河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上学期开学测试数学试卷

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026 学年高二上期开学测试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 A x x 1 1, x R， B x 2, x Z，则 A B （ ）x A． 0, 2 B． 0, 2 C．0, 2 D．0,1, 2 2. 设复数 z 满足1 i z 2i ，则 z= （ ） A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i 3. “百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历 “百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间t(30 t 100) （单位：天）与增加总 分数 f (t) （单位：分）的函数模型 f (t) kP 1 lg(t 1) , k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的 最后一次模考总分， f (60) 1 P .已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为 400 分， 6 依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为(lg 61 1.79)（ ） A．442 B．452 C．462 D．472 A. 若α β， m / /α， l //β，则m l B. 若m α， l β， m//l ，则α//β C. 若α∩β m ， l / /α， l //β，则m//l D. 若m α， l β， m//l ，则α β 5. 已知cosα sin(α π) 3 ，则sin(2α π) （ ） A. 7 25 6 5 24 B. 25 6 C. 18 25 7 D. 25 6. 一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球，除标号外无差异.不放回地取两次， 每次取出一个.事件 A “两次取出球的标号为 1 和 4”，事件 B “第二次取出球的标号为 4”，事件C “两次取出球的标号之和为 5”，则（ ） A. P( A) 1 12 B. P(BC) 1 6 C. 事件A 与C 互斥 D．事件 B 与C 相互独立 7. 已知点 P 2, 3, Q 3, 2 ，直线 y kx k 1 与线段 PQ 相交，则实数k 的取值范围是 （ ） A． , 4 3 , B． 4, 3 C． 3 , 4 D． , 3 ∪4, 4 4 4 4 8. 已知 f x 是定义在R 上的奇函数，对任意正数 x ， y ，都有 f xy f x f y 1 ， 2 且 f 1 0 ，当 x 1 时， f x 0 ，则不等式e f x1 1的解集为（ ） 2 2 A． 2, B． 1 , 0 ∪ 2, 8 C． 1 , 0 ∪ 2, D． 1 , 0 2, 4 2 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个 选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件 A “两次取出球的标号为 1 和 4”，事件 B “第二次取出球的标号为 4”，事件C “两次取出球的标号之和为 5”，则（ ） A． P A 1 12 B． P AB 1 12 C．事件A 与C 不互斥 D．事件 B 与C 相互独立 10．已知V ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 A B ，则a b B. 若a 8 ， b 2 ， A 30∘ ，则三角形有两解 C. 若a cos A b cos B ，则V ABC 为等腰三角形 D. 若a2 b2 c2 ，则V ABC 为钝角三角形 x 3, x 3 11. 已知函数 f x x2 6x 9, x 3 ，若函数 g x [ f x]2 af x 2 有 6 个零点，则a 的值可以为（ ） A. 4 B. 7 2 C. 3 D. 22 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 样本数据 11，14，5，6，8，1，3，9 的下四分位数是 ． → → → → → → → → → 13. 已知向量 p 以a, b, c为基底时的坐标为2, 3, 2 ，则 p 以a 2b, a b, a c为基底时的坐标为 ． 14. 将函数 f (x) cos x 2π 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 (ω 0) ，纵坐标不变， 3 ω 得到 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间0, 2π 上恰有两个零点，且在 π, π 上单调递减，则ω 的取值范围为 ． 3 12 12 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13 分）已知直线l 的方程为2m 1 x m 1 y 7m 4 0 ． (1) 求证：不论m 为何值，直线l 必过定点M 3,1 ； (2) 过点M 引直线l1 交坐标轴正半轴于A ， B 两点，当V AOB 面积最小时，求V AOB 的周长． 16．（15 分）已知函数 f x log ax2 ax 1 ．2 (1) 若 f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2) 若 f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 17．（15 分）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立.发送 0 时，收到 1 的概率为 p1 0 p1 1 ，收到 0 的概率为1 p1 ；发送1时，收到 0 的概率为 p2 0 p2 1 ，收到 1 的 概率为1 p2 .现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1 次， 三次传输是指每个信号重复发送 3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时， 收到的信号即为译码（例如，若收到 1，则译码为 1，若收到 0，则译码为 0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1， 0 ，1，则译码为 1，若依次收到1，1，1，则译码为 1）. (1) 已知p 3 ， p 2 ， 1 4 2 3 （i） 若采用单次传输方案，重复发送信号 0 两次，求至少收到一次 0 的概率； （ii） 若采用单次传输方案，依次发送0 ，0 ，1，判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为 2”是否相互独立，并说明理由； (2) 若发送 1，采用三次传输方案时译码为 0 的概率不大于采用单次传输方案时译码为 0 的概 率，求 p2 的取值范围. 18．（17 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA 底面 ABCD ， PA AB ， E 为线段 PB 的中点，连接 AE . （1） 证明： AE PC ； （2） 连接 DE ，求 DE 与底面 ABCD 所成角的正切值； （3） 求二面角 E CD A 的平面角的正切值. 19．（17 分）在V ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ．且满足 3 sinBsinA cosBcosA sinC ． (1) 求角C 的大小； (2) 若V ABC 的面积S 10 3 ，内切圆的半径为r 3 ，求c ； (3) 若∠ACB 的平分线交 AB 于 D ，且CD 2 ，求V ABC 的面积S 的最小值． 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026 学年高二上期开学测试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C C D D A B BCD AD BC 12.4 13． 1, 1, 2 14． 11 , 4 15．(1)证明见解析 4 (2) 8 210 【分析】（1）将直线方程改写成m 2x y 7 x y 4 0 形式，解方程组2x y 7 0 即 x y 4 0 可得解； （2）设直线l1 的方程为 y 1 k x 3k 0 ，求出点 A, B 坐标，表示出V AOB 面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由2m 1 x m 1 y 7m 4 0 可得： m 2x y 7 x y 4 0 ， 2x y 7 0 x 3 令 x y 4 0 ，解得 y 1 ， 经检验， x 3 满足2m 1 x m 1 y 7m 4 0 ， y 1 所以直线l 过定点M 3,1 ． （2）由题意可设直线l1 的方程为 y 1 k x 3k 0 ，设直线l1 与 x 轴， y 轴正半轴交点分别为 A, B ， 令 x 0 ，得 yB 1 3k ；令 y 0 ，得 xA 3 1 ， k 所以V AOB 面积 S 1 1 3k 3 1 1 9k 1 6 1 2 6 6 ， 2 k 2 k 2 9k 1 k 当且仅当9k 1 k ，即k 1 时， V AOB 面积最小， 362 22 此时 A6, 0 ， B 0, 2 ， AB 2 10 ， 所以V AOB 的周长为6 2 2 8 2 .10 10 所以当V AOB 面积最小时， V AOB 的周长为8 2 .10 16．(1) 0, 4 (2) 4, 【分析】（1）根据题意得到ax2 ax 1 0 在R 上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到 y ax2 ax 1 的值域必须包含0, ∞ ，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数 f x log ax2 ax 1 的定义域为R ，则ax2 ax 1 0 在R 上恒成立， 2 当a 0 时，1 0 恒成立，符合题意； a 0 当a 0 时，有Δ a2 4a 0 ，解得0 a 4 ． 所以实数a 的取值范围为0, 4 ． （2）函数 f x log ax2 ax 1 的值域为R ，则 y ax2 ax 1 的值域必须包含0, ∞ ，2 当a 0 时， y 1，不符合题意； a 0 当a 0 时，有Δ a2 4a 0 ，解得a 4 . 所以实数a 的取值范围为4, ． 7 17．(1)（i） 16 ；（ii）不相互独立，理由见解析； (2) 0, 1 2 【分析】（1）（i）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算能求出至少收到一次 0 的概 率； （ii）利用相互独立事件的定义判断并证明； （2）由两个事件的概率列不等式，能求出 p2 的取值范围． 【详解】（1）（i）记事件A 为“至少收到一次 0”， 则至少收到一次 0 的概率为 P A 2 p 1 p 1 p 2 2 3 1 1 1 7 ． 1 1 1 4 4 4 4 16 （ii）证明：记事件 B 为“第三次收到的信号为 1”，事件C 为“三次收到的数字之和为 2”， 则 P B 1 p2 1 2 1 ， 3 3 P C 1 p p 1 p p p p p 1 p 1 p 1 3 1 3 3 2 3 1 1 1 ， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4 4 3 4 4 3 4 4 3 2 P(BC) 1 p p 1 p p 1 p 1 p 1 3 1 3 1 1 1 ， 1 1 2 1 1 2 Q P(BC) P B P C ， 4 4 3 4 4 3 8 事件“第三次收到的信号为 1”与事件“三次收到的数字之和为 2”不相互独立． （2）记事件M 为“采用三次传输方案时译码为 0”，事件 N 为“采用单次传输方案时译码为 0”， P(M ) 3 p 2 (1 p ) p 3 ， P(N ) p ，2 2 2 2 根据题意得 P(M ) P(N ) ， 3 p 2 (1 p ) p 3 p ，2 2 2 2 Q0 p 1， 3 p (1 p ) p 2 1 ， 2 p 2 3 p 1 0 ，2 2 2 2 2 2 解得0 p2 1 ， 2 p 的取值范围是 0, 1 ． 2 2 18．（1）证明见解析；（2） 5 ；（3） 1 . 5 2 【分析】（1）证明 AE 平面 PBC 即可； （2） 作 EF AB 于点 F ，则 F 是 AB 的中点，连接 DF ，则EDF 为 DE 与底面 ABCD 所成的角，即可求解； （3） 作 FG⊥CD ，垂足为G ，则G 为CD 的中点，连接 EG ，则CD EG ，所以∠EGF 为 所求二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）证明：因为 PA 底面 ABCD ， BC 底面 ABCD ，所以 PA BC . 因为底面 ABCD 为正方形，所以 BC AB ，所以 BC 平面 PAB . 因为 AE 平面 PAB ，所以 BC AE . 因为 E 为 PB 的中点， PA AB ，所以 AE PB . 又因为 BC ∩ PB B ，所以 AE 平面 PBC . 因为 PC 平面 PBC ，所以 AE PC . （2） 作 EF AB 于点 F ，则 F 是 AB 的中点， EF / / PA ，且 EF 1 PA ， 2 EF 底面 ABCD . 连接 DF ，则EDF 为 DE 与底面 ABCD 所成的角. 设 PA AB a ，在 RtaEFD 中， EF 1 a ， FD 2 5 a ， 2 所以tan EDF EF 5 . FD 5 （3） 解：作 FG⊥CD ，垂足为G ，则G 为CD 的中点，连接 EG ，则CD EG ，所以∠EGF 为所求二面角的平面角. 1 EF 1 在 RtaEFG 中， EF a ， FG a ，所以tan EGF . 2 FG 2 【点睛】本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题. 19．(1) C π 3 (2) c 7 (3) 4 3 3 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得. （2） 由等面积得出a b c 20 ， ab 40 ，利用余弦定理得出c2 a b2 3ab ，三式联 立即可求得边c . （3） 结合题设，分别在aACD ，△BCD 和V ABC 中，由正弦定理推出边a ， b 的关系式 1 1 a b 3 ，再利用基本不等式求得ab 的最小值，继而即得三角形面积最小值． 2 【详解】（1）由 3 sinBsinA cosBcosA sinC ，得 3cos A B sinC ，则 3cosC sinC ，即tanC ，3 而0 C π ，所以C π . 3 （2）由等面积法得： S 1 absinC 1 r a b c ，即10 3 a b c 3 3 ab ， 2 2 2 4 因此a b c 20 ， ab 40 ，在V ABC 中，由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC ，即c2 a2 b2 ab (a b)2 3ab (20 c)2 120 ，所以c 7 . （3） 由CD 平分∠ACB ，得ACD BCD 1 ACB π， 2 6 在V ABC 中，设 AD m 0 m c ，则 BD c m ， 2 m 1 在aACD 中，由正弦定理，得sinA sinπ ，则m sinA ， 6 2 c m 1 在△BCD 中，由正弦定理，得sinB sinπ ，则c m sinB ， 6 得c m 1 sinB ，故有c 1 sinA 1 sinB * ． a 在V ABC 中，由正弦定理，得sinA b sinB c 2 3 ，则 a b 2c ， sinA sinB 3 1 2c , sinA 3a 3 * c 2c 1 1 1 1 得 1 2c 代入3b 式，可得 3 a b ，即 ． sinB , a b 2 由基本不等式，得 3 1 1 2 ，解得ab 16 ，当且仅当a b 4 3 时取“=”．1 ab 2 a b 3 3 于是， S 1 absinC 3 ab 4 3 ．即V ABC 的面积的最小值为 4 3 ． a ABC 2 4 3 3 【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题． 学科网（北京）股份有限公司 $