22.3 实际问题与二次函数课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 课时1 面积最值问题 22003 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法. 难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题. 学习目标 22003 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 情景导入 22003 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法) 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9. （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 22003 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 22003 追问1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 小球的高度 h 与小球的运动时间 t 之间的关系. 引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 追问2 如何判断小球的运动 时间是多少 s 时，小球最高呢？ 画出二次函数图象. t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) 22003 追问3 根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 追问4 小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) 顶点. 顶点的纵坐标. 22003 追问5 如何求出小球的最大高度？ 故小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t − 5t 2(0≤t≤6) ∵ 0＜3＜6， 22003 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 探究新知 22003 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？ 22003 例1 求下列函数的最大值与最小值： x 0 y 解： -3 1 （1） 当 时，y最小值= 当 时， 典型例题 22003 解： O x y 1 -3 （2） 即x在对称轴的右侧. 当 时， 函数的值随着x的增大而减小. 当 时， 22003 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 归纳总结 22003 二次函数与几何图形面积的最值 例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示其邻边的长？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 矩形面积=长×宽 邻边长为(30-l)米 S=(30-l)l=-l2+30l 典型例题 22003 14 解：根据题意得 S=l(30-l)， 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时，S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 问题4 当l是多少米时，场地的面积S最大？ 22003 变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. 60-2x x x (1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m. 矩形菜园的面积S=_________________________. 想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. (60-2x) x(60－2x)＝－2x2＋60x 22003 ∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2. 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60-2x)m. ∴矩形菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. ∵S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450， 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 根据题意，求出自变量的取值范围 写出二次函数解析式，化为顶点式 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 22003 (2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m， 由（1）知S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450. 问题1 与(1)有什么区别？ 试一试 在(2)中，求自变量的取值范围. 21≤ x ＜30. 是否依然在x=15时，S取得最大值？ 22003 问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？ 当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小， 当 x =21时，S取得最大值， 此时S=－2×(21－15)2+450=378m2. 注意:实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值. 22003 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 归纳总结 22003 20 1.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________. 8 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 3 A B C P Q 当堂检测 22003 21 3.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 22003 ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. 解：设 BC 的边长为 x m， 解：(1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. x A B C D 15m 22003 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂总结 22003 22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 课时2 最大利润问题 22003 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义. 难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题. 学习目标 22003 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 新课导入 思考 22003 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 22003 利用二次函数解决商品利润最大问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量； （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量； （3）单件利润=售价-进价. 探究新知 22003 29 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300-10x) (20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 典型例题 22003 30 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时，y=-10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. 22003 31 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20-x) (300+20x) (20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)， 即：y=-20x2+100x+6000. 6000 22003 综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 当 时, 即降价2.5元时，最大利润是6125元. 即：y=-20x2+100x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 22003 变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； 解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000. 22003 ∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ (2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴75≤x≤90. 根据题意，确定自变量的取值范围 注意：需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值 22003 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 归纳总结 22003 1.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润 W 的最大值. O 6 200 1000 8 x y 10 12 当堂检测 22003 分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式； 解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为y = kx + b (k≠0) 由题意得 6k + b = 1000， 10k + b = 200， ｛ k = -200， b = 2200. ｛ 解得 ∴ y = -200x + 2200. 当 10≤x≤12，y = 200 故 y 与 x 的函数解析式为 y = -200x + 2200 (6≤x≤10) 200 (10＜x≤12) ｛ O 6 200 1000 8 x y 10 12 22003 分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值. (2) 由已知得： W = (x - 6)y 当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200) = -200x2 + 3400x - 13200 又∵ -200＜0， ∴当 时，利润 w 有最大值. ∵对称轴 22003 当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大. ∴ x = 12 时， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，最大利润为 1250 元. 22003 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂总结 22003 22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 课时3 抛物线形（拱桥）问题 22003 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型. 难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便. 学习目标 22003 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 问题导入 22003 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 22003 利用二次函数解决实物抛物线形问题 问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 探究新知 22003 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是（0.0），因此这个二次函数的形式为 22003 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 问题3 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 22003 这条抛物线表示的二次函数为y= x O y -2 -4 2 1 -2 -1 B 问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？ 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3. 令 解得 即，水面下降1m时，水面宽度增加 22003 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 22003 解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的直角坐标系； （2）把已知条件转化为点的坐标； （3）合理设出函数解析式； （4）利用待定系数法求出函数解析式； （5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 归纳总结 22003 51 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 典型例题 例 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 22003 52 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 22003 53 解得 a=－0.2， k=3.5. 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， x y O 22003 1.某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足 （1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ （2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？ 解：（1）∵ 故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. （2）令y=0,即 解得x1=0,x2=4. 即喷嘴喷出水流的最远距离为4m． 当堂检测 22003 2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣ x2+2x+c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； 解：（1）根据题意得C（0，4）， 把C（0，4）， 代入y＝﹣ x2+2x+c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝﹣ x2 +2x+4. 22003 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 所以这辆货车能安全通过. （2）抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+4 （x﹣6）2+10， 所以对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， 22003 （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ （3）令y＝8，则 （x﹣6）2+10＝8， ，x2＝6﹣2 解得x1＝6+2 则x1﹣x2＝4 所以两排灯的水平距离最小是4 m. 22003 能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. y x O -450 450 22003 59 (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5. 解得 故所求表达式为 y x O -450 450 22003 60 (2)计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长. 解：当x=450－100=350时，得 当x=450－50=400时，得 y x O -450 450 22003 61 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂总结 22003 $