八年级数学上学期第一次月考（湘教版2024第1章～2.3，高效培优·提升卷）

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B D B D C A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.xy+1(xy-1 12.2 13.11 14.4048y 15.13 16.-3或0或1 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：3b2-12b+12 =3b2-46+4 =3b-2）2;3分 (2)解：a3(x-y)+ab2(y-x =a(x-y)(a2-b2) =ax-y)a+b）(a-b)..6分 18. 【详解】(1)解：2-】2+ x2-2x+1x-1 =x+(x-1x-1 (x-1)3 x(x+1 3分 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) a-2a-1-2a-1 a2-19 a+1 a-2 a2-12a-1 (a+1)(a-1)"a+1a+1 a-2 a2-2a (a+1)(a-1)a+1 a-2 a+1 (a+1)(a-1)a(a-2) 1 = a(a-1) 1 ，6分 a2-a 19. m2-9 【详解】解： 3）.m2 m2-6m+9m-3m-3 (m+3)(m-3)3m-3 ((m-3) m-3m2 m+33）m-3 m-3m-3m1 =m,m-3 m-3m2 1 ,4.4分 m 当m=3,m=0时，原式无意义， 所以m=1. 当m=1时，原式=1.2分 20. 【详解】解：(1)由3x-6=0,得x=2, 当x=2时，2x+1≠0； L当2时，分式的值为0：2分 2:由分式2的能为正，得：+1与同号， x≠0， x2>0, 2x+1>0, 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得：x>- 24分 3)由分式x二2的值为负，得x-2与子异号， :x≠0， x2>0, ∴.x-2<0, 解得：X<2,6分 21. 【详解】(1)解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C;…2分 (2)解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为(x-1;…4 分 (3)解：设y=x2-4x, 则原式=(y+2)(y+6)+4 =y2+8y+12+4 =y2+8y+16 =(y+4)1 =x2-4x+4 =(x-2）.8分 22. 【详解】(1)解：设另一个因式是x+b,则有： (2x-5)(x+b)=2x2+2bx-5x-5b=2x2+(2b-5)x-5b=2x2+3x-k, 「2b-5=3 则 -5b=-k b=4 解得： k=20' 则另一个因式是：x+4,k=20;4分 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是(2x+a),a是正整数，设另一个因式是3x+m,则 6x2+4ax+2=2x+a3x+m）=6x2+(2m+3ax+am, [2m+3a=4a 则 am=2 m=1 解得 a=2’或 。-2（舍去，不符合题意）， m=-1 另一个因式是3x+1, 故另一个因式是3x+1,a=2.8分 23. 【详解】(1)解：：第1个等式：1×1+3-2=0， 2 第2个等式： 1 第3个等式： 1.9+722 34331 第4个等式： 116+913 4×524 :第5个等式： 125+1124 5x655 125+1124 故答案为：行×6-5行：3分 (2)解：由(1)归纳可得： 第n个等式：1×n+2n+1_2=n-1 nn+l nn (n≥1，且n为整数) 证明如下：左边=n+2-”+12_”-1=右边， n(n+1 nnnn :1×+2n+1_2_”-l成立5分 nn+l n n 24. +2'D=+5x+6 【详解】(1)解：“C=1 x2+4x+4 ..C-D =1-x2+5x+6 x+2x2+4x+4 =x+2_x2+5x+6 (x+2)2(x+2 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x2-4x-4 (x+22 =-x+22 (x+2)2 =-1<0, C不是D的“雅中式”；5分 0- E (2)解：：分式P= ,P是2的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， :E=2+2x9-x) 3-x (6-2x+2x(3+x(3-刘 = （3-x3-x 6(3+x(3- = 3- =63+x =18+6x.12分 25. 【详解】1)解：①+2-+2=1+2 xxx ②x-4=x_4x 1; 4444 ③+2-x+1+1=1+1 x+1x+1x+1x+1 ④广+1=y1 1 :①③④是“和谐分式” 故答案为：①③④.3分 (2)解：r2-6x-2 x-3 -x2-6x+9-11 x-3 =x-32-11 x-3 -x-3)211 x-3x-3 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x-3-11 x-31 放谷案为：3-”38分 (3)解：。-6x-2=x-3-山的值为整数， x-3 x-3 ·当x为整数时， 二3的值也要为整数 ·当x-3=±1或x-3=±11时，分式的值为整数， x=4或x=2或x=14或x=-8, 即当x的值为4或2或14或-8时，“和谐分式-6x-2的值为整数.…12分 x-3 6/6 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第1章~第2.3章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式中是分式的为（    ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 4．若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值（   ） A．是原来的倍 B．是原来的倍 C．是原来的 D．不变 5．如果分式的值为0，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 6．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 9．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 10．已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．若，则 ． 13．若为任意整数且，则的值总能被 整除． 14．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 15．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 16．已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．分解因式： (1)； (2)． 18．化简下列各式： (1)； (2)． 19．先化简：，然后在3、0、1中选取一个合适的数作为的值代入求值． 20．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 21．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 23．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 24．我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级上册第1章~第2.3章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式中是分式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟练掌握分式的定义是解题关键．根据分式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是分式，则此项符合题意； B、是多项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； C、是多项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； D、是单项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； 故选：A． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】A．因为 ，所以不是因式分解； B． ，是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，是正确的因式分解，符合题意； C． 的右边不是积的形式，不是因式分解 D． 的右边不是积的形式，不是因式分解 故选：B 3．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 4．若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值（   ） A．是原来的倍 B．是原来的倍 C．是原来的 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终即可得出结论． 【详解】分式中的、的值同时扩大到原来的倍，得， 故选B． 5．如果分式的值为0，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为0．熟练掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，是解题的关键． 先分子为0，解绝对值方程，再验证分母是否非零． 【详解】解：由分子，解得，即或． 当时，分母，此时分式无意义，舍去． 当时，分母，满足条件． 综上，唯一满足条件的值为． 故选：D． 6．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，根据分式的加减乘除运算法则进行逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 9．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 10．已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①将转化为关于的不等式，判断其恒成立的条件； ②代入计算的值； ③当时，将分式化简并分析可能的整数解． 【详解】由得，化简得，即．因此，若对任意成立，则必须满足，结论①正确； 当时，，，，与无关，结论②正确； 当时，分式需为负整数， 由分式值为整数得分母为6的因数，可取，可取， 又分式值为负数，对的值逐个检验，只有，，符合题意，故共2个整数解，结论③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用公式法因式分解．关键是根据多项式的特点，合理地选择乘法公式．运用平方差公式分解因式即可求出． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 13．若为任意整数且，则的值总能被 整除． 【答案】11 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式对式子进行因式分解． 先利用平方差公式对进行因式分解，再结合化简式子，从而确定能整除该式子的数． 【详解】解： 因为已知，将其代入上式，得到． 这表明是11的倍数，即它的值总能被11整除． 故答案为：11． 14．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，分式的化简求值，理解新定义，进行化简，用整体代换法是解题的关键．根据新定义得，通分得，将此代入即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 整理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 16．已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查综合运用提公因式法分解因式和公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由完全平方公式分解因式即可得到答案； （2）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 19．先化简：，然后在3、0、1中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先把除法转化为乘法，把分子和分母分解因式，然后利用分配律计算，再合并同类项即可化简，然后选取适当的数值代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式无意义， 所以． 当时，原式． 20．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 21．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底， (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； （3）解：设， 则原式 ． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 23．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)（，且为整数），证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． （1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 24．我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $