5.2025年沈阳市沈河区九年级第二次模拟考试-【中考123·中考必备】2026年辽宁地区专用数学试题精编

JESHENG ZHONGKAO BIBE 7.小明同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座 14.如图，在平面直角坐标系x0y 数据收集： 5.2025年沈阳市沈河区九年级 位中随机选择两个，则“小明购买的车票座位刚好都 中，矩形OABC的顶点A,C 甲小队：83789285967693877288 第二次模拟考试 靠近过道”的概率是 分别在y轴、x轴的正半轴 乙小队：687694869781769577100 上，顶点B在第一象限内，双 整理数据及分析： 窗ABC过道DF窗 (满分：120分时间：120分钟) 曲线y=与矩形0ABC的 将学生的成绩分为四组：A组为60.5分到70.5分 14题图 第一部分选择题（共30分） 7题图 B组为70.5分到80.5分，C组为80.5分到90.5分， 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在 13 C.1o D.0 边AB交于点D,BC交于点E,且BE=3CE.若四边 D组为90.5分到100.5分，整理成如下不完整的 形ODBE的面积为18，则k的值为 统计图表 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 8.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题： 15.如图①，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD,点F从 甲、乙两小队竞赛成绩统计量汇总表 求的) 今有雉、兔同笼.上有三十五头，下有九十四足.问： 点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动 1.如图是某地区3月4日的天气预报， 统计量 周二(03-04) 平均数（分）中位数（分）方差 雄、兔各几何？译文为：现在鸡、免同在一个笼子里 点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀 则当日气温的最低温度是( C 甲小队 86 55 1袋 上有35个头，下有94只脚.问：鸡、兔各多少只？设 速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之 A.-11℃ 乙小队 b 108.2 雨夹雪转阴 兔x只，根据题意，可列出的方程是 停止运动.图②是△BEF的面积S(cm2)随时间 B.4℃ 111 西北风3-5级 A.4(35-x）+2x=94 B.2(35-x)+4x=94 t(s)变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEI 生物学社团所有成员竞赛成绩分布扇形统计图 C.7℃ 1题图 C.4(94-x)+2x=35 D.2(94-x)+4x=35 的面积为20cm2时，运动时间t为」 D.15℃ 2.由7个相同的小正方体组成的一个儿何体如图所 9.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成四边形ABCD,若测得A,C两点之间的距离为 示，这个几何体的俯视图是 8cm,B,D两点之间的距离为6cm,则四边形ABCD 的面积为 4.57.51 17题图 A.48 cm2 B.40 cm2 C.24 cm2 D.14 cm2 15题图① 15题图② 根据以上数据和图表信息，回答下列问题： 2题图 A B C 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字 (1)表中a的值为 :b的值为 3.据统计，2024年沈阳市的常住人口约为920.4万人， 说明、演算步骤或推理过程) (2)求扇形统计图中“D”所对应的圆心角度数： 将数据920.4万用科学记数法表示为 16.(本题10分) (3)请从平均数和方差两方面评价甲、乙两小队的 A.9.204×10 B.92.04×10 (1)计算：-1225+√/12+1,3-21-2c0s30 成绩； C.92.04×10 D.0.9204×108 9题图 10题图 (4)社团准备选竞赛成绩前25名成员参加眼球模 4.下列运算中正确的是 10.如图，在Rt△ABC中，D,E是斜边AB的三等分点， 型制作的实践活动，小明的成绩为88分，小亮 A.a3+a3=2a" B.3a3·2a2=6a 若AC=9,BC=12,点P在△ABC的直角边上，则满 的成绩为91分，判断他们能否参加实践活动并 C.a6÷a2=a D.(-2ab)2=4a2b 足PD+PE=12的点P的个数是 说明理由. 5.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2),B(-6,-4) A.0 B.2 C.4 D.6 以原点0为位似中心，相似比为)，把△AB0缩小， 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） (2)解方程：5x(x+2)=2x+4. 则点A的对应点A'的坐标是 ( 11.因式分解：3x2-12= A.(-3,2) B.(2,-1) 12.在平面直角坐标系中，将点(1，-5)先向右平移 C.(-3,2)或(3，-2) D.(-2,1)或(2，-1) 3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得 6.沈阳某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可 点的坐标是 抽象为如图所示模型.已知AB垂直于水平地面AE, 13.如图所示的正方形习字格书写 当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点 的汉字“善”端庄稳重、舒展美 B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升 (即CD与AE始终平行)，在该运动过程中∠ABC+ 观已知一条分割线的端点A, 17.(本题9分) 近年来，越来越多的青少年逐渐戴上了“小眼镜” B分别在习字格的边MP,NQ ∠BCD的度数和始终为 给学习和生活带来不便.不良的用眼习惯正慢慢地 上，且AB∥MN,“善”字的笔画 13题图 损害着他们的视力健康.某校的生物学社团共 “、“的位置在AB的黄金分割点C处，且 50人，分为5小队，每小队10人，开展主题为“认识 AB 眼球”的项目式学习活动，并以小队为单位开展知 5-L若MN=6cm,则BC的长为 2 识竞赛.为了了解该社团的比赛情况，随机抽取了 6题图 (结果保留根号) 甲、乙两个小队的成绩（满分为100分，单位：分）进 .300 B.270 C.180 D.90 行分析 18.(本题8分) 20.(本题8分) 22.（本题12分) 23.(本题12分) 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 如图，图①、图②和图③均是7×7的正方形网格 【问题初探】 定义：在平面直角坐标系xOy中，点M(m,n)的“神 300支以上（不包括300支），可以按批发价付款： 每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点 (1)如图①，D是△ABC的边AB上一点，且∠A= 秘点”为N,当m≥n时，点N的坐标为(m,-n),当 购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款. 称为格点.△ABC的顶点和点F均在格点上，只用 ∠BCD.求证：BC2=BD·BA: m<n时，点N的坐标为(n,-m) 小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人 无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC= 例如：点(2,2)的“神秘点”坐标为(2，-2)，点 购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元：如 画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法. 90°，E是边AB的中点，D是边BC下方的一个 (-6,0)的“神秘点”坐标为(0,6) 果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用 (1)在图①中的线段AB上求作一点D,连接CD,使 动点，满足∠BDC=90°，连接DE,求线段DE (1)点(0，-3)的“神秘点”坐标为 120元.设该校八年级的学生总数为x人， ∠DCB=∠DBC: 的最大值： (2)点A(m,1)的“神秘点”在y=2的图象上，求m (1)求八年级的学生总数x的取值范围： (2)在图②中的线段AB上求作一点E,连接CE,使 【拓展应用】 (2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买 ∠ACE=∠AEC: (3)如图③，在正方形ABCD中，BC=4,E是射线 的值； 300支所付款相同，那么这个学校八年级学生 (3)在图③中的线段BC上求作一点G,连接AG, BC上的一个动点，点F在线段AE上，且满足 (3)如图，直线BC与坐标轴分别交于点B(-6,0) 有多少人？ FG,使∠AGC=∠FGB. ∠AFD=LADE,求E的最小值， C(0,-3),记直线BC上的所有点的“神秘点 B 组成一个新图形为P. ①点M(m,n)在直线BC上，求当m=n时点M 对应的“神秘点”M'的坐标： ②当抛物线y=-x2+c与图形P有2个交点 时，求c的取值范围. 20题图① 20题图② 20题图③ 22题图① 22题图② 22题图③ 21.(本题8分) 数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理 之后，老师提出了一个问题： 19.(本题8分) 已知：如图，以线段AB为直径的半⊙0O和AB延长 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台 线上一点P.你能利用尺规作过点P的半⊙O切线 23顯 风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶 PQ吗？ 部恰好接触到坡面.已知山坡的坡角∠AEF=21°， 向阳小组讨论出一种作切线PQ的方法：如图， 量得树干倾斜角∠BAC=36°，大树被折断部分和 坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3.6m. ①分别以点P和点0为圆心，大于)P0的长为半 (1)求∠CAE的度数： 径作弧，两弧分别交于M,N两点； (2)求这棵大树折断前的高度.（结果精确到个位， ②作直线MW,交线段P0于点O,; 参考数据：2≈1.4，N3≈1.7) ③以点0，为圆心，P0,的长为半径作⊙0，与半 ⊙0相交于点Q: ④作直线PQ. ∴.直线PQ即是所求作的切线。 (1)根据上述作法，求证：PQ是半⊙0的切线： 21 (2)过点Q作QC⊥AB于点C,若PQ=10,0Q=5, 19题图 未提的位 21∴.e=c-2,f=6-c, .二次函数马：y=x2-x+f(e,∫为常数)化为y=x2-(c 2)+6-c=(x-2-(22-2×2+4, .y=x2-ex+f(e∫为常数)的顶点 M是，-(-2x2+4 .顶点M的轨迹l4为y=-x2-2x+4. -2≤c≤2，∴.-2≤x≤0 y=-x2-2x+4中，当x=0时，y=4 1 把(0,4)代入一次函数y=-2x+(t为常数)， 得4=-分0+， 解得t=4 1 当y=-2-2x+4与y=-2+u相切时， 1 -x2-2x+4=-2x+6, 即2+多x+6-4=0, 4(3 -4×1×(t-4)=0, 解得1-得 如答图， 6 3 43-2-1,01i2345678011元 23题答图 由图象可得4≤：<治 5.2025年沈阳市沈河区九年级第二次模拟考试 1.A2.D3.A4.D5.D6.B7.C8.B9.C 10.B[解析]由勾股定理，得AB=√92+122=15.由条件可知 BE=DE=AD=5.如答图①，作点E关于BC的对称点Q,连接 QD交BC于点H,EQ与BC的交点为M,过点D作DT⊥EQ于 点T,则HE=HQ,EQ⊥BC,EM=MQ,此时HE+HD=HQ+HD =QD最小由表件可知0/AC△BwE~△BC0- 脱-既-有Qw=M=3,BN=4LnET=∠B,∠7 =∠BME=90°，BE=DE,.△BEM≌△DET,.TE=ME=3, DT=BM=4,.TQ=9,.DQ=√42+92=√7<12.AB= 15>12,.在BC上点H的左右两边各有一个点P满足PE+ PD=12;如答图②，作，点D关于AC的对称，点Q,连接QE交AC 于点H,DQ与AC的交，点为M,过点E作ET⊥QD交QD于点 T,则HD=HQ,DQ⊥AC,DH=HQ,.HD+HE=HQ+HE= QE,此时最小.同理可得TD=DM=MQ=4,TE=3,.QE= √32+122=√153>12，.AC上不存在点P满足PE+PD= 12.故选B. T-- D T.D M-Q H B MH E- B C 10题答图① 10题答图② 11.3(x+2)(x-2)12.(4,-3)13.(35-3)14.6 15或 ,[解析]当t=4.5时，点F与点C重合；当4.5<t≤ 7.5时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动，.CD= AB=2×7.5=15(cm),BC=2×4.5=9(cm)..:BC⊥BD, .∠CBD=90°，BD=√CD2-BC=√152-92=12(cm); 当0<t≤4.5时，如答图①，作FG⊥AB,交AB的延长线于 点G,则∠G=∠CBD=90°.AB∥CD,.∠GBF=∠C, △C0需-g器告-若G=号S= 子×号×(15-20=-号+12，当S=20时，则-g+12 =20,解得1=马或=5（合去）；当45<1≤75时，如答困②，作 CHI.AB,.交AB的延长线于点LCD·CH=BC:BD= Saco分x15×CH=7x9x12CH=9emS=7× 5×(15-20=-9+54,当5=20时，则-9+54=20，解 得1-得故塔袭为7袋 D E H B 15题答图① 15题答图② 16.解：(1)原式=-1+25+2-5-2x号 .∴.∠DAC=180°-∠BAC-∠MAE=75°. B B =-1+25+2-√5-5 3691 369 =1. y N A (2)5x(x+2)=2x+4, 21 E 21 5x(x+2)-2(x+2)=0, 19题答图① 19题答图② (x+2)(5x-2)=0, (2)如答图②，过点A作AN LCD于点D. 则x+2=0或5x-2=0, .·∠ADC=60°， 2 所以x1=-2,x2=5 .∠NAD=30°，∠CAN=∠CAD-∠NAD=45°， ND=AD·cos∠ADN=3.6×cos60°=1.8(m), 17.解：(1)8583.5 (2)扇形统计图中“D”所对应的圆心角度数为 AN=AD·sin∠ADN=3.6×sin60°=95(m）, 5 360°×(1-8%-10%-36%)=165.6° CW=AW·tan LCAN=9,3x m52(m. 5 (3)从平均数看，甲、乙小队平均成绩相等；从方差看，甲小队 成绩的方差小于乙小队的，所以甲小队的成绩比较稳定. 93 AC AN 5 (4)小亮可以参加实践活动，小明不一定能参加实践活动. cos∠CAN cos45o= 理由：因为A组人数为50×8%=4（人），B组人数为50× .Ac+cDAc+C+D19(m) 5 10%=5(人)，C组人数为50×36%=18（人）， 答：这棵大树折断前的高度约为9m. 所以这组数据的中位数（第25、26个数据的平均数）落在C组 20.解：(1)如答图①，点D即为所求 (80.5-90.5). 因为小亮成绩为91分，大于中位数，所以可以参加实践活动； 小明成绩为88分，不能判断是否大于中位数，不确定能否参 加实践活动. rx≤300， 18.解：(1)根据题意，得 20题答图① [x+60>300, (2)如答图②，点E即为所求 解得240<x≤300 答：八年级的学生总数x的取值范围为240<x≤300， (2)根据题意，得120×300=120 x+60×360, 解得x=300, L-- 经检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意， 20题答图② 答：这个学校八年级学生有300人 (3)如答图③，点G即为所求. 19.解：(1)如答图①，将BA延长交EF于点M, D .BM⊥EF .·∠AEF=21°， k-+ .∠MAE=90°-LAEF=90°-21°=69°. .∠BAC=36°， 20题答图③ 21.（1)证明：P0是⊙01的直径， .∠PQ0=90°，即PQ⊥00 0Q是半⊙0的半径， .PQ是半⊙0的切线 (2)解：由(1)知∠PQ0=90. .PQ=10,0Q=5, ∴.P0=√PQ2+Q02=√102+5=55. .OC⊥P0, ÷Saw=2PQ×0Q=2P0xQC, 0c=P0x00_10x5=25, PO 55 0C=√0Q2-QC=√5. .0B=0Q=5, .BC=5-5,PB=55-5 B=55-5=55-5)(5+5-25,5+25-25-55 :BC 5-5 (5-5)(5+5) 25-5 -205=5. 20 22.(1)证明：.∠A=∠BCD,∠B=∠B, :△ABC△CBD,BC=BD' AB BC .BC2=BD·BA (2)解：如答图①，延长BD至点F,使得BD=FD,连接CF,AF, 22题答图① ∴.CD垂直平分BF, .BC CF .AB=AC=2,∠BAC=90°， ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得CF=BC=√22+2=22. ,E是边AB的中点， ∴.DE为△ABF的中位线， DE=2A :AF≤AC+CF=2+22, .DE≤1+2， .线段DE的最大值为1+2 (3)解：.∠DAF=∠EAD,∠AFD=∠ADE, .△ADF∽△AED, B0咖 AEAD 在正方形ABCD中，BC=4, .'AD=AB=BC=4 器器华 连接BF,如答图②. A F 0 22题答图② .·△ADF∽△AED. .AD=AF ABAF AE=AD,六AE=AB ,·∠BAF=∠EAB, .∴.△ABF∽△AEB ∴.∠AFB=∠ABE=90°. E是射线BC上的一个动点，点F在线段AE上， .点F的运动轨迹在以AB为直径的圆上， 5A0=2AB=2 连接DO. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得D0=√AD2+AO=25, .DF的最小值为2√5-2， 小能的最小值为的3行25 4 2 23.解：(1)(0,3) (2)当m≥1时，点A(m,1)的“神秘点”为(m,-1), 把(m,-1代入y=是，得-1-品 解得m=-2(不合题意，舍去)； 当m<1时，点A(m,1)的“神秘点”为(1，-m), 把(1，-m)代入y=是得-m=异， 2 解得m=-2. 4=-43-0)=0, 综上所述，m的值为-2. (3)①直线BC与坐标轴分别交于点B(-6,0),C(0,-3),设 解得c-品 直线BC的解析式为y=x+b(≠O),将点B、点C的坐标分 如答图②，当抛物线y=-x2+c与MB'有1个交点时，方程 别代入，得 x2+2x+6-c=0有两个相等的实数根， r-6k+b=0, 1 解得 k=-21 b=-3, b=-3, 1 ·直线BC的解析式为y=-2x-3. :点M(m,n)在直线BC上， 1 当m=n时，得m=-2m-3, 23题答图② .4=4-4(6-c)=0, 解得m=-2,即n=-2, 解得c=5; .点M的坐标为(-2，-2) 如答图③，当抛物线y=-x2+c过点M'(-2,2)时， -2=-2, .点M对应的“神秘点”M的坐标为(-2,2) ②点B(-6,0)对应的“神秘点”B'的坐标为B'(0,6), 点C(0,-3)对应的“神秘点”C'的坐标为C'(0,3). 当x≥-2时，所有“神秘点”组成的图形是以M'(-2,2)为端 点，过点C(0,3)的一条射线，即y=2+3; 23题答图③ 当x<-2时，所有“神秘点”组成的图形是以M'(-2,2)为端 2=-（-2)2+c, 点，过点B'(0,6)的一条射线，即y=2x+6, 解得c=6. .新的图形P是以M(-2,2)为端点的两条射线组成的 综上所述，当抛物线y=-x2+c与图形P有2个交点时，c的 图形， 取值范围为名<c<5或c>6 [y= 2+3,y=2x+6, 由{ 和 6.2025年沈阳市皇姑区初中学业水平考试第二次模拟考试 y=-x2+cl=-x2+c, 1.B2.D3.C4.B5.B6.C7.B8.A9.B 得2+之+3-c=0和2+2x+6-c=0 10.A[解析]根据点P的运动，可得出AD=BC=6,AB=CD= 10-6=4.设AB与CD间的距离是d,当，点P在CD上时，y= 如答图①，当抛物线y=-x2+c与图形P有1个交点时，方程 2+分+3-e=0有两个相等的实数根， 2×4·d=10,解得d=5.故选A 1u.1261B.314,25 B 15.27 [解析]过点E作EF⊥BC于点F,如答图. AB 2 BC=3, ∴.设AB=2k,则BC=3k..四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD= 2k,BC⊥CD.EF⊥BC,.EF∥CD,.∠FEC=∠ECD. 23题答图① ∠RPt=LGD=0△CD,)8E-8装-