专题03 复数（7个考点）（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 复数专题期末试题汇编，涵盖7个高频考点，精选福建多所名校期末真题，注重基础与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|16|复数象限（第4题）、模长计算（第9题）|基础概念与运算结合，适配期末检测| |填空|4|轨迹最值（第19题）、模长（第10题）|聚焦核心技能，梯度设计合理| |解答|8|复数概念（第1题）、方程根（第28题）|多考点综合，如几何与代数结合| |多选|3|综合应用（第17题）|情境真实，来自福州八中、厦门外国语等校真题|

专题03 复数 7个高频考点概览 考点01 复数的有关概念 考点02 复数对应的点与象限 考点03 复数的模长有关的计算 考点04 复数的轨迹与最值问题 考点05 复数的四则运算 考点06 复数与一元二次方程的根 考点07 复数的综合题型 考点01 复数的有关概念 1．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数. (1)求实数a的值； (2)求以､为邻边的平行四边形的面积. 2．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 3．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知i为虚数单位，复数z满足，其中． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 考点02 复数对应的点与象限 4．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(24-25高一下·福建厦门·期末)在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知，则z在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点03 复数的模长有关的计算 9．(24-25高一下·福建莆田·期末)已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 10．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)设复数满足，且，则______. 11．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知复数z满足，则的值为（    ）． A．i B． C．1 D． 12．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知是虚数单位，，则（    ）． A． B． C．3 D．5 14．(24-25高一下·福建厦门·期末)若复数，则________. 15．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)若复数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 考点04 复数的轨迹与最值问题 17．(24-25高一下·福建泉州·期末)（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若是方程的两根，则 D．若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为 18．(24-25高一下·福建莆田·期末)（多选）若复数满足，复数的虚部为1，且是实数，则（    ） A．的实部是-2 B．在复平面上对应的点位于第四象限 C．的共轭复数是 D．复数满足，则的最大值是 19．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)已知，则的取值范围是_________． 20．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为_____________. 考点05 复数的四则运算 21．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)已知为虚数单位，若，则（    ）． A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 23．(24-25高一下·福建宁德·期末)（多选）已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)若复数满足，则z的虚部为（   ） A．1 B．-1 C．i D．-i 25．(24-25高一下·福建龙岩·期末)设复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 26．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)设复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 27．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知复数，是的共轭复数，则＝ A． B． C．1 D．－1 考点06 复数与一元二次方程的根 28．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z， （1）求复数z； （2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值. 29．(24-25高一下·福建南平·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 30．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 31．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 32．(24-25高一下·福建厦门·期末)已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 33．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 考点07 复数的综合题型 34．(24-25高一下·福建南平·期末)若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 35．(24-25高一下·福建龙岩·期末)（多选）已知复数，则（   ） A． B． C．复数在复平面内对应的点在第一象限 D．复数是方程在复数集内的解 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 7个高频考点概览 考点01 复数的有关概念 考点02 复数对应的点与象限 考点03 复数的模长有关的计算 考点04 复数的轨迹与最值问题 考点05 复数的四则运算 考点06 复数与一元二次方程的根 考点07 复数的综合题型 考点01 复数的有关概念 1．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数. (1)求实数a的值； (2)求以､为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积． 【详解】（1） 由，得 ，则的虚部为0， ． 解得：或． 又，． （2） 由（1）可知，． ，，． ．所以， 所以， 所以以､为邻边的平行四边形的面积 2．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 3．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知i为虚数单位，复数z满足，其中． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 若z为纯虚数，则，解得； （2）由（1）知，， 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 所以m的取值范围为. 考点02 复数对应的点与象限 4．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【详解】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D 5．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以复数在复平面内对应的点在第三象限. 故选：C 6．(24-25高一下·福建厦门·期末)在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解. 【详解】∵，∴对应的点为，∴对应的点位于第二象限. 故选：B. 7．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知，则z在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数的除法运算进行化简，再结合复数的几何意义可得结果. 【详解】由，可得， 则z在复平面内对应的点是，在第一象限. 故选：A. 8．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，则复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 考点03 复数的模长有关的计算 9．(24-25高一下·福建莆田·期末)已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用复数模的公式计算得解. 【详解】复数，所以. 故选：C 10．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)设复数满足，且，则______. 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 11．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知复数z满足，则的值为（    ）． A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方性质计算可得，可求. 【详解】由，可得，所以，所以，所以， 所以. 故选：C. 12．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模与除法运算法则可求复数. 【详解】由，可得， 所以. 故选：B. 13．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知是虚数单位，，则（    ）． A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据求出复数，再根据复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 14．(24-25高一下·福建厦门·期末)若复数，则________. 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算求得，进而可求. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 15．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)若复数，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数，所以． 故选：C. 16．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 考点04 复数的轨迹与最值问题 17．(24-25高一下·福建泉州·期末)（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若是方程的两根，则 D．若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念，复数与一元二次方程根的关系，复数的几何意义，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】设，则， 由，得， 所以，所以A正确； 当时，化简得，即，所以，所以B正确； 是方程的两根，根据韦达定理可知， 则，所以C错误； 当时，复平面内对应的点的组成图形为扇环，外侧半径为2，内侧半径为1， 面积为，所以D正确； 故选：ABD. 18．(24-25高一下·福建莆田·期末)（多选）若复数满足，复数的虚部为1，且是实数，则（    ） A．的实部是-2 B．在复平面上对应的点位于第四象限 C．的共轭复数是 D．复数满足，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】对于A，由复数除法、减法运算结合实部的概念即可得解；对于B，由复数的几何意义判断即可；对于C，由待定系数法求得，由共轭复数的概念即可判断；对于D，由复数的几何意义验算即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以的实部是-2，故A正确； 对于B，在复平面上对应的点位于第二象限，故B错误； 对于C，由题意设， 从而， 因为是实数，所以，解得， 所以的共轭复数是，故C正确； 对于D，设为复数对应的点，而对应的点为， 因为复数满足，所以，即， 所以可设， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 19．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 20．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合向量数量积的运算律及定义法求出向量的数量积求解即得. 【详解】依题意，点的轨迹是复平面上以点为圆心，2为半径的圆， ，而， ，当且仅当方向相反时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 考点05 复数的四则运算 21．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解即可. 【详解】若，则， 则. 故选：A 22．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)已知为虚数单位，若，则（    ）． A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【分析】利用复数乘法求出，再逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，在复平面内对应的点在第三象限，D正确. 故选：D 23．(24-25高一下·福建宁德·期末)（多选）已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的除法求出复数z，继而求出其模，判断AB；结合复数的共轭复数以及复数乘法运算可判断CD. 【详解】因为，所以， 故，故A正确，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：AC 24．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)若复数满足，则z的虚部为（   ） A．1 B．-1 C．i D．-i 【答案】A 【分析】由复数除法整理成标准式，根据虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则的虚部为. 故选：A. 25．(24-25高一下·福建龙岩·期末)设复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 26．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)设复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求． 【详解】依题意，，，复数的虚部为， 故选：C. 27．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知复数，是的共轭复数，则＝ A． B． C．1 D．－1 【答案】C 【详解】分析：根据复数的除法先求得复数，于是可得，然后再求即可． 详解：由题意得， ∴， ∴． 故选C． 点睛：对复数的考查以基础知识为主，考查的重点有两个：一是复数的四则运算，二是复数的基本概念．解题的关键是准确进行复数的运算、正确握复数的基本概念． 考点06 复数与一元二次方程的根 28．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z， （1）求复数z； （2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用求解； （2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解. 【详解】（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1）， 设D的坐标（x，y），由于， ∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1）， ∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1， 解得x＝3，y＝2 ，故D（3，2）， 则点D对应的复数z＝3+2i； （2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根， ∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根， 则3+2i+3﹣2i＝，（3+2i）（3﹣2i）＝， 即p＝12，q＝26. 29．(24-25高一下·福建南平·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 30．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 31．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)或． (2)1或-1 【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可. （2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果. 【详解】（1）由题意知， 又为纯虚数，所以，解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，或， 所以，或． 32．(24-25高一下·福建厦门·期末)已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【详解】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 33．(24-25高一下·福建福州第一中学·期中)设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 考点07 复数的综合题型 34．(24-25高一下·福建南平·期末)若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【分析】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 35．(24-25高一下·福建龙岩·期末)（多选）已知复数，则（   ） A． B． C．复数在复平面内对应的点在第一象限 D．复数是方程在复数集内的解 【答案】ACD 【分析】A选项，利用复数模长公式直接进行求解；B选项，直接计算即可；C选项，在复平面内对应的点坐标为，C正确；D选项，代入计算验证即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项， ，B错误； C选项，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，C正确； D选项，， 复数是方程在复数集内的解，D正确. 故选：ACD 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $