1.3二次函数的性质课时训练-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.3二次函数的性质课时训练-2025-2026学年数学九年级上册浙教版 一、单选题 1．抛物线与轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 2．下列二次函数图像开口方向向下的是（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象能够与二次函数的图象重合，则平移方式为（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 6．如果关于的方程（，是正整数）有一正一负两个根，且正根小于3，那么这样的方程个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 10．抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为 ． 11．抛物线的对称轴是直线 ． 12．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 ． 13．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则当时，y的值为 x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是 ． 15．设，为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 ． 16．定义：对于某一函数，如果存在正实数，使得任意的函数值，都满足，那么称这个函数是限定函数，在所有满足条件的中，其最小值称为该函数的限定值．例如，如图所示的函数是限定函数，其限定值是3． ①已知函数是限定函数，则其限定值为 ； ②将函数的图象向下平移个单位长度，得到的函数是限定函数，且限定值是．若限定值满足，则对应的的取值范围为 ． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过点． (1)确定a的值； (2)求出该二次函数图象与y轴的交点坐标． 18．二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … (1)求该二次函数的表达式； (2)直接写出二次函数的图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 19．已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (3)当时，求y的取值范围． 20．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 21．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交于点D，过点P作的垂线，垂足为Q，若，求m的值； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线于点D，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3二次函数的性质课时训练-2025-2026学年数学九年级上册浙教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B B D C B B A 1．C 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的判别式．利用根的判别式判断的根的情况，即可求解． 【详解】解：令， ， 有两个不相等的实数根， 抛物线与轴的交点个数为2个， 故选C． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的图像和性质，二次项系数小于0，开口方向向下，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； B. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； C. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； D. 该选项，二次函数图像开口方向向下，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查二次函数的性质．解题的关键是根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性，增减性． 根据，两点的函数值相同，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性质，比较函数值大小即可． 【详解】解：抛物线过，两点， 对称轴为直线． ，开口向上， 当时，随的增大而减小， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 将其向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到二次函数． 故选：D． 6．C 【分析】题中条件“关于的方程（，是正整数）有一正一负两个根，且正根小于3”转化为函数的零点问题，利用函数的图象解决问题 . 本题考查一元二次方程根的分布，函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想 . 【详解】解：设(p，q是正整数)， 画出函数的图象 当时，， 当时，， ∴， 又∵p，q是正整数， ∴当时，，2，3，4，5， 当时，，2. 故这样的方程个数是7. 故选: C. 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 10．0或2 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意：令时，则有，设为该方程的两个根， ∵， ∴， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为， 解得：， 故答案为：0或2． 11． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式是解决本题的关键． 对于抛物线的对称轴为代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线． 故答案为： 12．或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．正确记忆二次函数的性质是解题关键．分与两种情况考虑，对于时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标． 【详解】解：①当时，函数是一次函数； 令，则， 解得：， 即交点为， ②当时，函数是二次函数， ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 即， 令，则， 解得：， 即交点为． 综上，函数与x轴的这个交点为或． 故答案为：或． 13．10 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性等知识，由表知当时的函数值相等，则可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数图象的对称性，当时的函数值等于时的函数值，由表即可求解． 【详解】解：由表知当时的函数值相等，均为2， 则抛物线的对称轴为直线， 根据二次函数图象的对称性，当时的函数值等于时的函数值， 当时的函数值为10， ∴当时的函数值， 故答案为：10． 14．， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，结合抛物线与直线的两个交点坐标分别为，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ∴的解是，， 故答案为：， 15．/0.25 【分析】本题主要考查一次函数在区间上的约束条件与参数最值问题，涉及不等式约束下的极值求解．利用端点分析：一次函数在区间上的最大值和最小值出现在端点，因此只需保证端点处满足，将函数在端点的条件转化为关于和的不等式，得到和；分情况讨论：根据的正负，分别在的上下限中选择使最大的值，转化为单变量二次函数求极值． 【详解】解：函数在区间上满足，因此： 当时，，即， 当时，，即， 情况一：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值； 情况二：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值， 两种情况下的最大值均为，因此最大值是； 故答案为：． 16． 2 或 【分析】本题考查二次函数性质，二次函数平移规律，新定义，解题的关键在于正确理解限定函数与限定值的概念． ①根据二次函数性质推出的取值范围，结合取值范围即可推出其限定值； ②根据二次函数平移规律，以及二次函数性质分情况：当时，当，，，当时，当，．，再结合限定值分析求解，即可解题． 【详解】解：①当时，．当时，， 又，顶点为， 当时，． 是限定函数． 限定值为2． ②当时，当，，． ⅰ）当时，即时， 限定值． ，解得． ⅱ）当时，即时，有； 当时，当，．，此时， ，解得，结合，的值不存在． 综上所述，或． 故答案为：①2；②或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，涉及抛物线与y轴交点问题． （1）把点代入，即可求解； （2）令，求出y的值，即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：； （2）解：抛物线解析式为， 当时，， 所以抛物线与y轴交点坐标为． 18．(1) (2)， (3) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，根据函数值确定自变量的取值范围，正确掌握二次函数的解析式的求法是解题的 关键． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）求出时函数图象上的点的坐标，利用函数的开口方向确定答案． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为， 将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由表格得，当和时，函数值 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∵二次函数和x轴的一个交点为 ∴二次函数和x轴的另一个交点为 ∴二次函数和x轴的交点坐标为，； （3）解：∵由表格得，当和时，函数值 ∵中二次项系数为， ∴抛物线开口向上 ∴当时，x的取值范围为． 19．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，配方法，二次函数图象的平移等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接配方即可化为的形式，从而可写出对称轴与顶点坐标； （2）抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式为，根据抛物线过原点即可求得m的值； （3）求出当与时的函数值，根据顶点坐标即可确定y的取值范围． 【详解】（1）解： ； 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后的解析式， 由于抛物线过原点，则， 即， ∴， 解得：或或或， ∵， ∴或； （3）解：当时，；当时，， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，即当，函数取得最大值8， ∴当时，． 20．(1)二次函数图象的对称轴为直线； (2)画图见解析； (3)的取值范围为． 【分析】（1）把配方成顶点式即可求解； （2）根据画函数图象的步骤即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 本题考查了画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）列表如下： 描点，连线如下： （3）根据图象可知，当时，的取值范围为． 21．(1) (2)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当为对角线时，②当为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 与x轴交于点A，， ∴点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式； （2）设， ∵，， ∴， ①以为对角线时，如图， ， ∴， 解得：，或， ∴点或， ∵，， ∴，或， ，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，如图， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴，或，， ∴，或，， ∴点F的坐标为或． 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 22．(1) (2)m的值为 (3)m的值为或或5.5或8时，是等腰三角形 【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式； （2）由待定系数法求出直线BC的解析式为，设，则，根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∴m的值为； （3）由（2）可知直线的解析式为，向下平移5个单位得到， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 若是等腰三角形，可分三种情况： ①当时， ∴， 解得，， ②当时， ∴， 解得，（舍去），， ③当时， ∴， 解得，． 综上所述，m的值为或或5.5或8时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、勾股定理、两点间的距离公式，全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $