精品解析：2023年湖北省黄冈市九年级自主招生考试数学模拟测试题（五）

2023春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（五） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 2. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A. 27 B. 42 C. 55 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132， 化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制． 3. 一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵两函数图象交于点，点 ∴ ，，解得：，k2=2 ∴， 画出函数图象如下图： 由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1． 故填D． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 4. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可； 【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E， ∵∠B=90°，∠BCD=120°， ∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°， ∴∠ADC=∠EDC= 90°， 在Rt△CDE中， tan30°=， ∴DE==， 在Rt△ABE中， sin30°=， ∴AB==4， ∴AD=AE-DE=, 故选C 【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 5. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：） A. 136.6米 B. 86.7米 C. 186.7米 D. 86.6米 【答案】A 【解析】 【分析】作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在△BEG和△CEG中求解即可． 【详解】如图，作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点， 则四边形DFBG为矩形，DF=BG， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵AD=130， ∴DF=50，AF=120， ∴BG=DF=50， 由题意，∠CEG=60°，∠BEG=45°， ∴△BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50， 在Rt△CEG中，CG=EG=50， ∴米， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键． 6. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 7. 如图，在和中，，，．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可证明，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断 【详解】 ，故选项A正确； 平分 ，故选项B正确； 即 ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质是解题关键． 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可． 【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于， ∴∠CMN=∠DPN=90°， ∴四边形CMPD是矩形， 根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，， ∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN， ∴， ∴， 四边形为正方形， ∴， ∴， ，， ， 设,则， 在中，由可得 解得； 故选A． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 10. 在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是、，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是___． 【答案】（4，-1） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到C1坐标． 【详解】解：在平行四边形ABCD中， ∵对称中心是坐标原点，A（-1，1），B（2，1）， ∴C（1，-1）， 将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度， ∴C1（4，-1）， 故答案为：（4，-1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11. 已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标． 【详解】解：∵点A为直线上一点， ∴设点A坐标为， 则点B的坐标为， ∵点B在双曲线上， 将代入中得： ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键． 12. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴﹣=1，即b=﹣2a＞0 ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由得， 根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点， ∴有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 13. 若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于，计算即可 【详解】解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC， ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD， 过点D作DE⊥BC，垂足为E， 则∠CDE=∠BDE=45°， ∴CE=EB=ED=2， ∴半圆关于直线DE对称， ∴阴影部分的面积等于， ∴===4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性， 利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键． 14. 如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长． 【详解】解：连接OQ． 在⊙O中， ∵AQ=PQ，OQ经过圆心O， ∴OQ⊥AP． ∴∠AQO=90°． ∴点Q在以OA为直径的⊙C上． ∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周． ∵AB=4， ∴OA=2． ∴⊙C的周长为． ∴点Q经过的路径长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键． 15. 如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE． 【详解】如图，分别过作， 垂足分别为 则 根据题意，，因为折叠，则 四边形ABCD是矩形 同理 四边形是平行四边形 ， 中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形，平行四边形的性质与判定，锐角三角函数，理解题意作出辅助线，是解题的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质与AD＝AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分类讨论，当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，则：，从而点M、N的运动速度不同，当点M运动到AB的中点时，，由AM减小的速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，当点M在AB的中点时，才满足，得出结论． 【详解】解：∵AD＝AB， ∴tan∠ADB=， ∴∠ADB=30°，∠ABD=60°， ∵点O为BD的中点， ∴AB=AO=BO， 设AB=1，则AD=，BD=2． ①当点M与点B重合时，点N是BD的垂直平分线与AD的交点， 令AN=x，则BN=DN=， ∴， 解得：， ∴AN=， 当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点， 则：， 从而点M、N的运动速度不同，故①说法正确，符合题意； ②当点M运动到AB的中点时，，故②说法正确，符合题意； ③由①得到，AM减小的速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，故③说法正确，符合题意； 如图，延长MO交CD于M'， ∵∠MOB=∠M'OD，OB=OD，∠DBA=∠BDC， ∴△OMB≌△OM'D（ASA）， ∴BM=DM'，OM=OM'，连接NM'， ∵NO⊥MM'，则MN=NM'， ∵NM'2=DN2+DM'2， ∴MN2=BM2+DN2， 故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确定边之间的关系，得出结论． 三、解答题（共72分） 17. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【答案】6米 【解析】 【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可． 【详解】解：∵CM=3，OC=5， ∴OM==4， ∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD， ∴△COM∽△BOD， ∴，即， ∴， ∴tan∠AOD=tan70°=， 即， 解得：AB=6， ∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解汽车能发现儿童所前行的距离为AB． 18. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 【答案】（1）24；（2）M点的坐标为 【解析】 【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴（6+2t）（4-t）=24， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 19. 公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米 【解析】 【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可； （2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， ∵一次函数经过（0，16），（8，8）， 则，解得：， ∴一次函数表达式为， 令v=9，则t=7， ∴当t=7时，速度为9m/s， ∵二次函数经过（2，30），（4，56）， 则，解得：， ∴二次函数表达式为， 令t=7，则s==87.5， ∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m； （2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s， ∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小， 当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大， ∴当v=10m/s时，两车之间距离最小， 将v=10代入中，得t=6， 将t=6代入中，得， 此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m， ∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提． 20. 如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且． （1）求证：PF为切线； （2）若，，，求PF的长． 【答案】 （1）证明：连接OF， ∵， ∴∠PFG=∠PGF， ∵OB=OF， ∴∠OBF=∠OFB， ∵， ∴∠GEB=90°， ∴∠ABF+∠EGB=90°， ∵∠EGB=∠PGF， ∴∠OFB+∠PFG=90°， ∴∠PFO=90°， ∴PF为切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠PFG=∠PGF，∠OBF=∠OFB，再证明∠OFB+∠PFG=90°，即可得∠PFO=90°，由此证得PF为切线； （2）连接AF，过点P作于点N，由AB是直径，可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中求得AF=12，再由，可得，求得EG=6；在Rt△BEG中求得 BG=10；再根据等腰三角形性质可得FN=NG=3，再证明△PNF△BEG，根据相似三角形的性质即可求得PF=5． 【详解】（1）略 （2）连接AF，过点P作于点N， ∵AB是直径， ∴∠AFB=90°， ∵OB=10， ∴AB=20， 在Rt△ABF中，AB=20，， ∴AF=12， ∵， ∴， ∴EG=6， 在Rt△BEG中，，EG=6， ∴BG=10， ∴FG=FB-BG=16-10=6， ∵，， ∴FN=NG=3，∠PNF=90°， ∵∠PFG=∠PGF=∠EGB，∠PNF=∠GEB=90°， ∴△PNF△BEG， ∴， ∴， ∴PF=5． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、三角函数及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 21. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC （1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离； （3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？ 【答案】 （1）∵△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处， ∴∠BAG=∠GAF=BAF，B、F关于AE对称， ∴AG⊥BF， ∴∠AGF=90°， ∵AH平分∠DAF， ∴∠FAH=∠FAD， ∴∠EAH=∠GAF+∠FAH =∠BAF+∠FAD =（∠BAF+∠FAD） =∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAH=∠BAD=45°， ∴∠GHA=45°， ∴GA=GH； （2）； （3）作正方形ABCD的外接圆，对角线BD为圆的直径， ∵∠BHD=90°， ∴H在圆周上， ∴∠BHC=∠BDC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，BC=CD， ∴∠BDC=∠DBC=45°， ∴∠BHC=45°， ∴当点E在BC边上（除端点外）运动时，∠BHC的大小不变． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到AG⊥BF，结合角平分线的定义得到∠FAH=∠FAD，从而推出∠EAH=（∠BAF+∠FAD）=45°，可得AG=GH； （2）连接DH，DF，交AH于点N，易得等腰直角△DHF，推出DH的长即为点D到BH的距离，根据DH=FH，转化为求FH的长，结合（1）中条件，证明△ABG∽△AEB，得到，从而求出GF和GH，可得DH； （3）作正方形ABCD的外接圆，判断出点H在圆上，结合圆周角定理求出∠BHC即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接DH，DF，交AH于点N， 由（1）可知：AF=AD，∠FAH=∠DAH， ∴AH⊥DF，FN=DN， ∴DH=HF，∠FNH=∠DNH=90°， 又∵∠GHA=45°， ∴∠FHN=45°=∠NDH=∠DHN， ∴∠DHF=90°， ∴DH的长即为点D到直线BH的距离， 由（1）知：在Rt△ABE中，， ∴， ∵∠BAE+∠AEB=∠BAE+∠ABG=90°， ∴∠AEB=∠ABG， ∴△ABG∽△AEB， ∴， ∴， ， 由（1）知：GF=BG，AG=GH， ∴，， ∴DH=FH=GH-GF==， 即点D到直线BH的长为； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，侧重对学生能力的考查：几何变换的能力，转化能力以及步骤书写能力，具有一定艺术性． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； （3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2+2x+6； （2）△BCE是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， ∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， ∴BE2=BC2+CE2， ∴∠BCE=90°， ∴△BCE是直角三角形； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明； （3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8， ∵与y轴交于点C（0，6）， ∴把点C（0，6）代入得：a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6； （2）略 （3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP， 则BF的长即为所求． 连接CP，∵CP为半径， ∴ ， 又∵∠FCP=∠PCE， ∴△FCP∽△PCE， ∴ ，FP=EP， ∴BF=BP+EP， 由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值． ∵CF=CE，E（2，8）， ∴F（，）， ∴BF= 【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（五） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 2. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A. 27 B. 42 C. 55 D. 210 3. 一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：） A. 136.6米 B. 86.7米 C. 186.7米 D. 86.6米 6. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，在和中，，，．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_____． 10. 在平面直角坐标系中，的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是、，将沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是___． 11. 已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 12. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 13. 若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________． 14. 如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______． 15. 如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm． 16. 如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共72分） 17. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 18. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 19. 公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 20. 如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且． （1）求证：PF为切线； （2）若，，，求PF的长． 21. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC （1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离； （3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？ 22. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； （3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $