九年级数学上学期第一次月考（湘教版第一章～第二章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】A：是一元二次方程，故本选项符合题意； B：是二元二次方程，故本选项不符合题意； C：是二元一次方程，故本选项不符合题意； D：当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 故选： 3．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵ ∴根的情况是有两个相等的实数根 故选：B 5．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 6．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 7．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压()是气体体积的反比例函数，且过点，故；故当，可判断． 【详解】解：设球内气体的气压()和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， 即， 在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 8．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 9．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．①把代入求得，然后代入求得；②联立解析式，解方程组即可求得；③根据同底等高的三角形面积相等，得出；④根据列出，解得． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 点在双曲线上， ，故①正确； ②联立， 解得或， 点B的坐标为，故②正确； ③将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F， ， 和是同底等高， ，故③正确； ④， ， 解得，故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】反比例函数的图像在第二、四象限，得到，解答即可． 本题考查了图像分布与比例系数k的关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12．当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13．设、 是一元二次方程的两个根， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得：，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的系数判断函数图象所在象限，再依据各象限内函数的增减性以及点的横坐标正负，比较纵坐标的大小．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵ ∴点在第一象限，点在第三象限 ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶ 设，由直线轴， ，两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上 当，． 即A点坐标为， 点B在反比例函数的图象上， 当，． 即B点坐标为． ． ． 故答案为∶3 16．如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据不同情况表示出四边形的面积，进而列出方程求解． 分三种情况讨论，分别用含时间t的式子表示出相关线段长度，再根据四边形面积与三角形面积的关系列出方程求解． 【详解】解：①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴． （2）解：， ， ， ∴或， ∴． 18．已知是的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数综合，涉及待定系数法确定反比例函数解析式、反比例函数图象与性质求函数值的取值范围．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）设，将，代入求解即可得到答案； （2）由（1）求出的解析式，当时，，再由反比例函数图象与性质得到在第二、四象限中，随的增大而增大，从而确定当时，的取值范围． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， 由反比例函数性质可知，在第二、四象限中，随的增大而增大， 则当时，的取值范围是． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． （1）先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求解； （2）根据点A与点C均在反比例函数图象上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 20．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？ (2)若是“三倍根方程”，求n的值． 【答案】(1)方程是“三倍根方程” (2)或9 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴方程是“三倍根方程”； （2）∵， ∴， 解得，， ∵是“三倍根方程”， ∴或， 即或， ∴或9． 21．已知，长方形在平面直角坐标系中的位置如图，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接． (1)求线段的长； (2)过点作轴的平行线交线段于，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线解析式，求出，即可求出面积． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴，代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， ∵， 则； （2）解：设直线表达式为，把代入， 则， ， ∴直线表达式为， ∵轴， ∴点M的纵坐标为2，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴, ∴． 22．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系把和分别用含的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为． 23．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 24．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【详解】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 25．【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 3．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 6．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 7．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 8．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A．B．C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是 ． 12．当 时，关于的方程是一元二次方程． 13．设、 是一元二次方程的两个根， 则 ． 14．若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是 ． 15．如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 16．如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解关于x的方程： (1)； (2)． 18．已知是的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 20．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？ (2)若是“三倍根方程”，求n的值． 21．已知，长方形在平面直角坐标系中的位置如图，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接． (1)求线段的长； (2)过点作轴的平行线交线段于，求的面积． 22．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 23．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 24．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 25．【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D B A D A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15．3 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴．..............3分 （2）解：， ， ， ∴或， ∴．..............6分 18． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则与之间的函数解析式为；..............3分 （2）解：由（1）知， 当时，， ， 由反比例函数性质可知，在第二、四象限中，随的增大而增大， 则当时，的取值范围是．..............6分 19． 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，；..............3分 （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴．..............6分 20． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴方程是“三倍根方程”；..............3分 （2）∵， ∴， 解得，， ∵是“三倍根方程”， ∴或， 即或， ∴或9．.............6分 21． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴，代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， ∵， 则；..............4分 （2）解：设直线表达式为，把代入， 则， ， ∴直线表达式为， ∵轴， ∴点M的纵坐标为2，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴, ∴．..............8分 22． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是．..............3分 （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为．..............8分 23． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为．..............3分 （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元．..............8分 24． 【详解】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ，..............6分 （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受．..............12分 25． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：；..............3分 （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴；..............7分 （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．..............12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $