第三章 专题特训六 整式的化简与求值&专题特训七 与整式化简相关的说理问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 专题特训六 整式的化简与求值 类型一整式的化简 (1)这个多项式A. 1.化简： (2)这两个多项式相减的正确结果， (1)3(xy2-2x2y)-2(2x2y-xy2). (2)4x2y-[6.xy-2(3.xy-2)+3x2y]. 5.小明做一道数学题：“已知两个多项 式A=☐x2-4x,B=2x2+3x-4, 试求A+3B.”其中多项式A中最 高次项的系数印刷得不清楚！ (1)小明看过答案以后知道A+3B=x2十 2.如果A=3x2-xy+y2,B=2x2-3xy 5.x一12，请你帮小明求出多项式A中最高次 2y2,那么2A一3B等于多少？ 项的系数“☐”. (2)在(1)的基础上，老师又给出了一个多项 式C,要求小明求出A一C的结果.小明在求 解时，误把“A一C”看成“A十C”,结果求出的 答案为x2一7x一3.请你帮小明求出“A一C” 3.有理数x,y在数轴上对应的点的位置如图 的正确答案 所示，化简：x-y+1-2y-x-3+|y x|+5. 0 (第3题) 类型二整式的求值 (一)化简后直接代入求值 6.先化简，再求值：12xy-3(4x2+xy-2y2) 3(x2+3xy),其中x=3,y=-1. 4.亮亮在计算多项式A减多项式2b一3b- 5时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号 括起来，计算成了A一2b2一3b一5，得到的结 果是b2+3b-1.求： 60 第三章整式及其加减 7.先化简，再求值：2ab+6(分a+ab) (三)利用特征条件代入求值 [3ab-2(1-ab-2ab)],其中a为最大的 9.先化简，再求值：5.x2一 2xy- 负整数，b为最小的正整数 33xy+2)+5x2,其中12x 1|+(3y+2)2=0. (二)整体代入求值 8.阅读材料： 我们知道，4x一2x十x=(4-2+1)x= 3.x.类似地，我们把a十b看成一个整体，则 4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+ 1)(a十b)=3(a十b).“整体思想”是中学数 10.(2023·汕尾期末)已知8x2ay与 学中的一种重要的思想方法，它在多项式的 一3x4y2+b是同类项，且A=a2十 化简与求值中的应用极为广泛， ab-262,B=3a2-ab-662, (1)把(a一b)2看成一个整体，3(a一b)2 2B-3(B-A)的值. 5(a-b)2+7(a-b)2合并同类项的结果是 (2)已知x2-2y=1,求3x2-6y-5的值 (3)已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9, 求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 61 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 专题特训七。 与整式化简相关的说理问题 类型一“无关”型问题 类型二“比较大小”型问题 1.有这样一道题，先化简，再求值：3x2一 3.对任意有理数m,试判断整式一m+3m ar+3y-3）+(+3y+号y 2 5与一4m2+3m一6的值哪个更大. 其中x=一 2,y=2.小明在抄题时，把 “x=一号”错抄成“工=号”，但他计算的结果 2 21 却是正确的.这是怎么回事呢？请同学们先 正确解答该题，然后说明原因. 类型三“不变”型问题 4.如图，建一个长方形苗圃，其中一边 靠墙（墙足够长），另外三边用竹篱 笆围成.已知长方形的长为(6a一 2b+24)米，宽为(b-3a+3)米. 2.学习了整式的加减运算后，老师给同学们布 (1)这个苗圃的长比宽多多少米？ 置了一道课堂练习题：已知a=一2，b= (2)若竹篱笆的价格为每米8元，请你通过 2025,求(3a2b-2ab2+3a)-2(2a2b 计算，说明该苗圃的建造总价是否随α，b的 3a)+2(ah+2a2b)-1的值 取值而变化.若有变化，请说明理由；若无变 化，请求出该苗圃的建造总价。 小明做完后对同桌说：“这道题不给b的值， 照样可以求出结果.”你认为小明的说法正确 吗？请说明原因，并求出多项式的值。 长 (第4题) 62所以x+1=0,y一2=0，解得x= -1,y=2. 当x=-1,y=2时， 原式=3×(-1)°×2-2×(-1)2 2x(-10×2-2=-6-2+8 1 2=-2 16.(1)B=(2A+B)-2A=7x+ 4xy-y-2(3x+xy-2y)=7x+ 4xy-y-6.x-2.xy+4y=x+ 2.xy+3y. (2)2A-B=2(3.x+xy-2y)-(x+ 2.xy+3y)=6x+2xy-4y-x 2.xy-3y=5x-7y. 17.(1)由题意，得2B=3y2+5ay 4y-1+A=3y2+5ay-4y-1+ (y2+ay-1)=4y2+6ay-4y-2. 所以B=2y2+3ay-2y-1. (2)因为B=2y2+3ay-2y-1= 2y2+(3a-2)y-1,B是关于y的多 项式且B中不含一次项， 所以3a-2=0,解得a=号 3 18.(1)原式=2m2+3m-4-3m 4m2+2=-2m2-2. 当m=-1时，原式=-4. (2)设“☐”中的数为x, 则原式=xm2+3m-4一3m一4m2+ 2=(x-4)m2-2. 因为无论m取何值，这个代数式的值 都是一2， 所以x一4=0. 所以x=4,即“☐”中的数是4. 专题特训六整式的 化简与求值 1.(1)原式=3.xy2-6x2y-4x2y十 2.xy2=5.xy2-10x2y. (2)原式=4x2y-(6.xy-6.xy+4+ 3.x2y)=4x2y-4-3x2y=x2y-4. 2.由题意，得2A-3B=2(3x2 xy+y2)-3(2x2-3xy-2y2)= 6.x2-2.xy+2y2-6x2+9.ry+6y2= 7xy+8y 3.由数轴，知x-y十1>0，y-x 3<0,y-x<0, 所以|x-y+1|-2y-x-3|+ |y-x|+5=x-y+1+2(y-x 3)-(y-x)+5=x-y+1+2y 2x-6-y+x+5=0. 4.(1)因为A-2b2-3b-5=b2+ 3b-1, 所以A=(b2+3b-1)-(-2b2- 3b-5)=b2+3b-1+262+3b+5= (b2+2b2)+(3b+3b)-1+5=3b2+ 6b+4. (2)A-(2b2-3b-5)=(3b2+6b+ 4)-(2b2-3b-5)=362+66+4- 2b2+3b+5=(3b2-2b2)+(6b+ 3b)+4+5=b2+9b+9. 5.(1)因为B=2x2+3x-4, 所以3B=3(2x2+3.x-4)=6x2+ 9x-12. 因为A+3B=x2+5.x-12, 所以A=(x2+5.x-12)-(6.x2+ 9.x-12)=x2+5x-12-6x2-9.x+ 12=-5.x2-4x. 所以多项式A中最高次项的系数 “☐”为-5. (2)因为A=一5.x2一4x,A+C= x2-7x-3, 所以C=(.x2-7x-3)-(-5.x2 4x)=x2-7x-3+5.x2+4x=6.x2- 3x-3. 所以A-C=(-5.x2-4x)-(6.x2 3.x-3)=-5x2-4x-6.x2+3.x+ 3=-11x2-x+3. 6.原式=12.xy-12x2-3.xy+6y2 3.x2-9.xy=-15.x2+6y2. 当x=3,y=-1时，原式=-15× 9+6=-135+6=-129 7.原式=2ab+3a2b+6ab2 20 (3a2b-2+2ab+4ab2)=2ab+ 3a2b+6ab2-3a2b+2-2ab-4ab2= 2ab2+2. 因为a为最大的负整数，b为最小的 正整数， 所以a=-1,b=1. 所以原式=2×（一1）×1+2=0. 8.(1)5(a-b)2.解析：3(a b)2-5(a-b)2+7(a-b)2=(3-5+ 7)(a-b)2=5(a-b)2」 (2)3.x2-6y-5=3(x2-2y)-5. 把x2-2y=1代人，得原式=3×1 5=-2. (3)(a-c)+(2b-d)-(2b-c)= a-c+2b-d-2b+c=(a-2b)+ (c-d+(2b-c). 把a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9 代人，得原式=2+9一5=6. 95r2-[2y-3(Gy+2)+ 5x2=5.x2-(2xy-xy-6+5.x2) 5x2-xy+6-5.x2=-xy+6. 因为2x-1|+(3y+2)2=0, 所以2.x-1=0,3y+2=0. 1 2 所以x=2y=一3 所以原式=一xy十6=一 2 (号)+6号 10.因为8.x2ay与-3.x4y2+b是同 类项， 所以2a=4,1=2+b. 所以a=2,b=-1. 因为A=a2+ab-2b2,B=3a2- ab-662, 所以2B-3(B-A)=3A-B= 3(a2+ab-2b2)-(3a2-ab 6b2)=4ab. 当a=2,b=-1时，原式=4×2× (-1)=-8. 专题特训七与整式化简 相关的说理问题 1.因为原式=号2-32-3wy十 + 2 32+3y+y2=y, 所以结果与x的取值无关 所以虽然小明在抄题时，把“x= 一子“结抄成“x子，但他计算的结 果依然是正确的. 2.小明的说法正确， 原式=3a2b-2ab2+3a-4a2b+ 6a+2ab2+a2b-1=9a-1. 因为9a一1与b的取值无关 所以这道题不给b的值，照样可以求 出结果。 当a=一2时，原式=一18一1=一19. 3.由题意，得二号m2+3m-5 (-4m2+3m-6)= 2m2+3m 3 5 5+4m2-3m+6=2m2+1. 因为号m2+1>0. 所以对任意有理数m,一 3 2m2+ 3m-5>-4m2+3m-6. 4.(1)因为长方形的长为(6a一2b+ 24)米，宽为(b-3a+3)米， 所以(6a-2b+24)-(b一3a+3)= 6a-2b+24-b+3a-3=(9a-3b+ 21)米. 所以这个苗圃的长比宽多(9a一3b十 21)米 (2)该苗圃的建造总价不随a,b的取 值而变化 因为竹篱笆的总长为(6a一2b+ 24)+2(b-3a+3)=6a-2b+24+ 2b-6a+6=30(米)， 所以竹篱笆的总长与a,b的取值 无关 所以建造总价与a,b的取值无关， 因为竹篱笆的价格为每米8元， 所以该苗圃的建造总价为30×8 240(元) 3探索与表达规律 1.A解析：由图形和算式规律，得 103+1=52,所以1+3十5+7+…+ 2 103=522=2704. 2.C 3.n2×(n+1)一(n+1)=(n+1)2× (n-1) 4.设小亮所想的数为x,则10(x+ 2)-19=10x+20-19=10x+1. 所以小明只要将小亮告诉他的最后结 果先减去1，然后除以10，所得的数就 是小亮所想的数. 5.C解析：从格于上面的数1,3,5， 可以推出m=7.第一个格子中：3= 1×2+1:第二个格子中：15=3×4+ 3:第三个格子中：35=5×6+5.所以 第四个格子中：n=7×8+7=63, 6.B 7.(4n十4)解析：因为题图①中有 4×(1+2)-4=8(个)白色长方形，题 图②中有4×(2+2)一4=12（个）白 色长方形，题图③中有4×(3+2) 4=16(个)白色长方形，…，所以第⑦ 个图中有4×(n+2)-4=(4n+4)个 白色长方形 8.2+1一220-20解析：由题 意，得2+22+23+…+2”=2+1-2. 所以2100+210+2102+…+219明= (2+22+…+219)一(2十22十…十 299)=(220-2)-(210-2)= 2200-2100」 9.n2十n一1解析：观察题图中三角 形的个数与图形的序号之间的关系， 有如下规律：第1个图形中三角形的 个数是1+0：第2个图形中三角形 的个数是22+1：第3个图形中三角 21 形的个数是32+2：第4个图形中三 角形的个数是42十3…所以第n个 图形中三角形的个数是n2十1一1. 一方法归纳 规律探索题的类型及解题方法 规律探索题通常分为两类：一 是数式规律探索题，二是图形规律 探索题.解题的关键是从特殊到一 般，得到一般规律，并能用含有序 号的算式表示出来，进而解决问 题.注意有时得到的变化规律不一 定正确，需要进行验证」 10.第1次钟声响起为1时， 那么第2次在2×1一1=1(h)后，即 2时响起： 第3次在2×2-1=3(h)后，即5时 响起； 第4次在2×5一1=9(h)后，即14时 响起； 第5次在2×14一1=27(h)后，即 17时响起； 第6次在2×17-1=33(h)后，即 2时响起… 从第2次开始，4次为一个循环 因为(2025-1)÷4=506， 所以第2025次响起为17时. 所以第3次响起为5时，第2025次响 起为17时. 11.(1)72.解析：设悠悠想的两位 数的十位上的数字为m,个位上的数 字为n.依题意，得2(5n一3)十m= 21,即10m6+m=21,所以10m+ m=27.因为1≤m≤9,0≤n≤9且 m,n为整数，所以m=7,n=2.所以 丽丽的答案为72. (2)能. 设十位上的数字为a,个位上的数字 为b,则心里想的数为10a+b: 依题意，得计算的结果为(5b一3)× 2+a=10b-6+a=10b+a-6. 所以计算的结果加6，并且交换十位