1.3.3课时2等比数列前n项和的性质及应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.3.3　课时2　等比数列前n项和的性质及应用 【学习目标】 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(逻辑推理、数学运算) 2.在具体的问题情境中，能发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(逻辑推理、数学建模) 【自主预习】 1.若等比数列{an}的公比q不为1，其前n项和为Sn=Aqn+B，则A与B有什么关系? 2.当等比数列{an}的公比q=-1时，若k是偶数，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是等比数列吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等比数列{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2. (　　) (2)若等比数列{an}的公比为q，则a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5的公比也为q. (　　) (3)若等比数列{an}是递增数列，{an}的前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列. (　　) 2.在等比数列{an}中，若a1+a2=20，a3+a4=40，则S6=(　　). A.140 B.120 C.210 D.520 3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和Sn=3n+1-3k，则实数k=　　　　.  【合作探究】 探究1　等比数列前n项和的函数特征 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 问题：当q≠1时，从函数的角度分析，Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么? 若数列{an}的前n项和Sn=A(an-1)(A≠0，a≠0，a≠1，n∈N+)，则数列{an}是等比数列. 例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列. 【方法总结】(1)已知Sn，可通过an=求{an}的通项公式，注意当n≥2时，an=Sn-Sn-1. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列. 若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+，则r=　　　　.  探究2　等比数列连续n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 问题1：你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n? 问题2：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k具有什么特征?采用从特殊到一般的思想进行思考分析. 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N+). 2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0，n∈N+)，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…构成等比数列，且公比为qn. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 【方法总结】 处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)构成等比数列的性质，能有效减少运算. (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3=　　　　.  探究3　等比数列不连续n项和的性质 问题：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质? 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是该数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在其前2n项中，=q； ②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1)， S奇=a1+qS偶. 例3　若等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=　　　　.  【方法总结】 若等比数列{an}共有2n项，则要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含条件；若等比数列{an}共有2n+1项，则要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含条件.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　　，项数为　　　　.  【随堂检测】 1.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和为(　　). A.31 B.33 C.35 D.37 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=(　　). A.2 B. C. D.3 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=8，S6=24，则a10+a11+a12=(　　). A.32 B.64 C.72 D.216 4.已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a2+…+a99=77，则a2+a5+…+a98=　　　　.  参考答案 课时2　等比数列前n项和的性质及应用 自主预习 预学忆思 1.A=-B. 2.不是.如数列1，-1，1，-1，…是公比为-1的等比数列，S2=S4-S2=S6-S4=…=0，不是等比数列. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)× 2.A　【解析】∵S2=20，S4-S2=40，且(S4-S2)2=S2·(S6-S4)，∴S6-S4=80. 又∵S4=60，∴S6=140. 3.1　【解析】∵Sn=3n+1-3k=3·3n-3k，∴3=3k，即k=1. 合作探究 探究1　情境设置 问题：若q≠1，则Sn==qn-=Aqn-A，其中A=. 故等比数列前n项和Sn关于n的解析式对应的函数模型是f(x)=Axn-A(A≠0). 注意点：等比数列前n项和公式的结构特点是qn的系数与常数项互为相反数. 新知运用 例1　【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1； 当n=1时，a1=S1=31-2=1，不适合上式. ∴an= (法一)易知a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. (法二)当等比数列{bn}的公比q≠1时，其前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比Sn=3n-2可知，1≠2，所以{an}不是等比数列. 巩固训练　-　【解析】∵Sn=2n-2+=×2n+， ∴=-，即r=-. 探究2　情境设置 问题1：(法一)Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn. (法二)Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m =Sn+a1qn+a2qn+…+amqn =Sn+qnSm. 问题2：当q=-1时，例如an=(-1)n，当k为偶数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k都等于零，不能构成等比数列. 当q≠-1时，Sn≠0，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列， 因为S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k， 所以==qk，所以Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列. 新知运用 例2　【解析】(法一)∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=，即qn=，　③ 将③代入①得=64， ∴S3n==64×1-=63. (法二)∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. (法三)由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=，∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×2=63. 巩固训练　3∶4　【解析】由等比数列的性质得S3，S6-S3，S9-S6仍成等比数列，于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6)，不妨令S3=2，则S6=1，代入解得S9=，故S9∶S3=3∶4. 探究3　情境设置 问题：若等比数列{an}的项数为2n，则其偶数项和S偶=a2+a4+…+a2n；其奇数项和S奇=a1+a3+…+a2n-1. 容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列{an}的项数为2n+1，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 新知运用 例3　2　【解析】由题意知 解得 故公比q===2. 巩固训练　2　9　【解析】由等比数列的性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2. S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. 随堂检测 1.B　【解析】根据等比数列的性质得=q5， ∴=25，∴S10=33. 2.B　【解析】设公比为q(q≠0)，由题意知q≠-1，根据等比数列前n项和的性质，得==1+q3=3，解得q3=2.于是===. 3.B　【解析】因为S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等比数列，S3=8，S6-S3=16，所以其公比为2，故S9-S6=32，a10+a11+a12=S12-S9=64. 4.22　【解析】设a1+a4+…+a97=x，则a2+a5+…+a98=2x，a3+a6+…+a99=4x， 由题意可得7x=77，即x=11，所以a2+a5+…+a98=22. 学科网（北京）股份有限公司 $