22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第二十二章 二次函数 课时1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 22003 1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 重点：画出二次函数y=ax2+k的图象，探索其性质. 难点：抛物线的平移规律的理解以及的作用的理解. 学习目标 22003 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) 做一做：画出二次函数 y=2x² ， y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 探究新知 22003 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 ___________________________； 抛物线 向上 y轴 ( 0，0)， ( 0，1)， ( 0，-1) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 低 小 y=0 y= -1 y=1 对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大 22003 例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） B 典型例题 22003 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 做一做： 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究新知 22003 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是_________________________ ； 抛物线 向下 y轴 ( 0，0)， ( 0，2)， ( 0，-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小 22003 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴 y轴 最低点（0，k） 最高点（0，k） 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 归纳总结 22003 例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 C 典型例题 22003 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 从形的角度探究 y = 2x2 22003 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移个单位长度得到. 二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 归纳总结 22003 1.二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. D 练一练 22003 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步，即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度. 第二种方法：描点法，三步，即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 思考 22003 例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　） A B C D D 分析：∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，排除A、C； 又∵二次函数y＝﹣x2﹣1的图象开口向下，排除B. 典型例题 22003 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 2.填表： y = 2x2－4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y = －4x2－5 向上 向上 向下 （0，0） (0，1) (0，-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 当堂检测 22003 15 3.已知抛物线y=ax2+k. （1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方 向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________; （2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______. （3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是____________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是________________. y=-2x2-3 -0.5 -3 y=x2+5 y=x2+2 22003 16 4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 22003 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂总结 22003 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第二十二章 二次函数 课时2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 22003 1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质. 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系. 重点：作出二次函数的图象，探索其性质. 难点：抛物线的平移规律的理解以及的作用的理解. 学习目标 22003 a,c的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征. 复习导入 22003 问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0)的图象有何关系？ 答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移个单位长度得到. 22003 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 探究新知 22003 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 22003 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y轴 x=2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 22003 试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －4.5 O x y －8 －8 22003 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 22003 二次函数 y=a(x-h)2(a≠0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 归纳总结 22003 (1)完成下表； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (2)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象． 例1 已知二次函数y＝ (x﹣1)2． ﹣1 0 1 2 3 2 0 2 解：描点，画出该二次函数图象如下： 典型例题 22003 （3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （4）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）对称轴为直线x=1. 顶点坐标为(1,0). （4）当x＞1时，y随x的增大而增大. 22003 （5）若3≤x≤5，求y的取值范围； （5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8, ∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8. ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0， ∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8. 注意：已知自变量取值范围，求函数值的范围时，注意该函数是否在自变量取值范围内取最值 若-1≤x≤5，求y的取值范围； 思考 22003 （6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． ∵m＞1，∴1＜m＜m+1， 变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由． （6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2. ∵当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2. 22003 向右平移 1个单位 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 探究新知 思考 22003 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 归纳总结 22003 例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 典型例题 22003 1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=3 ( 3, 0 ) 直线x=2 直线x=1 向下 向上 (2, 0 ) ( 1, 0) 当堂检测 22003 36 2.如果二次函数y＝a(x﹣1)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是_________． 3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 4 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________. y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 ＞y2 ＞ y3 a＞0 22003 已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值. 能力提升 思路分析： 二次函数图象的对称轴未知(h未知),应分类讨论： 分类讨论 h＜-1 ﹣1≤h≤3 h＞3 x=-1时取最小值 x=3时取最小值 y的最小值为0 22003 解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4， 可得（﹣1﹣h）2＝4， 解得h＝﹣3或h＝1（舍）； ②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4， 可得：（3﹣h）2＝4， 解得：h＝5或h＝1（舍）； 综上，h的值为﹣3或5. ③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去． 22003 复习y=ax2+k 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 课堂总结 22003 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第二十二章 二次函数 课时3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 22003 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 重点：作出二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象，探索其性质. 难点：抛物线的平移规律的理解以及的作用的理解. 学习目标 22003 1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？ ， 口决：上加下减 口决：左加右减 2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 复习导入 22003 O X y 3 -2 O y 3 -2 X 请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？ 22003 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例1 画出函数 的图象.指出它的开口方向、对称轴和顶点. 探究新知 22003 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=－1 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1； 顶点坐标是(-1，-1). 22003 试一试 画出函数y=2(x+1)2-2的图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2). -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 22003 47 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 归纳总结 22003 例2 二次函数y＝﹣2(x+1)2﹣4，下列说法正确的是( ) A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(1，4) D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D 典型例题 22003 例3 已知抛物线y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； 解：（1）由y＝a（x﹣3）2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3. （2）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝a（1﹣3）2+2， ∴a＝﹣1. 22003 （3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． ∴y1＜y2． （3）∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴此函数的图象开口向下， 当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小， ∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上， 22003 向左平移 1个单位 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？ 平移方法1 向下平移 1个单位 探究新知 22003 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 22003 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 归纳总结 22003 例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2（x-4）2-1 B．y=2（x+4）2+1 C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2-1 B 典型例题 22003 1.将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1 C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4 变式训练 C 22003 例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. A 典型例题 22003 例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 22003 58 C(3,0) B(1，3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解：如图建立直角坐标系， 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0=a(3－1)2＋3. 解得 因此抛物线的解析式为 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当x=0时，y=2.25. 答:水管长应为2.25 m. 3 4 a=－ y= (x－1)2＋3(0≤x≤3) 3 4 － 22003 59 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 1.完成下列表格: 当堂检测 22003 60 2.已知函数y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (1)指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　 ，顶点坐标为　 　 ； (2)当x　 　 时，y随x的增大而减小； 向下 直线x＝4 （4，﹣1） ＞4 解：将抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1． 22003 3.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1. (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 22003 ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， 22003 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象的特点 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴是x=h， 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. 课堂总结 22003 $