22.3 实际问题与二次函数教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数在实际问题中的应用，围绕最大面积与最大利润两大核心情境展开，通过“抛物线高度”引入函数最值概念，再过渡到矩形围栏和商品定价等生活化问题，层层递进构建知识支架，帮助学生从具体到抽象理解变量关系与函数建模。 本资料亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合。例如，在矩形面积问题中引导学生观察自变量范围变化对最值的影响，培养几何直观与逻辑推理能力；在利润问题中借助表格信息建立函数模型，强化数据意识与模型观念。教学过程注重问题驱动与小组合作，既提升学生分析解决实际问题的能力，又助力教师精准把握学情，实现高效课堂。

课时教学设计 第六周 第2课时 新课题目 22.3 实际问题与二次函数 教学目标 （核心素养） 1.能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数求出最大值，增强解决问题的能力； 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想． 重点 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 难点 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、创设情境，导入新知 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1： 求二次函数的最大（或最小）值 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 小球的运动时间是多少 s 时，小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ 追问1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 预设：小球的高度 h 与小球的运动时间 t 之间的关系. 追问2 如何判断小球的运动时间是多少 s 时，小球最高呢？ 预设：画出二次函数图象. 追问3 根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 预设：顶点. 追问4 小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 预设：顶点的纵坐标. 追问5 如何求出小球的最大高度？ 想一想 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 知识点2： 二次函数与几何图形面积的最值 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 预设：矩形面积 S 与一边长 l 的关系. 分析：则另一边长为__(30 − l ) ___m. 矩形菜园的面积 S =__(30 − l )l = −l2 + 30l___. 问题 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 变式 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 师生活动: 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量. 2.教师设问，如何用含x的代数式表示与其相邻的边的长度. 3.学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性. 4.针对问题要求进行求解，并回答问题. 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 预设：矩形面积与一边长的关系. ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式 ∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， ④ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？ 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. ∴21≤x＜30. ∵ 15＜21， ∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值= −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 三、当堂练习，巩固所学 1. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y 米关于水珠和喷头的水平距离 x 米的函数解析式是 (0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( ) A. 1 米 B. 2 米 C. 5 米 D. 6 米 设计意图： 创设现实生活问题情境，吸引学生兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识. 设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度. 设计意图：通过思考问题帮助同学总结求解二次函数最值的几种情况和方法，构建知识成体系. 设计意图：借助分析和问题，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生有不同层次的发现，加深对本题数量关系的理解，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题。 设计意图：根据墙长的变化，面积的表达式也在变化，同时自变量的取值范围也在变化；在求最值时，一定需要考虑自变量的取值是否在取值范围内，不在的时候根据函数草图结合自变量的范围求取最值. 设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生把数学知识运用到日常生活中，体会用数学的过程.由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程. 设计意图： 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进 行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 作业设计 练习题 板书设计 22.3 实际问题与二次函数 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 第六周 第3课时 新课题目 22.3 实际问题与二次函数 教学目标 （核心素养） 1．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值； 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想． 重点 应用二次函数解决实际问题中的最值问题. 难点 应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、创设情境，导入新知 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1：利用二次函数解决商品利润最大问题 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 师提问：与利润有关的有哪些等量关系？ 预设： 典例精析 例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每件每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30. ③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30). 当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250. ∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最大利润 6250 元. 降价销售 ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 学生根据表格表示关系，然后列出函数表达式，小组讨论结果，然后展示. 解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 − x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元. 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∵ 20 − x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20. y = −20x2 + 100x + 6000 或求出顶点横坐标(对称轴) y = −20x2 + 100x + 6000 对称轴为 ④ 结合自变量的取值范围，求最大值 即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元. 综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元. 归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 三、当堂练习，巩固所学 1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 2. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 3. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 设计意图：复习二次函数最值的求法，为本节课的学习做好准备。 设计意图：通过类比几何问题求最值的方法得到求利润问题的最大值的关键同样是求函数的最大值，同时复习利润相关的等量关系，为后文做铺垫. 设计意图： 通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型， 并感受数学的应用价值在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容. 设计意图： 能根据分段图象构建函数模型，结合利润关系式，列出二次函数式，体会不同范围下的二次函数的最值情况. 设计意图：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 作业设计 练习题 板书设计 第 2 课时 商品利润最大问题 1．利用二次函数求实际问题中的最大利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润 3.利用表格信息求最大利润 课后反思 教研组长意见及签字 学科网（北京）股份有限公司 $