13.2.1三角形的三边关系　课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 （第1课时）三角形三边关系 学习目标 1、理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边. 2、会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围. 3、了解三角形的稳定性. 议一议 　　 如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出 发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？ A B C 路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点A，再由点A到点C。 两条路线长分别是BC,AB+AC. 由“两点之间，线段最短” 可以得到AB+AC>BC 同理可得:AC+BC>AB,AB+BC>AC 三角形的三边有这样的关系： 三角形两边的和大于第三边 结论 A B C a b c 三角形两边的差小于第三边. 如图：在△ABC中， a-b＜c, b-c＜a, c-a＜b. 在一个三角形中，任何两边之差与第三边有什么关系？ 请同学们自己在本子上任意画一个三角形，量出三边的长，再用任何两边的差与第三边比较，得出什么样的结论？ 5 练一练1、教材p7练习第2题 2、现有四根木棒长分别为3cm、6cm和2cm、5cm，用其中任意三根木棒能围成几个不同三角形? 答：符合三角形三边关系的三角形有二种： （1）.2cm、5cm、6cm;（2）.3cm、5cm、6cm 解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 1 dm < 4 dm； 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm. 教材p7练习第1题 3、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3 , 4, 8 (2)5 , 6 , 11 (3)5 , 6, 10 解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8,即两条线段的和 　　　小于第三条线段，所以不能组成三角形 （2）不能组成三角形，因为5+6=11即两条线段的和 　　等于第三条直线，所以不能组成三角形 （3）能组成三角形，因为任意两条线段的和都大　　　　　　　　　　于第三条线段。 判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你 刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？ 思考 注意： 1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边. 2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边. 3.最简单的方法是: (1)找出三条线段中两条较短线段； (2)两条较短线段的长度的和是否大于第三条线对的长度。 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 1，3，7 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 4，6，10 （ ） （4）3k，4k，5k （k>0）（ ） 能 不能 不能 跟踪练习 能 2.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm, 则它的周长为____cm 27 5,5,11 11,11,5 √ × 3.有两根钢筋，长度是30cm和50cm，另取一根钢筋，使者三根钢筋可焊接成一个三角形钢架，那么第三根钢筋的长度在什么范围内？ 解：设第三根钢筋长xcm，则由三角形三边关系定理，得： 50-30 < x < 50+30 ∴20< x <80 则第三根钢筋的长度在20cm到80cm之间（不含20cm和80cm）即可 已知两边确定第三边取值范围的依据：两边之差的绝对值<第三边<两边之和，即三角形两边的长为a、b,第三边长x的取值范围为：|a-b|＜x ＜ a+b. 例.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？ 教材P6例题 解:(1)设地为x,则腰为2x，根据题意可得 X+2x+2x=18 解之得，x=3.6 则，2x=7.2 ∴各边长分别是7.2cm,7.2cm,3.6cm. (2)分两种情况讨论： ①当底长为4厘米时，则腰长为 ②当腰为4cm时，则底长为18-4×2=10 (18-4) ÷2=7 ∵4+4﹤10, ∴不能围成腰长是4cm的等腰三角形 综合上述可得，可为成底边长是4cm的等腰三角形。 已知等腰三角形的一边等于7，一边等于8，求它的周长。 分析：因为题目没有明确指出底和腰，所以应分两种情况讨论。 已知等腰三角形的一边等于6，一边等于13，求它的周长。 分析：因为题目没有明确指出底和腰，所以应分两种情况讨论。问腰能等于6 时吗? 练一练:我能行 你能写出过程吗？ 知识点2 三角形的稳定性 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 知识点2 三角形的稳定性 探 究 如图，将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 知识点2 三角形的稳定性 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 发现：四边形的形状会改变. 知识点2 三角形的稳定性 在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗? 发现：它的形状不会改变. 知识点2 三角形的稳定性 三角形是具有稳定性的图形. 知识点2 三角形的稳定性 判断下列图形中哪些具有稳定性. 具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 知识点2 三角形的稳定性 三角形的稳定性有着广泛的应用. 知识点2 三角形的稳定性 如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF、EG 固定门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？ B A E F C D G 解：利用的是三角形的稳定性.四边形不具有稳定性，通过增加木条构成新的三角形，达到稳固的效果. 随堂演练 1、 如果三角形的两边长分别是 2 和 4，且第三边是奇数，那么第三边长为______. 若第三边为偶数，那么三角形的周长为______. 3或5 10 2、 已知 a，b，c 分别是三角形三边的长，化简： |a – b + c| + |b – a – c| – |a + b + c| =_________. a – 3b + c 3. 如图，P是△ABC 内一点，连结 BP 并延长，交 AC 于点 D，连结 CP. （1）试探究 AB + BC + AC 与 2BD 的大小关系； （2）试探究 AB + AC 与 PB + PC 的大小关系. A B D P C 解：（1）根据三角形的三边关系，可得 BC + CD > BD，AB + AD > BD， ∴BC + CD + AB + AD > 2BD， 即 AB + BC + AC > 2BD. （2）根据三角形的三边关系，可得 AB + AD > BD，PD + CD > PC， ∴BC + AC + PD + CD > BD + PC， ∴ AB + AC > BD + PC – PD， 即 AB + AC > PB + PC. A B D P C 想一想：一定行 .如图，线段AB、CD相交于点O，能否确定AB+CD与AD+BC的大小，并说明理由。 在△AOD与△BOC中有： AO+OD > AD BO+OC > BC ∴AO+OD+BO+OC >AD+BC 即AB+CD>AD+BC 答：AB+CD>AD+BC 理由如下： 课堂小结 三角形的三边关系 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 应用 三角形的稳定性 布置作业 课本：习题13.2 1，P9-10 第2,6题. 2，已知：点O是ABC内一点，求证： A B C O (1).OA+OB+OC<AB+BC+AC $