2.5.2圆的一般方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.5.2　圆的一般方程 【学习目标】 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(数学运算) 【自主预习】 1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形? 2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　) (2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　) (3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　) 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　). A.(2，3)　　　　　　　B.(-2，3) C.(-2，-3) D.(2，-3) 3.过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为　　　　.  4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为　　　　.  【合作探究】 探究1　圆的一般方程 已知某圆的圆心为(2，3)，半径为2，其标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4. 问题1：上述方程能否化为二元二次方程的形式? 问题2：方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆? 问题3：怎样理解圆的一般方程? 1.圆的一般方程的概念： 当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-，-，半径长为. 3.当D2+E2-4F=0时，x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-，-. 4.当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形. 特别提醒：圆的标准方程和一般方程有如下关系 (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显. (3) 例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是(　　). A.R B.(-∞，1) C.(-∞，1] D.[1，+∞) (2)已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　.  【方法总结】对于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，判断其是否表示圆时可用如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 探究2　待定系数法的应用 例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，求△ABC的外接圆的标准方程. 【方法总结】待定系数法求圆的方程的解题策略： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r的值； (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，那么一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F的值. 已知一圆过P(4，-2)，Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程. 探究3　圆的一般方程的实际应用 例3　一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高均为2 m，弧顶高MN为5 m.试建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程. 【方法总结】解应用题的步骤 (1)建立数学模型. (2)转化为数学问题求解. (3)回归实际问题，得出结论. 某圆弧形桥的示意图如图所示.圆弧跨度AB=20 m，弧顶高OP=4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 【随堂检测】 1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　　). A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则F=　　　　.  3.若点(1，-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外，则实数m的取值范围是　　　　.  4.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A(-3，0)，B(2，0)，C(0，-4)，经过这三个点的圆记为M. (1)求BC边上的中线所在直线的一般式方程； (2)求圆M的一般方程. 参考答案 2.5.2　圆的一般方程 自主预习 预学忆思 1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=4，它表示圆心为(1，-2)，半径为2的圆；对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=-1，因为不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形. 2.配方得到的方程为x+2+y+2=. 当D2+E2-4F>0时，该方程表示以点-，-为圆心，为半径的圆； 当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-，y=-，即只表示一个点-，-； 当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.D　【解析】∵-=2，-=-3，∴圆的圆心坐标是(2，-3). 3.x2+y2-3x-4y=0　【解析】由题意知该圆的圆心为AB的中点，2，半径为，故其标准方程为x-2+(y-2)2=，化成一般方程为x2+y2-3x-4y=0. 4.　【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m，∴r==，∴m=. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：可以，x2+y2-4x-6y+9=0. 问题2：配方得(x-2)2+(y-3)2=0，方程不表示圆. 问题3：圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2，y2的系数相等且不为0；没有xy项.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. 新知运用 例1　(1)B　(2)(-2，-4)　5　【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0，可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞，1).故选B. (2)由题意可得a2=a+2，解得a=-1或a=2. 当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，故圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.当a=2时，方程不表示圆. 巩固训练　【解析】(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4， 若该方程表示一个圆，则-m2+3m+4>0，解得-1<m<4， 即实数m的取值范围是(-1，4). (2)圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为5π. 探究2 例2　【解析】(法一)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， ∵点A，B，C在圆上， ∴解得 ∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0， 即(x-1)2+(y+1)2=25. (法二)∵kAB==，kAC==-3， ∴kAB·kAC=-1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，-1)，r=|BC|=5， ∴△ABC的外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 巩固训练　【解析】(法一)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 将点P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x=0，得y2+Ey+F=0.　③ 由已知得|y1-y2|=4，其中y1，y2是方程③的根， 则y1+y2=-E，y1y2=F， ∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.　④ 联立①②④，解得或 故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. (法二：几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x-y-1=0， ∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上. 设圆心C的坐标为(a，a-1)， 又圆C的半径r=|CP|=.　⑤ 由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|， ∴r2=a2+2， 代入⑤式整理得a2-6a+5=0， 解得a1=1，a2=5， ∴r1=，r2=. 故圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37. 探究3 例3　【解析】以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，MN与EF的交点为原点，1 m为单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则有E(-3，0)，F(3，0)，M(0，3). 因为所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为x2+(y-b)2=r2. 因为点F，M在圆上，所以 解得所以所求圆的方程为x2+(y+3)2=36. 故所求圆的一般方程为x2+y2+6y-27=0. 巩固训练　【解析】以线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知，P(0，4)，B(10，0)，A(-10，0). 设圆弧所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆弧所在圆的方程为x2+y2+21y-100=0， 将P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得y≈3.86. 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 随堂检测 1.A　【解析】方程2x2+2y2-4x+8y+10=0，可化为x2+y2-2x+4y+5=0，即(x-1)2+(y+2)2=0，∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1，-2). 2.4　【解析】以点(2，-4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+4)2=16，即x2+y2-4x+8y+4=0，故F=4. 3.0，　【解析】由已知条件可得 解得0<m<. 4.【解析】(1)设BC边的中点为D(x，y)，所以x==1，y==-2，则D(1，-2)， 所以直线AD的斜率k==-， 则直线AD的方程为y-0=-(x+3)，整理成一般式为x+2y+3=0. (2)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 则解得 所以圆M的一般方程为x2+y2+x+y-6=0. 学科网（北京）股份有限公司 $