2.3.1 两条直线平行与垂直的判定导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 【学习目标】 1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象) 2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理) 3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算) 【自主预习】 1.我们知道，平面中的两条不重合直线有两种位置关系：相交、平行.当直线l1与l2平行且斜率都存在时，它们的斜率k1与k2满足什么关系?证明你的结论. 2.两条直线平行，它们的斜率一定相等吗? 3.当两条相交直线的斜率都存在时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. (　　) (2)若l1∥l2，则k1=k2. (　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直. (　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行. (　　) 2.已知点A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率kl=(　　). A.-3 B.3 C.- D. 3.若直线l1，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　). A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 4.已知l1过点A(m，1)，B(-3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m=　　　　.  【合作探究】 探究1　两条直线平行的判定 问题：平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而两平行直线的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论? 两条直线平行 (1)两条直线都有斜率且不重合时的平行 已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. (2)特殊情况下的两条直线的平行 若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率也不存在；反之，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线平行. 特别提醒：讨论两条直线平行时，要分斜率存在和斜率不存在两种情形，缺少任何一种情形都有可能发生错误. 例1　判断下列各组直线是否平行，并说明理由. (1)l1：y=3x+2，l2：y=3x+1. (2)l1：x+2y-1=0，l2：x+2y=0. (3)l1：x+2=0，l2：2x=1. 【方法总结】 (1)判断两条直线平行时，应先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为斜率相等也可能推出两条直线重合. (2)应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论. 求m，n的值，使直线l1：y=(m-1)x-n+7： (1)平行于x轴； (2)平行于直线l2：7x-y+15=0. 探究2　两条直线垂直的判定 问题1：若两条垂直直线的斜率都存在，则它们的斜率有怎样的关系呢? 问题2：反过来，如果两条直线斜率的乘积为-1，这两条直线互相垂直吗? 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　　　　；反之，如果它们的斜率之积等于　　　　，那么它们互相垂直.即l1⊥l2⇔k1·k2=-1.  特别提醒：l1⊥l2⇔k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 例2　(1)已知l1经过点A(3，2)，B(3，-1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，求a的值. 【方法总结】 利用斜率公式判定两条直线垂直的步骤 一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则该直线的斜率不存在，这时只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等，若相等，则两条直线垂直；若横坐标不相等，则进行第二步. 二代：将点的坐标代入斜率公式. 三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论. 与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　). A.y=x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=-x+4 已知△ABC的三个顶点分别是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为　　　　.  探究3　由一般式确定两条直线的位置关系 问题1：给出直线的一般式，如何解决两条直线平行或垂直中的参数问题? 问题2：直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，其中A1，B1不全为0，A2，B2也不全为0.当l1∥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系? 问题3：在问题2的条件下，当l1⊥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系? 1.直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0. (1)两条直线平行的条件 l1∥l2⇔法向量平行⇔A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ是非零实数. (2)两条直线垂直的条件 l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0. 2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C)，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0. 例3　(1)已知直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，求m的值. (2)当a为何值时，直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 【方法总结】在利用直线的一般式求解直线的平行或垂直问题时，易忽视讨论参数的值或取值范围. 已知直线l的方程为3x+4y-12=0，当直线l'满足下列条件时，求直线l'的一般式方程. (1)过点(-1，3)且与l平行； (2)过点(-1，3)且与l垂直. 【随堂检测】 1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为(　　). A.-8 B.0 C.2 D.10 2.已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(2a-3)y+5=0垂直，则a=(　　). A.3 B.2 C.1 D.-1 3.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率为　　　　.  4.已知在平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(3，-2)，C，m，D(0，-3). (1)若点C在直线AB上，求m的值； (2)若直线AC与直线BD平行，求m的值； (3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值. 参考答案 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 自主预习 预学忆思 1.相等，因为两条直线平行，它们的倾斜角相等. 2.不一定，因为两条直线平行，有可能它们的斜率都不存在. 3.若斜率存在，则k1k2=-1；若有一条直线的斜率为0，则另一条直线的斜率不存在. 自学检测 1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】由题意知kAB==3，∵l∥AB，∴kl=3. 3.D　【解析】设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1·k2=-1，所以l1⊥l2.故选D. 4.0　【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，∵l1∥l2，且k2==-1，∴k1==-1，∴m=0. 合作探究 探究1　情境设置 问题：两直线平行，它们的倾斜角相等. 新知运用 例1　【解析】(1)平行.理由如下：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 由l1，l2的方程可知k1=k2=3，且b1≠b2，故l1∥l2. (2)平行.理由如下：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 因为l1，l2的方程可分别化为斜截式l1：y=-x+，l2：y=-x，所以k1=k2=-且b1≠b2，所以l1∥l2. (3)平行.理由如下：由l1，l2的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两条直线l1，l2在x轴上的截距不相同，故l1∥l2. 巩固训练　【解析】(1)当直线l1平行于x轴时，直线l1的斜率为0，即m-1=0，得m=1. 又直线l1不与x轴重合，所以-n+7≠0，即n≠7. 综上所述，当m=1且n≠7时，直线l1平行于x轴. (2)将7x-y+15=0化为斜截式得y=7x+15，得到直线l2的斜率k2=7，在y轴上的截距b2=15. 当l1∥l2时，应有直线l1的斜率k1=k2=7且在y轴上的截距b1≠b2=15，即m-1=7且-n+7≠15，故m=8且n≠-8. 探究2　情境设置 问题1：如图， 如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角.不妨设α2是钝角，则α2=α1+，从而k2=tan α2=tanα1+=-=-，即k1k2=-1. 问题2：两条直线互相垂直. 新知生成 -1　-1 新知运用 例2　【解析】(1)由题意得，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意知，l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在. 当l1的斜率不存在时，3=a-2，即a=5，此时k2=0， 则l1⊥l2，满足题意； 当l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式得k1==， k2==. 由l1⊥l2知，k1k2=-1， 即·=-1，解得a=0. 综上所述，a的值为0或5. 巩固训练1　D　【解析】直线y=2x+1的斜率k1=2，则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k2=-.因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为y=-x+4. 巩固训练2　y=x+3　【解析】设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，所以kAD·kBC=-1.因为kBC==-，即-·kAD=-1，所以kAD=，所以BC边上的高所在直线的方程为y-0=(x+5)，即y=x+3. 探究3　情境设置 问题1：由平行或垂直可得到两条直线斜率的关系式，然后建立方程求解，注意斜率不存在的情况. 问题2：当两条直线的斜率都不存在时，B1=B2=0，A1A2≠0，≠， 因此有A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0； 当两条直线的斜率都存在时，-=-且-≠-， 因此有A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0. 所以l1∥l2的条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0). 问题3：若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0，如B2=0，A1=0，则A1A2+B1B2=0； 若两条直线斜率都存在，则-·-=-1，即A1A2+B1B2=0. 所以l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0. 新知运用 例3　【解析】(1)由题意得2×3=m(m+1)， 解得m=-3或m=2. 当m=-3时，l1：x-y+2=0，l2：3x-3y+2=0， 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2； 同理当m=2时，l1：2x+3y+4=0，l2：2x+3y-2=0， 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2. 所以m的值为2或-3. (2)由题意知直线l1⊥l2， 所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1， 将a=±1代入方程，均满足题意， 故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2. 巩固训练　【解析】(1)∵l'与l平行，∴可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12). 将点(-1，3)的坐标代入上式得m=-9， ∴直线l'的方程为3x+4y-9=0. (2)∵l'与l垂直，∴可设其方程为4x-3y+n=0. 将点(-1，3)的坐标代入上式得n=13， ∴直线l'的方程为4x-3y+13=0. 随堂检测 1.A　【解析】由已知，得=-2，∴m=-8.经检验，直线AB与直线2x+y-1=0不重合，符合题意. 2.C　【解析】由题意得a·1+1·(2a-3)=0，解得a=1. 3.-或不存在　【解析】当a≠0时，由k1k2=-1，得k2=-， 当a=0时，l2的斜率不存在. 4.【解析】(1)因为点C在直线AB上，所以kAB=kAC，即=，解得m=. (2)因为直线AC与直线BD平行，所以kAC=kBD，即=，解得m=， 经检验两直线不重合，所以m=. (3)因为直线AC与直线BC垂直，且两直线的斜率均存在，所以kAC·kBC=-1， 即·=-1，解得m=. 学科网（北京）股份有限公司 $