内容，层层递进，逻辑清晰。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养。例如通过“墙角模型”补形法求三棱锥外接球半径，强化空间观念与转化思想；用“独立截面法”分析圆锥内切球问题，培养学生建模意识和运算能力。课中可辅助教师精准突破难点，课后便于学生查漏补缺，巩固公式记忆与解题策略，提升综合应用能力。

专题1.4 球 教学目标 1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养； 2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①了解并掌握球的体积和表面积公式． ②会用球的体积与表面积公式解决实际问题 教学难点：会解决球的切、接问题． 知识点01球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做 球体，简称球 （2）相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 【即学即练】下列命题中正确的是（    ） ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段． A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据球的定义，球的截面的性质判断各命题． 【详解】任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，由球的定义知②正确，由球的截面圆性质知③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确． 故选：C. 知识点02平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即学即练】球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 【答案】C 【分析】利用球的截面性质结合勾股定理求解即可. 【详解】由球的截面性质得，截面面积一定为圆，设圆的半径为， 所以，解得，设球心到截面的距离为， 由勾股定理得，故C正确. 故选：C 知识点03 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练】一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是 ． 【答案】 【分析】利用外接球的直径为长方体的体对角线可求球的半径，从而可求表面积. 【详解】因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球， 故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为， 所以，所以球的表面积为， 故答案为：. 题型01 球的表面积和体积 【典例1】若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】把三棱锥补形成长方体求出外接球直径，进而求出表面积. 【详解】由三棱锥三条棱两两互相垂直， 得该三棱锥与以线段为共点棱的长方体有相同的外接球， 则外接球直径为该长方体的体对角线长， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 【变式1】已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 【变式2】三个球的半径之比为，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 倍． 【答案】3 【分析】设三个球的半径分别为，求出三个球的体积可得答案 【详解】设三个球的半径分别为， 则三个球的体积分别为， 因为， 所以最大球的体积是其余两个球的体积和的3倍. 故答案为：3. 【变式3】已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. 【变式4】已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可由三棱锥构造正方体，利用两者的外接球相同，即可求出三棱锥的外接球体积. 【详解】 由题意，，，，， 故可将三棱锥放在如图以为四个顶点的正方体中， 则三棱锥的外接球即该正方体的外接球，则外接球的直径为， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式，球的体积公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方． 题型02 球的截面 【典例1】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【答案】 【分析】求出球的半径，再利用球的截面小圆的性质列式计算即得. 【详解】令球半径为，则，解得， 所以截面圆的半径. 故答案为： 【变式1】过球面上两个已知点可以作的大圆个数是 . 【答案】一个或无数个 【分析】根据过这两点和球心的平面的个数确定. 【详解】球面上两个已知点与球心不共线时过这三点有且只有一个平面，球面上两个已知点与球心共线时过这三点有无数个平面，所以过球面上两点的大圆个数是一个或无数个， 故答案为：一个或无数个. 【变式2】已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 【答案】8 【分析】由条件可得截面圆的半径，然后由勾股定理列出方程，即可得到结果. 【详解】因为截面的面积是，设截面圆的半径为，即，所以， 且球的半径， 设球心到这个平面的距离为，则，即，解得, 所以球心到这个平面的距离为. 故答案为： 【变式3】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【变式4】已知球O的半径为5，球O有两个半径分别为3和4的平行截面，则这两个截面之间的距离为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】运用球的截面的性质和勾股定理，分两种情况计算可得所求距离． 【详解】设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和， ∴，， ∴， 或． ∴两个截面的距离为1或7． 故答案为：1或7. 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 题型03 独立截面法求内切球问题 【典例1】“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】作圆锥的轴截面图，如图，    由图，为等边三角形，则， 又，所以， 所以在正中，， 设内切球球心为，半径为，则在上，且，， 在中，，所以，解得， 所以外接球表面积． 故答案为：. 【变式1】已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆锥的轴截面，得到内切圆均切于各边的中点，从而得到交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，求出上部分圆锥与圆锥的体积之比，即可得解. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设的内切圆的圆心为， 切、、于、、， 因为为等边三角形，所以、、分别为、、的中点， 设与交于点，的边长为，则，，， 则圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆， 所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 所以所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为. 故选：B 【变式2】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 【变式3】若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果. 【详解】设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点，知， 由题意知：母线与底面所成角为，则，可得， 即，得，则内切球的半径， 所以圆台表面积，球的表面积 所以. 故选：C 【变式4】已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 【答案】 【分析】根据过圆锥及内切球球心的截面图中的几何关系，设圆锥的高为，母线长为，可得，，进而根据圆锥和球的表面积可得. 【详解】 由题意，过圆锥的高及内切球球心的截面图如图，设圆锥的高为，母线长为， 则在中，， 由得，又，故， 代入，可得，得，故， 圆锥的表面积为， 内切球的表面积为，故圆锥表面积与其内切球的表面积之比为， 故答案为： 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 3、利用相似性求出内切球半径. 题型04等体积法求内切球问题 【典例1】如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点A与点重合． （1）设面与面相交于直线，求证：； （2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，可证平面，根据线面平行的性质定理，即可得证 （2）先求得四棱锥五个面的面积，根据等体积法，即可得答案. 【详解】（1），平面，平面， 平面， 平面，平面平面， . （2）设内切球的半径r，内切球的圆心O与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥， 由于， ， ， 平面， ， ，，， ，， 【变式1】一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的几何性质，结合正四面体的性质、三棱锥的体积公式、等积法进行求解即可. 【详解】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为，底面的中心为， 因为正四面体的棱长为，所以底面的，， 所以三棱锥的表面积为.    在底面中，， 则棱锥的高， 所以三棱锥的体积， 由等积法知，得. 用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥， 下部得到一个高为的棱台，那么截得的小棱锥的高为， 即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径， 根据相似关系，截得的棱锥的体积为， 表面积为， 根据等体积法，，解得. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用球和正四面体的性质、等积法. 【变式2】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥有一个内切球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定条件求出三棱锥的体积，连接OA，OB，OC，OP，可得四个小锥体，由小锥体体积和即可求出球半径. 【详解】因平面，则，而，，于是得平面，，而，， 又，，则有， 三棱锥的表面积为， 连接OA，OB，OC，OP，如图： 三棱锥被分割为四个三棱锥，它们的高均为球O的半径r， ， 而，则，得， 所以球的体积为. 故选：C 【变式3】正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则 ． 【答案】 【分析】设点为的中心，连接，并延长交于点，则平面，点为的中点，，四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径为，即，记的中点为，根据求出，即可得出，即可得解. 【详解】如图，设点为的中心，则平面，连接，并延长交于点，则点为的中点，， 则四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上， 设四面体ABCD的内切球的半径为， ， 则， 又， 则，解得，即， 由四面体PBCD的外接球的球心在上，得， 记的中点为，则，， ，所以， 则，所以. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． (2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． (3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． (5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 【变式4】在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，侧面底面ABCD，，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为 ，此时四棱锥的体积为 ． 【答案】 / 【分析】过点P作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】取AB中点M，CD中点N，连接PM，PN，MN，如图，    因是正三角形，则，又ABCD是矩形，有，而平面平面， 平面平面，平面，平面，因此平面，平面， 又，则平面，平面，即有， ，平面，有平面，平面，，而，则， 显然，由球的对称性及四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球O得截面大圆， 此圆是的内切圆，切MN，PM分别于E，F，有四边形为正方形， 令，而，，则球半径， 四棱锥的表面积为， 由得：， 整理得：，即，解得， 因此，，内切球的体积，四棱锥体积. 故答案为：； 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 题型05公式法求外接球 【典例1】已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为 . 【答案】 【分析】根据长方体的几何性质，确定球心与半径，利用球的体积公式，可得答案. 【详解】由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下： 易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心， 则外接球的半径，所以球的体积. 故答案为：. 【变式1】已知一个棱长为1的正方体，它的所有顶点均在一个球面上，则这个球的体积为 ． 【答案】 【分析】先求出正方体的对角线长度，再根据正方体的对角线是其外接球的直径求出外接球的半径，最后利用球的体积公式计算求解. 【详解】设正方体棱长为，对角线为，则，. 因为正方体的所有顶点均在一个球面上， 所以正方体的对角线是该球的直径，即，所以. 根据球的体积公式. 故答案为： 【变式2】一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为 ． 【答案】 【分析】运用球的体积公式，结合长方体外接球知识解题. 【详解】设球的半径为，长方体外接球的直径长等于长方体体对角线长， 即，故， 所以． 故答案为：. 【变式3】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则球的体积为 . 【答案】 【分析】由已知正方体的对角线即为其外接球的直径，由此可求该球的半径，利用球的体积公式可求结论． 【详解】因为正方体的棱长为, 所以正方体的体对角线长为， 又正方体的对角线即为其外接球的直径， 所以该球的半径， 所以正方体的外接球的体积. 故答案为： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 题型06补型法求外接球 【典例1】在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 【变式1】在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图，    则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 【变式2】已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可由三棱锥构造正方体，利用两者的外接球相同，即可求出三棱锥的外接球体积. 【详解】 由题意，，，，， 故可将三棱锥放在如图以为四个顶点的正方体中， 则三棱锥的外接球即该正方体的外接球，则外接球的直径为， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 【变式3】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. . 故答案为： 【变式4】已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】在长方体中构造满足条件的三棱锥，通过求解长方体外接球半径即可求得三棱锥外接球半径，进而求得结果. 【详解】根据三棱锥对棱相等的特点，在长方体中构造三棱锥如下所示： 设该长方体长宽高分别为，由题可知：， 故可得，又该长方体外接球半径，也为该三棱锥外接球半径， 故该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. ①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型） 题设：三条棱两两垂直 ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 题型07单面定球心法求外接球 【典例1】已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面的距离，进而得到点到平面的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值. 【详解】设外接圆的圆心为，半径为. 由正弦定理，在正中，，，则. 因为，所以，即，解得. 已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得. 当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离. 根据正三角形面积公式，可得. 根据三棱锥体积公式，可得. 故答案为：. 【变式1】已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，，，则点D到平面ABC的距离的最大值为 ，球O的体积为 ． 【答案】 4 / 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的体积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径， 所以点到平面的距离的最大值为，球的体积为． 故答案为：4， 【变式2】在三棱锥中，，，，则的长度 ，三棱锥外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】作平面于点，连接，确定四边形为矩形，根据余弦定理即可得，可求得；进而得球的半径，即可计算球的体积. 【详解】如图，作平面于点，连接，， 平面，平面，所以，， 因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，同理得， 四边形为矩形，，则，， 在中，， 由余弦定理得， 即，解得， 设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球即为四棱锥外接球， 即为以，，为棱长的长方体的外接球， 故由得，解得， 所以球的体积为. 故答案为：①；②. 【变式3】三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意该三棱锥为正三棱锥，作出球心，构建勾股定理可得半径. 【详解】 该三棱锥正三棱锥，为底面的中心， 底面，球心在直线上， 底面是边长为的等边三角形，为底面的中心， ，， ， 设外接球半径为R，在中， ，， 所以体积， 故答案为：. 【变式4】如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    【答案】 3 【分析】由题意可知：二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解；根据题意可证平面，进而求外接球的半径和体积. 【详解】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 1．长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的特征和勾股定理求出外接球半径，然后根据公式求出球的体积即可. 【详解】设长方体外接球的直径为， 则根据勾股定理可得. 所以长方体外接球的半径为. 所以长方体外接球的体积为. 故答案为：. 2．如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据三棱锥的外接球即是正方体的外接球，运算得解. 【详解】设正方体外接球的半径为，则，即， 由题，三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 3．已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 【答案】/ 【分析】求出正方体内切球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 4．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】设球心到平面的距离为，球的半径为，根据四棱锥的体积的最大值以及外接球的几何性质列式计算求出半径，即可求得答案. 【详解】设球心到平面的距离为，球的半径为， 由题意可知，当到平面的距离最大，即到平面的距离为时， 四棱锥的体积最大， 即， 又在球面上，设它们所在的小圆的圆心为， 则 则，即，解得， 故球的表面积为， 故答案为：. 5．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 【答案】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 6．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 【答案】 【分析】先求出四棱锥的表面积和体积，再利用等体积法求出内切球的半径，最后根据球的体积公式计算出内切球的体积. 【详解】如图所示，因为四边形为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故为直角三角形， 同理为直角三角形． 因为，，所以， 所以四棱锥的表面积， 体积． 设内切球半径为，则，得， 故四棱锥内切球的体积为． 故答案为：. 7．设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】设球的半径为，根据长方体的体对角线即为球的直径，求出，再根据球的表面积计算即可. 【详解】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 8．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 9．已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接圆圆心为，由题知平面，，根据体积可得，再由及表面积公式即可求解. 【详解】由题知为等边三角形，设其外接圆圆心为，    又的三个顶点都在球的球面上，所以平面， ，， ，解得， 则外接球半径， 所以球的表面积. 故答案为：. 10．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    【答案】 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图      设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得. 故答案为：. 11．已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知圆台下底面为球的大圆，其圆心即为球心。根据球的截面性质可求出球心到上底面的距离，该距离即为圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 12．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，其中，，点为球上一个动点，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】证明是等腰直角三角形，求出的长，即可求出三棱锥体积的最大值. 【详解】由题意， ∵球的半径为，且， ∴三点所在的平面经过球心，BC为球的一条直径． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图， 由几何知识得，当点P位于垂直于平面ABC的直径的端点时，三棱锥的体积取得最大值， 此时, ∴最大值为， 故选：B. 13．如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【详解】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 14．如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点.    (1)求点D到平面AEC的距离； (2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法求得正确答案. （2）先求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】（1）因为正方体中，平面， 由于平面，所以，. 因为正方体的棱长为，E为的中点， 所以. 因为，所以. 设到平面的距离为，， ，解得. （2）设球的半径为，该球的直径为面对角线长，即，， 所以该球的表面积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 球 教学目标 1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养； 2．通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养. 教学重难点 教学重点：①了解并掌握球的体积和表面积公式． ②会用球的体积与表面积公式解决实际问题 教学难点：会解决球的切、接问题． 知识点01球 半圆以它的直径所在直线为 ，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球 （2）相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接 和 上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过 的线段 【即学即练】下列命题中正确的是（    ） ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段． A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 知识点02平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即学即练】球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 知识点03 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练】一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是 ． 题型01 球的表面积和体积 【典例1】若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【变式1】已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】三个球的半径之比为，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 倍． 【变式3】已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 【变式4】已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式，球的体积公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方． 题型02 球的截面 【典例1】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【变式1】过球面上两个已知点可以作的大圆个数是 . 【变式2】已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 【变式3】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【变式4】已知球O的半径为5，球O有两个半径分别为3和4的平行截面，则这两个截面之间的距离为 ． 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 题型03 独立截面法求内切球问题 【典例1】“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【变式1】已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4】已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 3、利用相似性求出内切球半径. 题型04等体积法求内切球问题 【典例1】如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点A与点重合． （1）设面与面相交于直线，求证：； （2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径． 【变式1】一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥有一个内切球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则 ． 【变式4】在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，侧面底面ABCD，，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为 ，此时四棱锥的体积为 ． 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 题型05公式法求外接球 【典例1】已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为 . 【变式1】已知一个棱长为1的正方体，它的所有顶点均在一个球面上，则这个球的体积为 ． 【变式2】一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为 ． 【变式3】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则球的体积为 . 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 题型06补型法求外接球 【典例1】在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 【变式1】在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【变式2】已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 【变式3】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 . 【变式4】已知三棱锥V—ABC，满足，，则该三棱锥的外接球的表面积为 . ①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型） 题设：三条棱两两垂直 ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 题型07单面定球心法求外接球 【典例1】已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 【变式1】已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，，，则点D到平面ABC的距离的最大值为 ，球O的体积为 ． 【变式2】在三棱锥中，，，，则的长度 ，三棱锥外接球的体积为 ． 【变式3】三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 . 【变式4】如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 1．长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 2．如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为 ． 3．已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 4．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为 ． 5．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 6．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 7．设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 8．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为 . 9．已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 10．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    11．已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 12．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，其中，，点为球上一个动点，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 13．如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 14．如图，在棱长为的正方体 中，E为的中点.    (1)求点D到平面AEC的距离； (2)已知球O与该正方体的12条棱相切，求该球的表面积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $