第二章 1 认识有理数-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

(2)该几何体的体积为1×1×1× 10=10(cm) (3)1×1×2×(6+6+6)+4×1× 1=40(cm). 所以该几何体的表面积为40cm. 2 11 312 从上面看 (第2题) 3.A解析：在从上面看得到的形状 图的小正方形中用数字表示在该位置 的小正方体的个数，第一行至少有一 个标注数字2，最多有三个标注数字 2,第二行两个标注数字1，所以小正 方体的个数为1+1+1+1+2=6或 1+1+1+2+2=7或1+1+2+2+ 2=8.所以小正方体的个数不可能 是5. 4.C解析：由从正面看到的形状图 可知，左侧一列最高一层，右侧一列最 高三层；由从左面看到的形状图可知， 前一排最高三层，后一排最高一层.所 以右侧第一排一定为三层，可得该几 何体从上面看到的形状图如图所示 (小正方形中的数字表示在该位置的 小正方体的个数)，即搭建该几何体的 方式有3种！ 13 13 3 (第4题) 5.6解析：根据从上面看得到的形 状图发现最底层有4个小立方块，从 正面看得到的形状图发现第二层最多 有2个小立方块，故最多有4十2 6(个)小立方块」 6.当这个几何体的小正方体最多时， 第一列有8个小正方体，第二列有 1个小正方体，共由9个小正方体组 成：当这个几何体的小正方体最少时， 第一列有5个小正方体，第二列有 1个小正方体，共由6个小正方体 组成 所以a=9,b=6. 所以a+2b=9+2×6=21. 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：由正方体及其表面 展开图的特征可知，选项A,C,D的表 面展开图可以折成无盖正方体盒子， 选项B的表面展开图折叠后有两个 面重合，不能折成无盖正方体盒子. [变式]B 典例2B [变式]②解析：由题图①可知， “代”所在面相对的面上的字为“新” 若将该纸盒按题图②展开，则“代”字 对应的序号为②. 典例3如图所示 从正面看 从左面看 (典例3图) 「变式](1)如图所示 (2)最多可以添加1+1=2（个）小立 方块 此时新几何体的体积为(3十2+2+ 2+3)×1×1×1=12. 从正面看 从左面看 [综合素能提升] 1.B2.C 3.511解析：由题图，易判断a= 3,b=1,c=1.所以a十b+c=5.若 d,e,f所在的位置上各有2个小立方 块，则这个几何体最多由11个小立方 块搭成 4.①②③④解析：由于球的截面是 圆，根据里面正方体的截面情况，可知 用一个平面去截这个几何体，其截面 形状有①②③④. 5.5 5 6.答案不唯一，如图所示 (第6题) 第二章 有理数及其运算 1认识有理数 第1课时有理数 1.B2.C3.B4.+2024 5.② 6.正整数集合：{10，十68，…. 负分数巢合：-2吕…小 正有理数集合：10,0.3，十9.78， +68,0.22,+4 … 负有理数集合： -2.5,- 1 13' -20,…} 7.D 8.B解析：因为0是自然数，所以① 错误.因为0不是最小的整数，所以② 错误.因为0既不是正数也不是负数， 所以③正确.因为0是非负数，所以④ 正确.因为0不是质数，所以⑤正确。 综上所述，正确的是③④⑤，共有 3个 ·方法归纳 0的意义 0的意义：①表示没有；②表 示正负数的分界，点，0小于正数，大 于负数：③0是自然数、整数、非负 数，不是分数、负数、正数：④在小 学学习的四则运算中，0具有的特 性在有理数范围内仍然适用」 9.D解析：有理数有一千 8 1.010010001,330,0.12,共5个 10.D解析：有理数包括正有理数、0 和负有理数，故①错误：非负数是正数 和0，故②错误；一不是有理数，也 不是分数，故③错误；正数中没有最小 的数，负数中没有最大的数，故④正 确.综上所述，正确的个数为1. 11.没有解析：因为总质量(200士 3)g,根据正负数的意义，得质量在 197g与203g之间都合格，而称量的 面包质量为198g,在范围内，故合格， 所以厂家没有欺诈行为， 12.-0.02 13.(1)表示负分数的集合. (2)如图所示。 -9,-72 215%. 7吃， -0.618,0.3014 … 负数集合 分数集合 (第13题) 14.根据题意，小明的得分分别为8分， 6分，5分，9分，8+6+5+9=28（分）. 因为28>25， 所以小明的最后得分是28分，能 晋级. 15.小明和小燕说得对 理由：如果以大堤为基准，记为0m, 那么小燕比大堤低20m, 即小燕所在的位置高为一20m, 而铁塔比大堤高58一20=38(m), 即小明所在的位置高为十38m. 所以小芳说得不对，小明和小燕说 得对 第2课时相反数与绝对值 33 1.D2.B3.D4.-77 5.(1)-5--2=5-2=3. @+2引×-9=号x9=24 引-1引=子÷号 子×是-号 41-.÷2引 77×4=Z 1001125 6.(1)-13<-9. (4)-9.1<--9.01. 7.C 8.C解析：因为m|=|-3,所 以m=3.所以m=士3. 9.C10.A 11.D解析：0的绝对值是0.故选项 A错误.因为负数的相反数是正数，所 以负数的相反数比它本身大.故选项 B错误.正数与0的绝对值都等于它 本身.故选项C错误.最小的正整数 是1.故选项D正确. 12.A解析：因为a=-1,b= 13 7 6=-1骨且-1>-1 -1是，所以a>c>b. 13.C解析：因为a-1+b-2= 0,所以a一1=0，b一2=0.所以a= 1,b=2.所以a+b=1+2=3.所以 a十b的相反数是-3. 14.0.02 15.> 解析：一 -2号引 8 32 3 121 4 器因为 器引器器< 6 161)-(一4有-4,35和子0 (2)7>-(-4)>3.5>|-2.5|> >心子>- 17.①+(-3)=-3： ②-(+5)=-5； ③-(-3.4)=3.4： ④-[+(-8)]=8： ⑤-[-(-9)]=-9. 化简结果的符号与“一”的个数有着密 切联系 当“一”的个数是奇数时，化简结果为 负数；当“一”的个数是偶数时，化简结 果为正数 18.(1)因为-0.05<|+0.1|< |-0.15<+0.2<+0.25, 所以第4件样品的直径最符合要求。 (2)因为+0.1=0.1<0.18， -0.15=0.15<0.18, -0.05=0.05<0.18, 所以第1,2,4件样品是正品 因为|+0.2|=0.2,0.18<0.2< 0.22, 所以第3件样品是次品 因为+0.25=0.25>0.22， 所以第5件样品是废品！ 19.5△(-7)<5☐（一7）解析：由 题意，得5△(-7)=-1-7|=-7， 5☐(-7)=-5.因为1-71>|-5|， 所以一7<一5.所以5△（一7） 5☐(-7). 20.(1)因为a=5,1b=2, 所以a=士5，b=士2. 因为a,b异号， 所以a=5,b=-2或a=-5,b=2. (2)因为a=5,b=1, 所以a=士5，b=士1. 因为a<b, 所以a=一5，b=一1或a=一5， b=1. 第3课时数轴 1.B2.D3.-4 4.如图所示 其中，一1与1对应的点到原点的距 离相等。 子 05 0 (第4题) 5.如图所示. -3.5< -12 <-(-1)<4. 351号 -(-1)4 -5-4-3-2-1012345 (第5题) 6.B 7.A解析：根据数轴，可先判断点B 表示的数为一4，再判断点A表示的 数为-2. 8.C解析：由题意，得圆在数轴上向 右滚动的距离为2026个单位长度 因为2026÷4=506…2，所以圆周 上与数轴上表示2025的点重合的点 表示的数为2. 9.一5解析：由题图可知，刻度尺上 的0.5cm对应数轴上的1个单位长 度.因为点A在原点左侧，且距原点 5个单位长度，所以数轴上点A表示 的数为-5. 10.一8或2解析：点Q可能在点P 的左侧，也可能在点P的右侧，所以 点Q所表示的数是-8或2. 11.一6或2解析：若向右移动，则 点B所表示的数为2：若向左移动，则 点B所表示的数为一6.综上所述，点 B所表示的数为一6或2. 12.9解析：根据数轴的特点，一6.2 和-1之间的整数有-6，-5，-4， 一3，一2，共5个；0和4.3之间的整 数有1,2,3,4，共4个，所以被盖住的 整数点有5十4=9（个）. 13.如图所示 -85<-1.80<号<6号 10 -3.5-1.80 3 6 -4-3-2-101234567 (第13题) 14.(1)2:C. (2)点M表示的数是-5或9. 15.分别对应其他城市的时间如下： 伦敦时间11月1日1时： 巴黎时间11月1日2时； 纽约时间10月31日20时： 首尔时间11月1日10时. 16.(1)5. (2)①1. ②3. ③因为折痕，点C表示的数是1，A,B 两点之间的距离为12， 所以点A,B到，点C的距离均为6. 又因为点A在点B的左侧， 所以点A表示的数是一5，即a=一5， 点B表示的数是7，即b=7. 画数轴表示如图所示 A32101236分 (第16题) 专题特训二一线串起 有理数 1.B 2.如图所示. 与2号之间的整数有-3， 在一33 2 -2,-1,0,1,2. -3号 2号 432士0123 (第2题) 3.(1)如图所示。 (2)-3<-1.5. (3)-1.5. AB 5-4-3-2-1012345 (第3题) 7 4.如图所示. -3-20 1<2<3. 3 11 -3-230323 5-43-2-1612345→ (第4题) 5.(1)-1:3. (2)如图所示. <-1<-(-2)<3<1-3.5l. 一22 (第5题) 6.(1)1;3. (2)1或-3. (3)因为a-3=4,b+2=3, 所以a=7或a=一1，b=1或b= -5. 易知当a=7,b=-5时，A,B两点间 的距离最大，是12： 当a=-1,b=1时，A,B两点间的距 离最小，是2 所以A,B两点间的最大距离是12， 最小距离是2. (4)当数轴上表示数a的点位于表示 数-3与5的点之间时，|a+3|+ |a-5|取得最小值，为8. 7.(1)4:-4. (2)由题意，可知A,B两点之间的距 离为8+12=20（个）单位长度 当运动t秒时，点M向右运动了2t个 单位长度，点N向左运动了3t个单 位长度 若在相遇之前距离为10个单位长度， 则21+3t+10=20,解得1=2. 若在相遇之后距离为10个单位长度， 则2t+3t一10=20，解得t=6. 综上所述，t的值为2或6. 8.(1)A,B,C三，点的位置在数轴上 表示如图所示 点A表示的数为一4，点B表示的数 为1，点C表示的数为2第二章有理数及其运算 1认识有理数 第1课时有理数 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.我国是最早采用正负数表示相反意义的量的 7.新考向·推理能力如图，如果把嘉嘉前面的第 国家.若收入0.1元，账单显示十0.1元，则 2个同学琪琪记作+2，那么一1表示嘉嘉周 账单显示一10元表示 () 围的同学是 A.收入10元 B.支出10元 琪琪 C.收支10 D.10元 乙 2.(2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454g 嘉嘉 丙 现随机抽取4袋样品进行检测，把超过标准 丁 质量的用正数表示，不足的用负数表示.下列 (第7题) 最接近标准质量的是 ( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 A.+7gB.-5gC.-3gD.10g 8.*有下列说法：①0不是自然数；②0是最小 的整数；③0既不是正数也不是负数；④0是 2024·凉山改编)有下列各数：5，二号， 非负数；⑤0不是质数.其中，正确的有( 0,一25.8，十2.其中，既是分数又是负数的有 A.2个B.3个C.4个D.5个 ( 9(2023·序坊广阳期末)有下列各数：一日， A.1个B.2个C.3个 D.4个 4.(2024·连云港)若公元前121年记作一121年， 8 1.01001001,33,0,-元，-2.626626662… 则公元2024年应记作 年 (每两个2之间6的个数依次增加1)，0.12. 5.有下列说法：①不带“一”的数都是正数； 其中，有理数的个数是 () ②如果a是正数，那么一a一定是负数； A.2 B.3 C.4 D.5 ③不存在既不是正数，也不是负数的数； 10.(2023·济南期中改编)有下列说法：①有 ④0℃表示没有温度.其中，正确的有 理数不是正有理数就是负有理数；②非负 (填序号) 6.把下列各数填入相应的集合中： 数就是正数：③一是有理数，也是分数： 12 ,10,0.3,0,-13,-20,+9.78, ④正数中没有最小的数，负数中没有最大 的数.其中，正确的个数为 ( 2.+ A.4B.3 C.2 D.1 正整数集合：{ …}. 11.新情境·日常生活一袋面包包装上印有“总 负分数集合：{ …}. 质量(200士3)g”的字样.小明拿去称了一 正有理数集合：{ …}. 下，发现质量为198g,则该面包厂家 负有理数集合：{ …}. (填“有”或“没有”)欺诈行为. 8 第二章有理数及其运算 12.根据《国家学生体质健康标准》的单项指标思维拓展 中“男生立定跳远单项评分表”的规定，九年 15.如图，小芳家住黄河边的某市，黄河大堤高 级男生及格的标准是1.85m.若九年级学 出此市区20m,另有市里铁塔高约58m,是 生小贤跳了2.05m,记为+0.20m,则九年 此市的一大景观.小芳和好朋友小燕、小明 级学生小明跳了1.83m,记为 m. 出去玩，小芳站在黄河大堤上，小燕站在地 13.(1)如图，这两个圈的重叠部分 面上放风筝，小明则登上铁塔顶.小芳说： 示什么数的集合？ “以大堤为基准，记为0m,则小燕所在的位置 (2)将下列各数填入它所在的数 高为一20m,小明所在的位置高为+58m.” 的圈里： 小明说：“以铁塔顶为基准，记为0m,则小 2021,-15%,-0.618,77·-9,二27 燕所在的位置高为一58m,小芳所在的位置 高为一38m.”小燕说：“小明的位置比我高 0.3014,-72 58m.”他们谁说得对？请说明理由. 小明 负数集合分数集合 (第13题) 58m 小芳 20m 河床 只小燕 黄河大堤铁塔 (第15题) 14.某次唱歌比赛由4名评委通过打分决定选 手是否进入决赛，规定：一名评委能打的满 分是10分，把6分记为0分，超过的用正数 表示，不足的用负数表示，选手的总分达到 25分可以晋级.选手小明的得分情况见 下表： 评委 1号 2号 3号 4号 分数 十2分 0分 -1分 十3分 小明的最后得分是多少？他能否晋级？ 19 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第2课时 相反数与绝对值 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·绥化) 202s的相反数是 7.(2024·浙江)下列四个城市中，某天中午 12时气温最低的城市是 () A.2025 B.-2025 北京 济南 太原 郑州 1 1 C.一2025 D.2025 0℃ -1℃ -2℃ 3℃ 2.当a=-2,b=3时，|a|+b|的值为( A.北京B.济南 C.太原 D.郑州 A.-1B.5 C.1 D.-5 8.若m=|一3|，则m的值为 3.(2024·德阳)下列四个数中，比一2小的 1 A.-3B.3 C.±3 D.一3 数是 ( ) 9.若a|=-a,则a是 () A.0 D.-3 A.正数 B.负数 4若一个负数的绝对值等于，则这个数是 C.非正数 D.非负数 10.(2024·大庆)下列各组数中，互为相反数 ,它的相反数是 的是 () 5.计算： A.|-2024和-2024 (1)1-5-1-21. (2) 十23 ×|-9. 1 B.2024和2024 C.-2024和2024 1 D.-2024和2024 8引-1引41-a-p 11.下列说法中，正确的是 A.一个数的绝对值一定比0大 B.非零有理数的相反数一定比它本身小 C.绝对值等于它本身的数一定是正数 6.比较大小： D.最小的正整数是1 (1)-13与-9. (2)- 与品 12.已知a=-1,b=-1 c-1下列关 于a,b,c的大小关系正确的是() A.ac>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a (4)-9.1与--9.01. 13.若a-1+|b-2=0,则a十b的 相反数是 ( A.1 B.3 C.-3 D.-2 20 第二章有理数及其运算 14.新考法·新定义如果实际值为a,测量值为18.已知某零件的标准直径是100mm,超过标 b,那么，我们把|a一b|称为绝对误差， 准直径的记作正数，不足标准直径的记作负 口一b称为相对误差，若有一种零件实际 数，检验员某次抽查了5件样品，检查结果 见下表： 长度为10.0cm,测量得9.8cm,则测量所 序号 1 3 5 产生的相对误差是 cm. 与标准直径 15此较大小：-2号 (填八” 11 +0.1-0.15 +0.2-0.05+0.25 的差/mm “<”或“=”) (1)请指出哪件样品的直径最符合要求。 16.给出下列各数：号，-(-4035,0.-2.5， (2)若规定误差的绝对值不超过0.18mm 的是正品，误差的绝对值超过0.18mm,但 不超过0.22mm的是次品，误差的绝对值 超过0.22mm的是废品，则这5件样品分 (1)在这些数中，互为相反数的数是 别属于哪类产品？ ;绝对值最小的数是 (2)比较大小，并把这些数用“>”连接 起来 思维拓展 19.规定a△b=-|b|,a□b=-a,例如当a= 3,b=4时，a△b=-4=-4,a☐b=-3. 根据以上规定比较5△（一7）与5☐（一7）的 17.新考法·探究题根据相反数的意义化简下列 大小： (用“<”连接). 各数：①+(-3)；②-（+5)；③-(-3.4)； 20.(1)如果|a=5,1b|=2,且a,b ④-[+(-8)]；⑤-[-(-9)]. 异号，求a,b的值， 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号 (2)若a=5,|b=1,且a<b,求 与原式中“一”的个数有什么关系？ a,b的值 2 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第3课时 数轴 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·苏州)用数轴上的点表示下列各数， 6.数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示， 其中与原点距离最近的是 ( 则a,b,一a,一b的大小关系是 () A.-3B.1 C.2 D.3 0 2.数形结合思想如图，数轴的单位长度为1，如 (第6题) A.-a<b<a<-0 B.0<-a<a<-0 果点A表示的数是一2，那么点B表示的 C.-a<-<<a D.0<-a<-b<a 数是 ( 7.如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长 A (第2题) 度到达点B,再向右移动5个单位长度到达 A.-1B.0 C.1 D.2 点C.若点C表示的数为1，则点A表示的 3.如图，数轴上A,B两点表示的数互为相反 数为 () 数，且点A与点B之间的距离为8个单位长 A C 01 度，则点A表示的数是 (第7题) A0B→ A.-2 B.-3C.3 D.7 (第3题) 8.如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的 4.在数轴上画出表示下列各数的点：一1,0， 4等分点处分别标上0,1,2,3，先让圆周上表 寻、方子1，并说明其中哪些数对应的点 示数0的点与数轴上表示一1的点重合，再 到原点的距离相等 将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上与数轴上 表示2025的点重合的点表示的数为（) 2 0123 (第8题) A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示为一条不完整的数轴，请将它补画 9.如图，嘉嘉借助刻度尺画了一条数轴，则这条 完整，并在数轴上标出下列各数所对应的点， 数轴上点A表示的数为 并用“<”将这些数连接起来 A 01 T"'TTT中mmjmnpim -(-1),--12 4,-3.5. 0 1cm 2 3 4 (第9题) 2 4 10.(2023·邵阳绥宁期末)数轴上的点P所表 (第5题) 示的数是一3，点Q到点P的距离是5，则点 Q所表示的数是 11.在数轴上，点A所表示的数为一2，现将点 A沿数轴移动4个单位长度到达点B,则点 B所表示的数为 22 第二章有理数及其运算 12.如图所示的数轴被墨迹盖住了一 时分别对应其他城市的什么时间？ 部分，则被盖住的整数点有 纽约 伦敦巴黎 北京首尔 -5 01 89 个 （第15题) -6.2 -10 4.356 (第12题) 、13.在数轴上画出表示数-1.8,0，-3.5,0， 6的点，再将这些数用<”连接起来 16.新考法·操作探究题小海在草稿纸 上画了一条数轴，如图所示为数轴 的一部分，并利用折叠进行下列操 作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使1对应的点与一1对应 14.(2023·晋中期中)如图，数轴上标出了7个 的点重合，则一5对应的点与对应 点，每相邻两个点之间的距离都相等，点A 的点重合 表示的数是一4，点G表示的数是8. 操作二： (1)点D表示的数是 :表示0的是 (2)折叠纸面，若使5对应的点与一3对应 点 的点重合，将折痕处对应的点记为C,回答 (2)图中的数轴上另有点M,点M到点A, 以下问题： G的距离之和为14，求点M表示的数， ①点C表示的数是 A B C D E F C -4 ②一1对应的点与 对应的点重合. 8 (第14题) ③若数轴上点A表示的数为a,点B表示 的数为b(点A在点B的左侧)，折叠后A, B两点重合，且A,B两点之间的距离为 12,求a,b的值，并画数轴表示点A和点B 的位置 折痕 (第16题) 思维拓展 15.北京时间11月1日9时，4个城市与伦敦的 时差（单位：时）在数轴上表示如图所示，此 23