第二讲复数知识总结与题型归纳讲义-2026届高三艺术班数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第二讲：复数知识总结与题型归纳 知识再现 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 3、复数的常用结论 （1）当时，. （2）z·＝|z|2＝||2. 题型归纳 题型一 复数的概念 例1：已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 例2：若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）． A． B．3 C． D．2 例3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．4 D． 例5．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D．2 例6．若是纯虚数，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．－9 D．9 例7．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 例8.已知i是虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C． D．3 举一反三 1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 2．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．3 4．已知复数，则以下判断正确的是（    ） A．复数的模为1 B．复数的模为 C．复数的虚部为 D．复数的虚部为 题型二 复数的几何意义 例9．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例10.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例11.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 例12.复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________. 举一反三 ： 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.在复平面内，复数对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 题型三 复数的代数运算 例13.　已知复数满足，则＝（    ） A． B． C． D． 例14.已知i是虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 例15.（多选)已知复数，则下列各项正确的为（    ） A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数 C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5 例16.已知复数在复平面内的对应点为，则（    ） A． B． C． D． 例17.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 举一反三 1.在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ） A． B． C． D． 2.已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C． D． 3（多选）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 课后练习 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ） A．1 B． C．0 D． 2．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．若复数，则z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 5．若复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数是纯虚数，是实数，则（    ） A．－ B． C．－2 D．2 7．已知复数，且，，其中，为实数，则（    ） A．－2 B．0 C．2 D．3 8．若复数满足，则（    ） A． B． C．5 D．17 9．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（    ）． A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限． 10．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．把复数z的共轭复数记作，已知（i为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 12．已知复数，，则（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 13．下列命题中的真命题有（    ） A．复数的虚部是 B． C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则 14．若复数z满足，则（    ） A． B．z的实部为1 C． D． 15．已知复数满足，则（    ） A．z的实部为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第二讲：复数知识总结与题型归纳 知识再现 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 3、复数的常用结论 （1）当时，. （2）z·＝|z|2＝||2. 题型归纳 题型一 复数的概念 例1：已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 解析：由可得， 所以复数的虚部为.故选：A 例2：若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）． A． B．3 C． D．2 解析：， 则，则z的实部为.故选：D. 例3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 解析：由得，所以，因此. 解法二：因为，所以，即，所以，故， 故选:C. 例4．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．4 D． 解析：， 故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.故选：C 例5．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D．2 解析：因为复数满足，则， 所以复数的共轭复数为，则，故选：. 例6．若是纯虚数，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．－9 D．9 解析：, 因为是纯虚数，故，得，故选：A. 例7．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 解析：由可得， 则，所以，故．故选：C. 例8.已知i是虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C． D．3 解析：因为，．故选：C. 举一反三 1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 解析：因为为纯虚数，所以，解得.故选：C. 2．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（    ） A． B． C． D． 解析：设，由已知得，即， ∴，即，对照各选项，只有D满足．故选：D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．3 解析：由得，所以， 则，所以，故选:B． 4．已知复数，则以下判断正确的是（    ） A．复数的模为1 B．复数的模为 C．复数的虚部为 D．复数的虚部为 解析：由可得； 即复数的虚部为1，所以CD错误；则复数的模为，即A错误，B正确；故选：B 题型二 复数的几何意义 例9．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为，可知复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 例10.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：复数是纯虚数， ，且，故，. 故复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A. 例11.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根. 根据根与系数的关系可得 即得,所以 故选:A. 例12.复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________. 解析：因为， 所以在复平面中所对应的点的坐标为， 令，解得.故答案为：. 举一反三 ： 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A 2.在复平面内，复数对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 解析：复平面内，复数对应的点为， 又在直线上，所以，解得，所以， 则.故选：B. 题型三 复数的代数运算 例13.　已知复数满足，则＝（    ） A． B． C． D． 解析：设复数，代入，有， 则，解得，∴.故选：D 例14.已知i是虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 解析：，∴.故选：D 例15.（多选)已知复数，则下列各项正确的为（    ） A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数 C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5 解析：∵，则可得： 复数的虚部为1，A错误；为纯虚数，B正确； 复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确； 复数的模为，D错误；故选：BC． 例16.已知复数在复平面内的对应点为，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为复数在复平面内的对应点为，所以， 所以故选：D 例17.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 解析：若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数， 故该方程的另一个复数根是.故选：A. 举一反三 1.在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ） A． B． C． D． 解析：由题知，，，，设. 则，.因为为平行四边形，所以. 由，解得，所以点对应的复数为.故选：A. 2.已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C． D． 解析：由题意可得，即， 所以，所以，解得， 所以，故选：C 3（多选）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 解析：A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，，， 若，则，解得，所以C选项正确. D选项，当时，，所以D选项错误.故选：AC 课后练习 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ） A．1 B． C．0 D． 解：，所以，，的实部为0．选：C 2．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 解析：，复数的虚部为．故选：C． 3．若复数，则z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 解析：，所以，则.故选：A 4．已知复数满足，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 解析：由，得，所以.故选：B 5．若复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 解析：为纯虚数，，，故选：. 6．已知复数是纯虚数，是实数，则（    ） A．－ B． C．－2 D．2 解析：由题意设，则， 因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：A. 7．已知复数，且，，其中，为实数，则（    ） A．－2 B．0 C．2 D．3 解析：由题意得，则代入原式得：， 即，所以，解得，所以．故选：C． 8．若复数满足，则（    ） A． B． C．5 D．17 解析：∵，∴， ∴.故选：C. 9．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（    ）． A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限． 解：，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D. 10．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为在复平面内，复数对应的点的坐标为， 所以，所以，故，故选：D 二、多选题 11．把复数z的共轭复数记作，已知（i为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 解析：由，可得，有：，选项A错误． ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错误．故选：BC． 12．已知复数，，则（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 解析：对于A选项，，所以，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.故选：BCD. 13．下列命题中的真命题有（    ） A．复数的虚部是 B． C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则 解析：由复数虚部概念知的虚部是，排除A； 由复数乘法法则计算知B正确； 复数的模为5时实数，排除C； 若z的共轭复数仍是z，则z的虚部为0，所以D中的命题为真．故选：BD． 14．若复数z满足，则（    ） A． B．z的实部为1 C． D． 解析：由得：，因此A错误，实部为1，则B正确，，故C错误，，故D正确.故选:BD 15．已知复数满足，则（    ） A．z的实部为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 解析：由题意得，A选项正确，，B选项错误 在复平面内对应的点位于第四象限，C选项错误，，D选项正确.故选：AD. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $