1.4二次函数的应用课时训练-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.4二次函数的应用课时训练-2025-2026学年数学九年级上册浙教版 一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（   ） A．200 B．400 C．600 D．800 2．如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 3．在平面直角坐标系中，已知点，，下列函数图像中，与线段没有公共点的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，点从点出发，沿着折线的方向移动，直到与点重合停止运动，为中点，设点运动的距离为，的长度为，关于的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，为图象的最高点，点的坐标为，则点在运动过程中，的最小值是（   ） A．9 B． C．7 D． 5．如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 6．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（   ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（   ） A． B． C． D． 8．如图是某广场上喷泉的两支水柱的示意图，从A、两点喷出的两条形状相同的抛物线形水柱在点处交汇，落地点分别是点、在同一水平线上），以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知，两支水柱的最高点到的距离均为，且两支水柱最高点的水平距离为，则两支水柱落地点的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 10．已知二次函数 （1）该函数图象一定过定点，则该定点的坐标是 ． （2）已知点，若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 11．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 12．某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 14．蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 ． 15．如图，线段，点是线段上的动点（且不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，，连接，当最小时，的面积为 ． 16．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 三、解答题 17．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足函数关系，其图象如图所示． (1) 求a，b的值； (2) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 18．如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 19．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 20．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 21．在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 22．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4二次函数的应用课时训练-2025-2026学年数学九年级上册浙教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C D A B D B 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值． 【详解】解： ∵ 代入得： ∵二次项系数，抛物线开口向下， ∴顶点为最大值点， 当秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为米． 故选：C 2．D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想，画出图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：只有反比例函数与线段没有交点， 故选C． 4．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，二次函数的应用，勾股定理等知识，连接，作于点，由图象得到，再得到，由点坐标可知，当点运动到点时，，，则，，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解析：如图，连接，作于点， ∵图象是轴对称图形， ∴， ∵为中点， ∴， 由点坐标可知，当点运动到点时，，， ∴， 则，，， 在中，， ∴， ∴当时，有最小值． 5．A 【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可． 【详解】解：∵水面宽米， ∴点的横坐标为， ∴， 当水位上升2.7米后，， 令，则， 解得，， ∴水面宽等于， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求拋物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分且过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 设拋物线的解析式为， ∴ 解得， ∵， ∴当时，电功率P有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故选B． 7．D 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立函数关系式；由题意易得两支水柱的最高点坐标分别为，然后可设顶点式，进而把点M坐标代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：两支水柱的最高点坐标分别为，点，设其中一个水柱的函数关系式为，则有：， 解得：， ∴， 令，则有：， 解得：， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B． 9．/ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 10． 或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）将原函数化为即可求解； （2）分二次函数图象左半部分与线段相交和二次函数图象与线段相切两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵当时，， ∴该定点的坐标是； （2）∵抛物线开口向上，且过定点， ①抛物线左半部分与线段相交， ∴， ∴． ②当二次函数与直线只有一个交点时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立得， ， ∴， 由得， 或， ∴若函数图象与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是：或或． 11．6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 12．150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案为：150． 13．20 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 14． 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数，勾股定理；根据题意，把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，再根据勾股定理得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， 当，代入， 得 ∴中间大桥洞最高点对应的值为 把代入， 解得：， 则中间大桥洞的宽度为， 设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为 ∴ ∴ 解得： 综上，大圆弧所在圆的半径为 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．连接，过点作交的延长线于点H，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，再求出顶角是的三角形的面积即可． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点H，则， ， ． ， ， 是直角三角形． 设，则，， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， 当时，有最小值． ，， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 17．(1) (2)销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润是25元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，可以结合待定系数法得到函数解析式进行解答； （1）根据函数图象，可以得到图象经过点和，利用待定系数法，便可以解答本题； （2）根据二次函数的性质，利用配方法，可以得到二次函数的顶点坐标，由此便可以解答本题． 【详解】（1）解：从图中可以看出，二次函数的图象经过点和， 将两点坐标代入函数解析式，得， 解得， 因此，二次函数的解析式为； （2）解：， 所以当时，取最大值，此时． 故销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． 18．5小时 【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解． 【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意设，则； 把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：， ∴，， ∴顶点到的距离为1， ∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时）， 答：从处淹到拱桥顶还需要5小时． 19．(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 20．(1)对称轴是直线，b的值是，c的值是 (2) (3)存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或 【分析】（1）将A，B点的坐标代入中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值； （2）设，根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出，即可得点P的横坐标，代入即可求解； （3）设，根据勾股定理可表示出，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴对称轴是直线，b的值是，c的值是； （2）解：存在．设 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， 整理得：，解得：， ∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在， 设， 则， ， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②当时， 解得：， ∴点M的坐标为或； ③当时， 解得：， ∴点M的坐标为； ∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题． 21．(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【详解】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，判断出与平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，注意要分情况讨论． 22．(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $