第二章 专题特训五 有理数中的易错易混问题&整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

(3)(-28)×(-0.125)+(-28)× 8-28×(-)=(-28)×(-8十 8-号)=-28×(-号)=16 425×()-16÷() 30×号=25×（号）-16× ()-30×品=-25×号 16×号-30×号=(-25+16 30×号=-0×号-6 6)(-12)÷1.4-(-83) -1.0+0÷1.4=-12号× -8×号+9×号 5 7 (12号-83+9)=号× (要)要 3.(1)小莉的解法比较简便. (2)有 答案不唯一，如原式=(2-)× （-8)=72X(-8)-16×(-8)= -576+2 =-5752 (3)能 原式=-(10-的)×198=（码 10)×198=0×198-10×198 2-19800=-19798. 4.令M=1+7+7+73+…+ 7224十725①， 所以7M=7+72+73+74+…+ 72s+72②. ②-①，得6M=72s-1, 解得M=72-1 6 所以1十7+72+73+…+7225= 处 0-(吧-）×号 8c8 =(02-02+++是 I I'I +…+X8+8+X3(2) 2 酱-（件） ×-(件+0+￥9 +是-+片-)×是-0 ++8X9++09 ×克专=() ×01+.(9)×6+…+() ×市+，（气）×8+×+Ing 学号 -名-()×-。-() ×s-(）×若-6=N鹅 ·() ×o-.(片)×冬-会=.() ×o-.()++.()+.() +,（)++I=w号的②-四 @()×01+.() ×6+…+,(片)×t+() ×c+.（)×+是×1=wM8 0.() x0+.（)×6+…+.（号)×f +,()×8+×+I=w专s ，9 【-920z2 专题特训五有理数中的 易错易混问题 1.D解析：因为圆的直径为1个单 位长度，所以该圆的周长为元所以当 圆沿数轴向左滚动1周时，点B表示 的数是一π一1：当圆沿数轴向右滚动 1周时，点B表示的数是π一1. 2.D解析：因为a=7,b= |-2,所以a=±7，b=±2.因为 a<b,所以a=一7，b=2或a=一7， b=-2.当a=-7,b=2时，a b=-7-2=-9:当a=-7,b=-2 时，a一b=一7一（一2）=一7+2= -5.综上所述，a-b的值是一9 或-5. 3.D解析：根据题意，得(m-2)2= (-4)2=16,所以m-2=4或m 2=一4，解得m=6或m=-2, 4.一4或-8解析：因为a,b互为 相反数，c,d互为倒数，数轴上表示数 m的点到表示数一2的点的距离是4， 所以a+b=0,cd=1,m=2或-6.所 以当m=2时，3a-2cd+3b-m|= 3(a+b)-2cd-|2|=0-2-2 -4:当m=-6时，3a-2cd+3b m=3(a+b)-2cd--6=0 2-6=-8.所以3a-2cd+3b m的值为一4或一8. 5.由题意，可知m=士5，n=士6. 当m=5,n=6时，m十n=11; 当m=5,n=-6时，m十n=-1; 当m=-5,n=6时，m十n=1; 当m=-5,n=-6时，m+n=-11. 综上所述，m十n=士11或士1. 6.(1)① (2)(-48)÷36×(-号) =-48× ×(日）-动 7.1)-1-(1-0×4)÷3× [-2)-61=-1-1-0÷号× 4-6)=-1-1÷×(-2) -1-1×3×(-2)=-1+6=5. (2)-32÷(-2)2×-13 11 ×6十 4 (-2)3=一9÷4× 3 ×6+ 8)==9X4X5X6-8 -18-8=-26. 第二章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)负有理数集合：{-3， -3.14,-(+5),-22,…}. (2)整数集合：{-3,0,20， -(十5)，-22，…. 222 (3)分数集合：3，号，-3.14， +1.88,… [变式]-0.2，- 5 +3,0,72 典例2因为a,b互为相反数， 所以a十b=0. 因为c,d互为倒数， 所以cd=1. 因为x的立方等于一8， 所以x=一2. 所以3(a+b)+cd+x=0+1+ (-2)=-1. [变式]因为a,b互为相反数，c,d 互为倒数，m的绝对值为3， 所以a+b=0,cd=1,m=土3. 当m=3时，2024(a+b)2 2025 4cd=2024x0 -3+4×1=0-3+ 2025 4=1: 当m=-3时，2024a+b)2 -m+ 2025 4cd=2024X0 2025 -(-3)+4×1=0+ 3+4=7. 综上所述，2024+>m十4d的 2025 值为1或7. 典例3C解析：1582亿=1582× 108=1.582×10 [变式](1)2.25×10=225000. (2)-6.32×103=-6320. (3)3.1536×10=31536000 典例4一42÷(-18)×(-5)× (8)-1]=-16÷(-18× (侵-)=号×g [变式](1)原式=-4+|-3|+ 24÷(-3)=-4+3+(-8)=-1+ (-8)=-9. 2)--6×[3+(-3)]÷ (-12)=-1-×12× ()=-1+音 [综合素能提升] 1.B2.B 3.B解析：由题意知，40十☐× (-2)=50,则口=(50-40)÷ (-2)=10÷(一2)=一5.所以40÷ (-5)×(-2)=(-8)×(一2)=16. 4.D解析：由题意，得孩子自出生后 的天数是2×53+1×5+3×5+ 4=294. 5 解析：由题意，可得23 16-2-号= 33 2 6解析：由题意，得[()※ (-6)※5=-(-号)×(-6)]※ 5=(-2)※5=-2÷5=- 2 7.-1解析：因为工<0，所以x,y 15 异号.所以xy<0.所以y y=-1.当x>0时，y<0,则 xy 方=六=1，兰=1，所以 xx 原式=-1-1+1=-1.当x<0时， >0则片=子= ,l=二x= 一1，所以原式=一1十1-1=一1.综 上所述，原式的值是一1. 8(1)原式=-9×2-8×(-8）× 5=18+5=-13. (2)原式-[1是-（号×24+日× 24-是×24)】÷(-5-[14 (9+4-18)]÷(-5)=(贾+5)× ()=器×()+5× (号)=-+(-1D=-1是 (3)原式=(-125)×(-号)+32÷ (-40×(-9)=75+10=85. (0原式=÷×1-(g×48+ 号×48-4×48)=1-(66+64 132)=1-(-2)=3. 9.由题意知，a十b=0,cd=1,x=2, y=1,则原式=3×2-1+号×0 12025=6-1+0-1=4. 10.(1)根据题意，得(-3)×(-4)÷ 2+(-1)-2=12÷2-1-2=6-1 2=3. (2)根据题意，得4×(-4)÷2+ (-1)一·=8，解得·=一17. 11.(1)当点D在点B的左侧时，点 D表示的数为10-30=-20： 当点D在点B的右侧时，点D表示 的数为10+30=40. 所以点D表示的数为一20或40. (2)设运动时间为t秒， 由题意，得蚂蚁表示的数为一30+3， 毛毛虫表示的数为10十t. 所以蚂蚁和毛毛虫在点E处相遇 时，一30十3t=10+1,解得t=20. 所以点E表示的数为10十20=30. 第三章整式及其加减 1代数式 第1课时代数式 1.C解析：③⑤⑥这些式子中含有 不等号或等号，所以不是代数式.①② ④⑦都是代数式，所以是代数式的有 4个. 2.B 3.B解析：0.7m即在原价的基础上 打7折，-10即降价10元. 4.(3m十7n)解析：根据题意，得买 3个篮球需要3m元，买7个排球需要 71元，则共需(3m十7)元. 5.x2)2 3 3 6.当a= ,b= 1,c=3时， 2ac-4a6=2×(-2）×(-1)× 3-4×(-2)×(-1D2=3+2=5, 易错警示 求代数式的值的注意点 1.恢复乘号：在含有字母的乘 法里，乘号通常写作“·”或省略不 写，反过来，将代数式中的字母换 成数后，原来省略的乘号要恢复， “·”也要恢复成“X” 2.添加括号：字母简洁，本身 具有整体性，但将字母换成负数或 分数时，常要根据实际情况，添加 括号，以体现整体性，避免混淆运 算顺序 7.C 8.C解析：在组成的四位数中，b原 本是一个一位数，居于千位的位置后， 代表b个1000，a原本是一个三位 数，其数值不变，所以这个四位数是 1000b+a. 9.B解析：此题需先将三家超市的 价格计算出来，再作比较.甲超市： (1-20%)2m=0.64m(元/件)：乙超 市：(1一40%)m=0.6m(元/件)：丙 超市：(1一30%)×(1一10%)m= 0.63m(元/件).易知乙超市的价格最 低，所以应去的超市为乙 10.25解析：因为x=-3,y=2,所 以x<y.所以(x-y)2=(-3一 2)2=25,即输出的结果是25. 11.11解析：由题意，可得a- 2a=5,所以2a2-4a+1=2(a2- 2a)+1=2×5+1=11. 一方法归纳 代数式求值的技巧 代数式求值的考查方式通常 是先给定某（几）个字母或式子的 值，或给定某个等式，再求相关的 代数式的值，解题时除了直接代入 求值外，还要掌握常用的技巧，如 整体求值、整体变换、整体代入、多 次代入、特殊值代入等， 12.(1)21+1;53:2"+. (2)C. 13.(1)0.5:85. (2)因为x本书的高度为0.5.xcm, 课桌的高度为85cm, 所以高出地面的高度为(85十 0.5.x)cm. (3)当x=56-14=42时，85+ 0.5x=106, 所以余下的数学课本高出地面的高度 为106cm. 14.(1)S豫色=22+(.x-2-2)× 4+2)-x·(2)=4+6x 16 24-3x×9=(6x-20-号平 方米 (2)当x=9,π取3时，S涂色≈54 20-号-号（平方*. 15.(1)[1600+200(x-2)]: [0.9(1600+200.x]. (2)当x=5时，方案一：1600+200× (5-2)=2200(元)， 方案二：0.9×(1600+200×5)= 2340(元). 因为22002340， 所以按方案一购买较为合算. 第2课时整式 1.C2.D3.①③④⑦②⑤⑥ 4四三号 5.如图所示. 单项式2m的系数为2：-abc的系 数为-1：a的系数为1：-x的系 数为一2 1 多项式ab十c的最高次项为ab,次数 为2：a.x2十c的最高次项为a.x2,次数 为3：y十2的最高次项为y,次数 为1. 2m,-ab'c, ab+c,ax+c, a,0,2x y+2 … 单项式 多项式 (第5题) 6A解析：单项式3，心的次数是 2 2,系数为- ，故选项A正确 9 2 y的系数是- 3,故选项B 错误.-5.x2y3+4xy2-1的次数是 5故法项C错说是多项式。 故选项D错误. 7.B解析：多项式m2-2m-1与 mm十n十3属于同一类，即都是二次第二章有理数及其运算 专题特训五有理数中的易错易混问题 )“答案与解析”见P14 易错点一忽视分类讨论问题 计算：(-48)÷36×(-号月 1.(2024·信阳息县期中)如图，圆的直径为 解：原式=（一48）÷（一4）① 1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示 =12②. 一1的点重合.将圆沿数轴滚动1周，点A到 问题： 达点B的位置，则点B表示的数是() (1)上述解题过程中，从第 步开始 出错（填序号） -3-2 0 (第1题) (2)写出本题的正确解答过程. A.π-1 B.-元-1 C.-π+1 D.π-1或-π-1 2.已知a=7,1b|=|-2|,且a<b,则a-b 的值是 () A.9或5 B.-9或5 C.9或-5 D.-9或-5 3.如果一个比m小2的数的平方等于（一4）2， 那么m的值为 () 易错点三混淆底数加与未加括号 A.-4 B.±4 7.计算： C.-2 D.-2或6 4.(2024·韶关翁源期中)已知a,b互为相反 )-1-1-0X40÷3× 数，c,d互为倒数，数轴上表示数m的点到 [(-2)2-6]. 表示数一2的点的距离是4，则3a一2cd+ 3b-|m的值为 5.已知|m=5,n=6,求m+n的值， (2)-3÷(-2)×-13×6+(-2. 易错点二混淆有理数的运算顺序 6.下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解 题过程，然后解答所提出的问题 45 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第二章整合拔尖 知识体系构建 有理数的 有理数。整数与分数统称有理数 有关概念 如果两个数符号不同，数量相等，那么称其中一个数为另一个数的相反数， 相反数.0的相反数是0 正数的绝对值是它本身 绝对值 负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 数轴。规定了原点、单位长度和正方向的直线 倒数。如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数 有理数及其运算 正整数 有理数的 整数 0 分类 负整数 正分数 分数了 负分数 有理数的 利用数轴比较大小。数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大 大小比较 利用正负性质比较大小。正数大于0，负数小于0，正数大于负数 利用绝对值比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 有理数的 加法 异号两数相加，绝对值相等时和为0：绝对值不等时，取绝对值较大的数的 符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 运算法则 个数同0相加，仍得这个数 减法减一个数，等于加这个数的相反数 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 乘法 任何数与0相乘，积仍为0 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 除法0除以任何非0的数都得0 除以一个数等于乘这个数的倒数 乘方。求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 混合运算。先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的 46 第二章有理数及其运算 交换律。a十b=b十a 运算律 加法 结合律，(a+b)+c=a+(b+c) 交换律。aXb=bXa 有理数及其运算 乘法 结合律，(aXb)×c=aX(bXc 对加法的分配律aX(b十c)=aXb十aXc 个大于10的数可以表示成a×10的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种记数 科学记数法 方法叫作科学记数法 计算器的使用、近似数 91高频考点突破 考点一 有理数及其分类 变式]已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m 典例1把下列各数分别填入相应的集合里： 的绝对值为3，求2024(a+b)2 一m+4cd的值. 2025 2 22 -3,号0，号，-3.14,20.-（+5).+1.8. -7,-2. (1)负有理数集合：{ …〉. (2)整数集合：{ …}. 考点三科学记数法 (3)分数集合：{ …}. 典例3(2024·南通)2024年5月，财政部下达 [变式]将下列各数分别填在相应的横线上： 1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城 3 -6,+3,-0.2,20,-号-11,2.4x,72. 乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制.将 “1582亿”用科学记数法表示为 () 负分数： ;非负整数： A.158.2×109 B.15.82×101 考点二绝对值、相反数、倒数 C.1.582×10 D.1.582×101 典例2已知a,b互为相反数，c,d互为倒数， 提示 x的立方等于-8，求3(a十b)十cd+x的值. 先进行单位换算，再用科学记数法表示 提示 互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之 [变式]下列用科学记数法表示的数原来分别是 积为1，由此可得a十b=0,cd=1.由题意，可得x的 什么数？ 值，最后代入进行计算即可. (1)2.25×105 (2)-6.32×103 (3)按365天计算一年有3.1536×10秒. 47 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 考点四有理数的运算 [变式]计算： 典例4计算-f÷(-18×-5×(高)- (1)-22+5-8|+24÷(-3). 提示 进行有理数的运算时，要注意按照运算顺序进 行，也可以运用运算律改变运算顺序，简化运算.注意 有理数的所有运算，都要先确定符号 (2)-1-6×[3+(-3)]÷(-12): 综合素能提升 1.(2024·烟台芝采期末)在一（一1），一5,5.若用科学计算器进行计算，其按键顺序如图 (一》，-1-41中，正数的个数为（) 所示，则输出的结果为 (②®3⊙①(6⊙ A.1 B.2 C.3 D.4 2.《孙子算经》记载：“量之所起，起于 ②G⊙9⑧②eE 粟六粟为一圭，十圭为一撮，十撮 (第5题) 为一抄，十抄为一勺，十勺为一 -mn(m≥n) 6.我们规定m※n={ 合…”已知6粟=1圭，10圭=1撮， m÷n(mn) 10撮=1抄，10抄=1勺，10勺=1合，则 ※5= 8合为 ( 则)※(-6) A.4.8×104粟 B.4.8×105粟 C.8×104粟 D.8×105粟 7对打布理数，号0则号+立 3.小林在计算“40÷☐×（一2）”时，误将“÷”看 的值元 成“+”，结果得50，则40÷☐×（一2）的值为 () 8.计算： A.10B.16 C.-12 D.-18 (1)-(-3)2×2-8×(-2)×-2-3, 4.我国奇书《易经》记载，远古时 a 期，人们通过在绳子上打结来 计数，即“结绳计数”.如图，一 位母亲在从右到左依次排列 (第4题) 的绳子上打结，满5进1，用来 记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自 出生后的天数是 ( ) A.10B.89 C.165D.294 48 第二章有理数及其运算 2l7(层+8》×24÷(- 10.如图，某数学活动小组编制了一道 有理数混合运算题，即输入一个有 理数，按照自左向右的顺序运算 可得结果，其中“.”表示一个有理数， (1)若·表示2，输入数为一3，求输出结果 (2)若输出结果为8，且输入的数是4， 求·表示的数 (3)(-5×(-）+32÷(-2)x(-1) 输入一个数 乘-4日 除以2→加上1→减去· /输出结果 (第10题) 4(-÷(2×(-1-(18+ 1写-2)×48 11.如图，A,B为数轴上的两个点，点A表示的 数为一30，点B表示的数为10. (1)若点D在数轴上，且BD=30,写出点 D表示的数 (2)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒 向右运动3个单位长度；同时一只毛毛虫从 9.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，数 点B出发，在数轴上每秒向右运动1个单位 x对应的点位于数轴正半轴上且到原点的距 长度，它们在点E处相遇，求点E表示 离为2，y是最小的正整数.求3x一cd+ 的数. 3Ca+b)y2o的值 0B (第11题) 49