九年级数学上学期第一次月考（湘教版第一章～第二章，高效培优·强化卷）

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B B A C D A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.x2-7x-1=0 12.m>3 13.0<x<1或x<-3 14.x=6 15.5 16.60°或120° 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：2(x+3)2=xx+3, 移项得2(x+3)2-x(x+3=0, (x+3)[2(x+3)-x]=0, 即：(x+3(x+6)=0, 则x+3=0或x+6=0, X1=-3,x2=-6;3分 (2)解：x2-2V5x+2=0, :a=1,b=-2V5,c=2, :b2-4ac=(-2V5)2-4×1×2=12>0, x=25±匝-5t5, 2 x=5+5,x,=5-V5.6分 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18. 【详解】(1)解：由题意得，△=（-22-4m×(-1)≥0，且m≠0 m2-1且m≠0；3分 (2)由题意得，+5=名，出，=- 1 m :x2+x3=-6xx2+3, *-2x=-6+,品-23 整理得：3m2+4m-4=0, 解得：m片或m=-2（舍为 2 ÷m=行6分 19. 【详解】(1)解：将C(-2,0)代入y=x+1, 得，0=-2k+1, 解得，k=2 1 :一次函数的解析式为y=2x+山， 把4m代入y=+1, 得，m=x1+1=3 1 2 2 将42代入y=得 x 3 解得，a=。 2 3 反比例函数的解折式为)23分 (2)如答图，过点A作AH⊥x轴于点H. 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B OH 点引。 (-2,0), am-30c-2 BP=BC,BO⊥CP, .0P=0C=2. ∴.PC=4. 1 对于y=2+1,当x=0时，y=L. 点B(0,1. .OB=1. .S.PAC 2*4x3 =IPCAH=1 2 3, 2 -1PC0B=1x4x1=2. SPBC=2 Γ2 :S.P4B=S.P4C-S.Pac =3-2=1.......6 20. 【详解】(1)解：设一次函数表达式为y=x+b,把(0,30)和(7,100)代入得， 30=b 100=7k+b' k=10 解得 b=30' .一次函数的表达式为y=10x+30, 设反比例函数表达式为y=”m,把(7,100)代入得。 10-%, 解得m=700, 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 反比例函数表达式为y=700 ;3分 (2)解：把y=50代入y=10x+30,得10x+30=50, 解得x=2, 把y=50代入y=70,得 00=50, 解得x=14, 把y=30代入y=700 ,得 700 =30, 解得x=70 : 3(14-2)=34 min :他最多需要等待4min.…6分 3 21. 【详解】(1)解：过点B作BE⊥x轴，BF⊥y轴，垂足为E,F, 设Aa,b), :k=32,口0ABC面积为24， B 32 ∴.y= S0=5c-32,244. 2 ab=8, :0A=BC=2V5, ∴.a2+b2=20, 解得a=2,b=4或a=4,b=2, A2,4或A4,2, 将y=4和y=2分别代入y=32,解得：【=8或x=16, .B(8,4)或(16,2).4分 (2)解：设B22 。k 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，点B作BE⊥x轴，过点P作PH⊥BE, 根据旋转可知OB=BP,∠OBP=∠1+∠2=90°， :∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， .∠4=∠5=90°，∠2=∠3，OB=BP, △OBE≌△BPH(AAS), OE=BH =2.BE=HP .HE =BE-BH= k-2 B 人3 点P在反比例函数图象上，可得2+22k, 整理得k2-4k-16=0, .k=2+2√5（负值己舍去).8分 22. 【详解】(1)解：设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为x, 根据题意得：201+x)=45, 解得：x=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意，舍去). 答：该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为50%；3分 (2)设新产品每套应涨价y万元，则每套利润为20+y)万元，月销售量为45-y)套， 根据题意得：（20+y)(45-y)=946, 整理得：y2-25y+46=0, 解得：=2，y2=23, 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又要尽可能让顾客得到实惠， y=2」 答：新产品每套应涨价2万元.5分 23. 【详解】(1)解：连接AC,设AC,BD交于点E, VA o :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,AE=CE,BE=DE, :反比例函数y=《(x>0)的图象和菱形ABCD都在第一象限内，AB=。，BD∥x轴，BD=4, 2 5 4B-BC-7BE-DE-2. .CE=AE -2- :点A(3,5), C(3,2), :反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, k=3×2=6, 反比例函数的解析式为y=。,…3分 (2)解：点A3,5), 将菱形ABCD向下平移mm>O)个单位长度， cB2-mDs}月 当A',D两点同时落在反比例函数图象上时， 35-= 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 ∴.m= 4’ 》 ·k=3x15、45 44 当，C两点同时落在反七例函数图象上时，则1})， 99 .k=1×2 44 综上所运，m的值为子此时k的值为或学…8分 24. 【详解】(1)解：解方程x2+3x=0得， xx+3=0, x1=-3,x2=0, x<x2, ·该方程的衍生点M的坐标为(-3,0)；4分 (2):方程为x2-(5m+1)x+5m=0, （x-5m)(x-1)=0, 1=5m,x2=1或x=1,x2=5m, 0当5m<,即m爵 衍生点M的坐标为(5m,). 点M在直线y=-2x上， 代入得1=-2×5m, m=。行合随意： ②当5m>1,即m>亏时， 衍生点M的坐标为(1,5m), :点M在直线y=-2x上， 代入得5m=-2×1, 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 :m=-5,与m>5矛盾，故舍去： 综上，m=10 8分 (3)存在b,c满足条件，理由如下： :y=kx+2(k+3)=k(x+2)+6, :直线经过定点(-2,6)， .方程x2+bx+c=0的衍生点M为-2,6)， 即x1=-2,x2=6, :b=-（x1+x2）=-4,c=xx2=-12.…12分 25. 【详解】解：（1)：(2+3×2=10≠2×3=6， .点C2,3)不是“美好点”， :点D(4,b)是第四象限内的一个“美好点”， .2(4-b=4×-b), 解得：b=-4, 故答案为：不是，-4；4分 (2)①：Em,10)m>0)是“美好点”， .2×m+10=10m, 解得：m=2' 将[得10代入双曲线)=年，各=25， 故答案为：25； ②第一象限内的“美好点”F在直线y=x+3上， 2(x+x+3=xx+3), 解得x=3或x=-2（不符合题意，舍去)， 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+3=6, .满足条件的F点的坐标为3,6)；8分 (3)①点Px,y)是第一象限内的“美好点”， .2(x+y=xy, 2x4 化简得：y= +2, x-2x-2 x>0 由题意可得 2x >0, x-2 x-2≠0 .x>2, 4 ∴.y= x-2 +2(x>2): ②对于图象上任意一点(x,y),代数式2-x)(y-2)是为定值，定值为-4，理由， :y=x-2 4 2 2-y-2=2-2+2-2=4, 对于图象上任意一点(x,y),代数式(2-x)(y-2)是为定值，定值为-4.12分 9/9 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B． C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 3．若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 4．定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．若是方程的一个根，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：代入方程，得：， 解得或． 故选：C． 6．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解题意是解题的关键．根据反比例函数的定义及图象可知，函数图象为第一象限内的反比例函数图象，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴（，）， 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象． 故选：D． 7．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 8．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确． 故选：C ． 9．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（    ）． A．12或 B．24或 C．24或 D．12或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， ∵c是一元二次方程的一个根， ∴或， ①当时，则， 如图，作于点， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴是直角三角形， ∴； 综上，的面积是24或； 故选：C． 10．对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据“同函数”的定义，结合一次函数与反比例函数的性质，对三个结论逐一进行分析判断． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了是否有交点的判断以及交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，明确函数与方程的关系是解题的关键． 【详解】解：①若函数与互为“同函数”，则，， 令，整理得， ， 函数与函数一定相交， ①正确； ②若函数与互为“同函数”，当时，则，， 令，整理得， ， ， ， 两函数图象的交点是，， ②正确； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，则交点为， 把代入得，， ， ， ， 函数过定点． ③错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a、b、c为常数，掌握这一形式是解题的关键，方程去括号、移项、再合并同类项即可化为一般形式． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即一般形式为． 12．反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据反比例函数的增减性，求参数的范围，根据题意，易得，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据得，结合交点的横坐标和图象解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解析式构成不等式解集计算，熟练掌握交点的意义，不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集即的解集为或， 故答案为：或． 14．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．将题干中的一元二次方程通过变量代换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解，再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程整理得：． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为：． 15．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 16．现有一个面积为的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为 ． 【答案】或 【分析】设菱形的两条对角线长分别为，根据菱形的面积公式得到，根据根与系数的关系得到，求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长分别为2和，再利用菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为， ∵菱形的面积， ∴， ∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得：，， ∴菱形的两条对角线长分别为2和， 如图，菱形的对角线，， 则，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵菱形， ∴，， ∴该菱形的一个内角的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及求根公式是解题的关键． （1）根据因式分解法求解一元二次方程即可； （2）根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 即：， 则或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求k的值与反比例函数的解析式； (2)P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，割补法求三角形面积，是解题的关键． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）求得，根据，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为， 把代入， 得，， ∴， 将代入，得， 解得，， ∴反比例函数的解析式为． （2）如答图，过点A作轴于点H． ∵点，， ∴，． ∵，， ∴． ∴． 对于，当时，． ∴点． ∴． ∴， ． ∴． 20．如图为某新款茶吧机，接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，重复上述自动程序，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)请求出一次函数与反比例函数表达式； (2)某同学想喝高于的水，请问他最多需要等待多长时间? 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把分别代入一次函数与反比例函数表达式求出的值，再把代入反比例函数表达式求出的值，用一个周期总的时间减去水温高于的时间即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∵， ∴他最多需要等待． 21．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上一点． (1)若，作面积为24的，其中点在轴正半轴上，且，求点的坐标． (2)若点的横坐标为2，连结，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在该函数图象上，求的值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作轴，轴，垂足为，设由面积为 24 ，得到，求得，于是得到结论； （2）设，根据旋转得出点，根据点在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作轴，轴，垂足为， 设， 面积为24， ， ， ， ， 解得或， ∴或， 将和分别代入，解得：或， 或． （2）解：设， 如图，点作轴，过点作， 根据旋转可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则点， 点在反比例函数图象上，可得， 整理得， （负值已舍去）． 22．2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省本溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线．了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况．本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套． (1)求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率； (2)该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元．因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该厂要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？ 【答案】(1)该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为 (2)新产品每套应涨价2万元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为，根据新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套，列出一元二次方程，求解即可． （2）设新产品每套应涨价万元，则每套利润为万元，月销售量为套，根据该公司要想在3月份获利946万元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率为； （2）设新产品每套应涨价万元，则每套利润为万元，月销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：新产品每套应涨价2万元． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 【答案】(1) (2)m的值为， k的值为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可得，再结合反比例函数的性质可求出点B，D的坐标，从而得到点C的坐标，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点，， 将菱形向下平移个单位长度， ∴，， 当两点同时落在反比例函数图象上时， ∴， ∴， ∴， ∴． 当两点同时落在反比例函数图象上时，则， ∴． 综上所述，m的值为，此时k的值为或． 24．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； （2）方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 25．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； 根据“美好点”的定义求出的值，即可得到答案； （）根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； 将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B． C．3 D．以上都不对 3．若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 4．定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．若是方程的一个根，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A．B．C．D． 7．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 8．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 9．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（    ）． A．12或 B．24或 C．24或 D．12或 10．对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将一元二次方程化为一般形式是 ． 12．反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围 ． 13．如图，直线与双曲线相交于两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集为 ． 14．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 15．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 16．现有一个面积为的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求k的值与反比例函数的解析式； (2)P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 20．如图为某新款茶吧机，接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，重复上述自动程序，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)请求出一次函数与反比例函数表达式； (2)某同学想喝高于的水，请问他最多需要等待多长时间? 21．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上一点． (1)若，作面积为24的，其中点在轴正半轴上，且，求点的坐标． (2)若点的横坐标为2，连结，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在该函数图象上，求的值． 22．2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省本溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线．了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况．本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套． (1)求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率； (2)该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元．因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该厂要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？ 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 24．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 25．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $