1.3.5直角三角形的判定（HL）同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1.3.5直角三角形的判定（HL） 一、基础过关 1．如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，要用“”判定和全等的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（   ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等 5．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 6．如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 8．如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是 ； （2）若，则的依据是 ； （3）若，，则的依据是 ； （4）若，，则的依据是 ； （5）若，，则的依据是 ． 9．如图，在中，，于点M，于点N．若，则的度数为 ． 10．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 11．如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 12．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 13．如图，在中，于点，，，求证：． 14．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 15．如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 二、能力提升 16．如图，在中，cm，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（    ） A． B． 或 C． D．或 17．已知在与中，若，，，若则 度． 18．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当为直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道． 第二种情况：当为钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：． 第三种情况：当为锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）． （4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论： 在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：添加条件：， ∵ 在和中， ， ∴， 故选：B． 2．C 【详解】解：“”定理适用于直角三角形全等的判定，具体为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等， 对比选项，只有C项符合题意， 故选：C． 3．D 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：D． 4．D 【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（SAS）判断，正确； B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；可由（AAS）判断，正确； C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（HL）判断，正确； D．有两边相等的两个直角三角形无法判定边的对应相等关系，故不一定全等；选项错误，符合题意； 故选： D． 5．A 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6．C 【详解】解：∵于点M，于点N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 8． 【详解】解：（1）∵，，∴；故答案为： （2）∵，∴；故答案为： （3）∵，，∴；故答案为： （4）∵，，∴；故答案为： （5）∵，，∴；故答案为： 9． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：. 10． 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 11．9 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 12．见解析 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 13．见解析 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 14．见解析 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 15． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16．D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值． 【详解】解：， ， 根据三角形全等的判定方法可知： ①当P运动到时， ∵， 在与中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ， ∴， 即， 综上所述，当的值为或时，与全等， 故选：D． 17．130或50 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，作一个角等于已知角，作三角形，根据题意作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H，易证，再根据三角形全等的性质即可解答． 【详解】解：如图，作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H， 当为锐角， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当为钝角时， 同理得， ∴； ∴； 综上，的角度为或． 故答案为：130或50． 18．（1）；（2）见解析；（3）见详解；（4） 【分析】（1）根据可以知道． （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．先根据证明，则可得．再根据证明，则可得．最后根据即可证明． （3）根据题目要求作图即可． （4）由前面（1）（2）（3）的结论可得时， 【详解】解：（1）如图①，在和中，，，，根据可以知道． 故答案为： （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H． ∵，且、都是钝角， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． （3）如图，在和中，，，，，且，都是锐角，但和不一定全等．即为所求； （4）由(1)(2)(3)的结论可知：在和中，，，，且，都是锐角，若，则． 故答案为：． 答案第6页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $