2.5.1 圆的标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.5.1　圆的标准方程 【学习目标】 1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理) 2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算) 3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象) 【自主预习】 1.圆的定义是什么? 2.确定圆的基本要素是什么? 3.已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗? 4.点与圆的位置关系有几种? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a. (　　) (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1，2)，半径是4. (　　) (4)若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点. (　　) 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　). A.(-2，3)，1B.(2，-3)，3 C.(-2，3)， D.(2，-3)， 3.与圆(x-2)2+(y+3)2=16有相同的圆心，且过点P(-1，1)的圆的方程是　　　　.  4.已知点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，求圆的方程. 【合作探究】 探究1　圆的标准方程 “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑之一.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米. 问题1：在摩天轮转动过程中游客离摩天轮中心的距离一样吗? 问题2：若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系? 问题3：以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系? 问题4：确定圆的标准方程需具备哪些条件? 圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合. (2)圆的基本要素是圆心和半径. (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特别提醒：(1)从圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. (2)当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以原点O为圆心、r为半径的圆. 例1　(多选题)下列说法正确的是(　　). A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为b C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为 【方法总结】通过圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)确定圆的圆心为(a，b)，半径为r. 圆C：(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y+a=0的距离为，则a的值为(　　). A.-1或-3 B.-1或3 C.1或-3 D.1或3 例2　求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 【方法总结】求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解. 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 探究2　点与圆的位置关系 问题：点M(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么?在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件又是什么? 1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断： d>r⇔点在圆外；d=r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内. 2.根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断： (x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外； (x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上； (x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内. 例3　(1)写出圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-，-1)是否在这个圆上. (2)已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，求实数a的取值范围. 【方法总结】 (1)判断点与圆的位置关系的方法：①只需计算该点与圆心间的距离，与半径做比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的连接符号，并作出判断. (2)若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围. 已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部，则实数a的取值范围为　　　　.  【随堂检测】 1.经过坐标原点，且圆心坐标为(-1，1)的圆的标准方程是(　　). A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 2.已知点P(a，10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2，则点P(　　). A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.位置不确定 3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　). A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 4.若(x-m)2+(y-2)2=m2-m-2是圆的标准方程，则实数m的取值范围是　　　　.  参考答案 2.5.1　圆的标准方程 自主预习 预学忆思 1.平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的集合叫作圆. 2.确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示. 3.能.设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，由两点间的距离公式，得=r，化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 4.在圆内、在圆上、在圆外，共三种. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.D　【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2，-3)，半径为. 3.(x-2)2+(y+3)2=25　【解析】圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心为(2，-3)，设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2.由点P(-1，1)在圆上可知，(-1-2)2+(1+3)2=r2，解得r2=25.故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 4.【解析】∵点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，∴(1+2)2+12=m，∴m=10.故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的，都等于圆的半径. 问题2：=. 问题3：=3. 问题4：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件. 新知运用 例1　AC　【解析】圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为，A正确； 圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为|b|，B错误； 圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为，C正确； 圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2，-2)，半径为，D错误. 巩固训练　C　【解析】圆心的坐标为(1，0)， 由圆心到直线x-y+a=0的距离为，得=， 即|1+a|=2，解得a=1或a=-3. 例2　【解析】(法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由已知条件知解得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (法二)设点C为圆心，∵点C在直线x+y-2=0上， ∴可设点C的坐标为(a，2-a). 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|=|CB|， ∴=， 解得a=1， ∴圆心为C(1，1)，半径r=|CA|=2， 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (法三)由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB==-1， ∴弦AB的垂直平分线的斜率k=1， ∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0)， 即y=x，则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点. 由得 即圆心为(1，1)，圆的半径为=2， 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 巩固训练　【解析】(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8， ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3-0)2+(-4-b)2=52， ∴b=0或b=-8，∴圆心为(0，0)或(0，-8)， 又r=5， ∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. 探究2　情境设置 问题：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 新知运用 例3　【解析】(1)圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25， 把点M1(5，-7)，M2(-，-1)的坐标分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25， 则点M1的坐标满足方程，故点M1在圆上； 点M2的坐标不满足方程，故点M2不在圆上. (2)由题意知 即解得0≤a<1. 故实数a的取值范围是[0，1). 巩固训练　(-∞，-1)∪(1，+∞)　【解析】由题意知，(1-a)2+(1+a)2>4，则2a2-2>0，解得a<-1或a>1. 随堂检测 1.C　【解析】根据题意知，圆的圆心坐标为(-1，1)，且圆过原点，则其半径r==，故其标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2. 2.C　【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2， ∴点P在圆外. 3.A　【解析】(法一：直接法) 设圆的圆心为C(0，b)， 则=1， ∴b=2，∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. (法二：数形结合法) 作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0，2)， 故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 4.(-∞，-1)∪(2，+∞)　【解析】由m2-m-2>0，得m<-1或m>2. 学科网（北京）股份有限公司 $