第三章 整数及其加减 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

上的数字与个位上的数宇即可得到心 里想的数， 12.(1)43;n2+n十1.解析：由题 图，知第6层等号左侧的第一个数是 62=36.所以第6层等号右侧的第一 个数是36+6十1=43.因为第n层等 号左侧的第一个数是n2,所以第n层 等号右侧的第一个数是n十1+1. (2)由题意，知第n层等号左侧的第 一个数是n2. 因为442=1936,452=2025， 所以442<2023<452. 所以数2023排在第44层 (3)由题意，知第99层等号右侧最后 三个数是1002-1,1002-2,1002一3. 所以(1002一1)+(1002一2)+ (1002-3)=3×10000-6=29994. 所以第99层等号右侧最后三个数的 和为29994. 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1因为多项式一子y十 xy-3y2+8是八次四项式， 1 所以2+m+1=8. 所以m=5. 又因为5.x”ym的次数与该多项式 的次数相同， 所以n+6-m=8,即n=7. [变式]D解析：多项式3x,义的 一次项是号，故A情误：多项式 2x2+xy+3是二次三项式，故B错 误：单项式a的次数是1，系数为1，故 C错误：单项式-xyz2的系数为-1， 次数是4，故D正确。 典例2(1)(4x2+a.x3y+b) (2bx2-4x+3y-1)=4x2+a.x 3y+b-2bx2+4x-3y+1=(4 2b)x2+(a+4)x-6y+b+1. 因为化简结果中没有x, 棋子颗数是3×(1+2+…+6)=3× 所以4-2b=0,a+4=0. 21=63. 所以a=一4，b=2. 3.答案不唯一，如a3十ab十3 (2)3(a2b-ab2)-2(a2b+1)+ 4.3解析：因为a,b互为相反数，所 3ab2-2=3a2b-3ab2-2a2b-2+ 以a+b=0.所以6(a2一2a) 3ab2-2=a2b-4. 3(2a2+4b-1)=6a2-12a-6a2 将a=一4，b=2代人，得原式= 12b+3=-12(a+b)+3=一12× (-4)2×2-4=28. 0+3=3. (3)由题意，得a+3=0,b一1=0，解 5.一26解析：把x=2代人程序中， 得a=-3,b=1. 得10-22=10-4=6>0.把x=6代 代人(2)中化简后的a2b一4中，得原 入程序中，得10一62=10一36= 式=(-3)2×1-4=5. 一26<0.所以最后输出的结果 [变式](1)-1；2；-3：-0.5. 是-26. (2)5ab-[2a2b-3(2abc-a2b)+ 6.一2a+3b+4c解析：根据题意， Aabc=5ab-(2ab-6abc+3ab+ 得a<b<0<c,且a>|c>|b,所 4abc)=5a2b-2a26+6abc-3a2b- 以a十b<0,c-a>0,b+c>0.所以 Aabc=2abc. 原式=-a+2a+2b+3c-3a+b+ 当a=-1,b=2,c=-3时，2abc= c=-2a+3b+4c. 2×(-1)×2×(-3)=12. 2 7.原式=x-2x+3) 典例3(4+5n)解析：由题意，知 3x十 第1个图形中小正方形的个数是9= 3y2-2z+2-2-(-4号)z+ 4+5×1,第2个图形中小正方形的个 3y2-2. 数是14=4十5×2，第3个图形中小 正方形的个数是19=4+5×3，…，故 由题意，知k一4号-=0，解得及=4号 第”个图形中小正方形的个数是4十 2 8. (-15a+3ab)+ (2ab- 5 5×n=4+5. [变式]一8解析：根据题图，不难 10a)-4(ab+3b)=-10a+2ab+ 得出运算的结果为第一行的数与第二 5ab-2a-4ab-12b=-12a 行左边的数的积再与第二行右边的数 的差，所以一3×5一（一7）=一8. 、8b12b=12(a十b)二56、 [综合素能提升] 当a+b=9,ab=20时， 1.B 解析：因为2x"+y3与 原式=-12x9-号×20=-10， 3xy是同类项，所以n十1=4，所 9.(1)当x=100时， 以n=3. 方案一：100×500=50000（元）. 2.A解析：因为第①个图形的棋子 方案二：100×80%×(500+160)= 颗数是3=3×1，第②个图形的棋子 52800(元). 颗数是9=3×(1十2)，第③个图形的 因为50000<52800， 棋子颗数是18=3×(1+2十3)… 所以方案一划算 所以第@个图形的棋子颗数是3× (2)当x>100时 (1+2+…+n).所以第⑥个图形的 方案一：100×500+160×(x- 22 100)=(160x+34000)元 方案二：(100×500+160x)×80%= (128x+40000)元. (3)当x=300时， ①按方案一购买的费用：500×100+ 160×(300-100)=82000(元). ②按方案二购买的费用：(100× 500+160×300)×80%=78400(元). ③先按方案一购买100张办公桌，同 时送100把椅子，再按方案二购买 200把椅子的费用：100×500+160× 200×80%=75600(元). 因为82000>78400>75600， 所以先按方案一购买100张办公桌， 同时送100把椅子，再按方案二购买 200把椅子最省钱. 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 1.D2.两点之间线段最短 3.(1)如图，直线AB,射线AC,线段 BC即为所求作， (2)如图，线段AD和线段DE即为 所求作（画法不唯一）. (3)图中共有8条线段，6条射线 B D C (第3题) 4.因为D为线段BC的中点，CD 18 mm, 所以BC=2CD=2×18=36(mm) 因为AB=48mm, 所以AC=AB-BC=48-36= 12(mm), 所以AD=AC+CD=12+18= 30(mm). 所以线段BC的长为36mm,线段 AD的长为30mm. 5.D解析：因为M是AB的中点， V是BC的中点，所以MB=2AB- 合×12=6(em.NB=2x=2× 4=2(cm).①如图①，当点C在线段 AB上时，MN=MB-NB=6-2= 4(cm).②如图②，当，点C在线段AB 的延长线上时，MN=MB十NB= 6+2=8(cm).综上所述，线段MN的 长是4cm或8cm. A M C N B ① M B N C ② (第5题) 6.B解析：如图，因为C是线段AB 的中点，AB=9,所以AC=BC= AB=4.5.当D是线段AB的三等 1 分点，点D在线段BC上时，BD= 合AB=3,所以CD=45-3=1.5 当D是线段AB的三等分点，点D 在线段AC上时，AD=子AB=3,所 以CD'=4.5-3=1.5.综上所述，C, D两点间的距离为1.5. A D'CD B (第6题) 7.D解析：AB=AC+CD+DE EB=a+a+b-c=2a+b-c. 8.(1)是解析：因为点C在线段 AB上，C为线段AB的中点，所以 AB=2AC.所以C是线段AB的 “巧点”. (2)4或6或8解析：因为AB= 12cm,C是线段AB的“巧，点”，所以 若点C在中点的左边，则AC=12× 3=4(cm):若点C在中点上，则 AC=122=6(cm):若点C在中点 的右边，则AC=12×号=8(cm).综 3 上所述，AC的长为4cm或6cm或 23 8 cm. 9.190解析：由题意，可得出规律： n条直线两两相交最多有”。业个 2 交点.所以20条直线两两相交最多有 190个交点 一方法归纳 两个要素确定一个基本 图形问题的通用结论 因为两点确定一条直线，两点 确定一条线段，两条直线相交有 个交点…所以在数学本质上，它 们可以转化为一类问题，即每两个 要素确定一个基本图形（或一个组 合)的问题.解决这类问题的通用 结论：若有n个要素，则最多组成 的基本图形（或组合）的个数为 n(n-1) 2 在实际生活中，有许多问 题可转化为这种类型的问题，如每 两人握一次手的握手次数问题，每 两支球队打一场比赛的比赛场次 问题，每两个站，点间一种票价的票 价问题等」 10.1)CQ:7:BQ. (2)因为BQ=3米，BC=2BQ, 所以BC=2BQ=6米. 所以CQ=BC+BQ=6+3=9(米). 因为Q是AC的中点， 所以AQ=CQ=9米， 所以AC=AQ+CQ=9+9=18(米). 所以AC的长是18米. 11.如图，画一条射线，依次截取 AB=a,BC=c,然后在线段AC上截 取CD=2b,则线段AD=a+c一2b, 即为所求作。 A BD (第11题) 12.(1)①=. 解析：因为AB= CD,所以AB+BC=CD+BC,即 AC=BD.第三章整式及其加减 第三章整合拔尖 》“答案与解析”见P22 壁]知识体系构建 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式，单独一个数或 代数式 代数式的概念 一个字母也是代数式 列代数式 求代数式的值，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值 数与字母的乘积的代数式叫作单项式，单独一个数或一个字母也是 定义。单项式 整式 单项式 系数。单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 次数。一个单项式中，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数 定义。几个单项式的和叫作多项式 整式及其加减 项在多项式中，每个单项式叫作多项式的项 多项式 次数。一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数 项数、多项式中单项式的个数叫作多项式的项数 整式的 同类项。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项 加减 合并同类项法则。合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号 都不改变 去括号法则 括号前是“一”，把括号和它前面的“一”去掉后，原括号里各项的符号 都要改变 探索与表达规律 9)高频考点突破 考点一整式及其有关概念 变式]下列结论中，正确的是 典例1已知关于的多项式一号十 A多项式3xy的一次项是3z 7 2y2-3y2+8是八次四项式，单项式 B.多项式2x2+xy十3是四次三项式 C.单项式a的次数是1，系数为0 5.x”y-m的次数与该多项式的次数相同，求m, D.单项式一xyz2的系数为一1，次数是4 n的值 考点二整式的加减运算及化简求值 典例2(1)化简代数式(4x2+a.x-3y+b) (2bx2-4x+3y一1)时，最后化简结果中没有 x,请你确定a与b的值 (2)在(1)的条件下，计算3(ab-ab)-2(ab+ 65 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 1)+3ab2-2的值. 考点三规律探索 (3)若(a+3)2+|b-1|=0,求(2)中代数式 典例3中国结象征着团结、幸福和平安，常用 的值 于表达这些美好祝愿.如图①所示为中国结的手 工编织品，它是按照一定的规律编制而成的.如 图②所示为由其抽离出的平面图形，第1个图形 中有9个小正方形，第2个图形中有14个小正 方形，第3个图形中有19个小正方形…按照 这一规律，第n个图形中有 个小正方 [变式]如图所示为一个正方体纸盒的平面展开 形（用含n的代数式表示）. 图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数. (1)填空：a= ,b= ,C= ,d= 第1个图形第2个图形第3个图形 ① ② (2)先化简，再求值：5a2b-[2a2b-3(2abc (典例3图) a2b)+4abc. [变式]观察图①②③的运算过程并找出规律， 则 的值为 /5 -7 (b-2) =-10 =26 0.5 /-3 5 -5-6 综合素能提升 1,已知2xy与号ry是同类项，则的值是 第⑥个图形的棋子颗数是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图所示的图形都是由同样大小的 ⊙ (第2题) 棋子按一定的规律组成的，其中第 A.63B.84C.108D.152 ①个图形有3颗棋子，第②个图形 3.请写出一个三次三项式： ,满足以下 有9颗棋子，第③个图形有18颗棋子…则 条件：①含字母a和b;②常数项是3. 66 第三章整式及其加减 4.如果a,b互为相反数，那么6(a2一2a)一9.(2024·焦作温县期中)某家具厂生 3(2a2+4b-1)的值为 产一种办公桌和椅子，办公桌每张 5.按照如图所示的程序运算，若输入x的值是 定价500元，椅子每把定价160元 2,则输出的结果是 厂方在开展促销活动期间，向客户提供了两 种优惠方案： 输入x10-<<0】 是，输出 方案一：每购买一张办公桌就赠送一把椅子： (第5题) 方案二：办公桌和椅子都按定价的80%付款. 6.有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示， 某公司计划添置100张办公桌和x把椅子. 化简：la|-2|a+b|+3|c-a|+|b+c|= (1)若x=100,则哪种方案划算？ (2)若x>100,请用含x的代数式分别把两 种方案的费用表示出来 (第6题) (3)若x=300,请帮助公司设计一种最省钱 7.当x=5y=4.5时，求x-2(x-3y）+ 的购买方案 (号+）-2x一y+1)的值一名同 学做题时，错把x=5看成x=一5，但结果也 正确，且计算过程无误，求k的值！ 8已知a+h=9,ah=20,求号（-15a+3ab)+ 号(2a6-10a)-4a6+3动)的值 67