1.3.3课时1等比数列的前n项和公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式 【学习目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理) 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算) 【自主预习】 1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn? 2.当q≠1时，如何计算等比数列的前n项和Sn? 3.当等比数列的公比为字母时，求{an}的前n项和要注意什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. (　　) (3)等比数列的前n项和不可以为0. (　　) 2.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若q=-，S5=11，则a1=　　　　.  3.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=96，Sn=189，则n=　　　　.  4.已知某厂去年的产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，则从今年起，5年内该厂的总产值为　　　　.  【合作探究】 探究1　等比数列的前n项和公式 问题1：等比数列的前n项和公式(q≠1)的推导除了教材中用的方法，还有其他的方法吗? 问题2：能否根据首项、公比(q≠1)与项数求出等比数列的前n项和? 公比为q的等比数列{an}的前n项和公式 (1)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和项数唯一确定； (2)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和末项唯一确定. 例1　求下列等比数列前8项的和. (1)，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 【方法总结】求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q是否等于1. 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 探究2　等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 例2　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比. (1)若S2=30，S3=155，求Sn； (2)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5； (3)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q. 【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 在等比数列{an}中， (1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q； (2)已知S4=1，S8=17，求an. 探究3　等比数列前n项和公式的实际应用 例3　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意.现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　　　盏灯笼.  【方法总结】解决数列应用题时，一是明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列或等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当 地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入. 【随堂检测】 1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn=(　　). A. B. C. D. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=a2+10a1，a5=9，则a1=(　　). A. B.- C. D.- 3.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离为(　　)米. A. B. C. D. 4.在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)若a1=-8，a3=-2，求S4. (2)若S6=315，q=2，求a1. 参考答案 1.3.3　等比数列的前n项和 课时1　等比数列的前n项和公式 自主预习 预学忆思 1.当q=1时，a1=a2=…=an， 故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1. 2.利用公式Sn=或计算. 3.若等比数列的公比为字母，应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)× 2.16　【解析】∵S5==×a1=11， ∴a1=16. 3.6　【解析】由Sn===189，得q=2.又an=a1qn-1=3×2n-1=96，所以n=6. 4.11a(1.15-1)　【解析】因为去年的产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1). 合作探究 探究1　情境设置 问题1：有.根据等比数列的定义，有===…==q(q≠1)， 所以a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q， 所以=q，即=q，进而可求得Sn=. 问题2：能.利用公式Sn=. 新知运用 例1　【解析】(1)因为a1=，q=， 所以S8==. (2)由a1=27，a9=，可得=27·q8， 又由q<0，可得q=-， 所以S8====. 巩固训练　【解析】由等比数列1，2，4，…，得公比q=2，首项a1=1，∴an=1·2n-1=2n-1， ∴a5+a6+…+a10=S10-S4=-=1 008. 探究2　情境设置 例2　【解析】(1)由题意知解得或 所以Sn=×5n+1-或Sn=. (2)由(a1+a3)q3=a4+a6，得q3=，所以q=. 又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，所以S5==. (3)因为a2an-1=a1an=128，a1+an=66，所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根， 得或 又Sn==126，所以q=2或q=. 巩固训练　【解析】(1)由Sn=得11=，解得q=-2，又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1，解得n=5. (2)若q=1，则S8=2S4，不符合题意，所以q≠1，所以S4==1，S8==17， 两式相除得=1+q4=17，解得q=2或q=-2，所以a1=或a1=-， 所以an=·2n-1或an=-·(-2)n-1. 探究3 例3　3　【解析】依题意，塔楼内部从上到下各层灯笼数构成等比数列{an}(n∈N+，n≤9)，公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 巩固训练　【解析】由题意知，第1年投入800万元， 第2年投入800×1-万元， …… 第n年投入800×1-n-1万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为1-的等比数列. 所以n年内的总投入Sn=800+800×1-+…+800×1-n-1=4 000×1-n万元. 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×1+万元， …… 第n年旅游业的收入为400×1+n-1万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为1+的等比数列. 所以n年内旅游业的总收入Tn=400+400×1++…+400×1+n-1=1 600×n-1万元. 故n年内旅游业的总投入为4 000×1-n万元，总收入为1 600×n-1万元. 随堂检测 1.D　【解析】Sn==. 2.C　【解析】由题意知公比q≠1，则S3==a1q+10a1，化简得q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=.故选C. 3.B　【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，且首项a1=100，公比q=，易知a5=10-2，则乌龟爬行的总距离为S5===(米). 4.【解析】(1)由题意可得q2===， 所以q=-或q=. 当q=-时，S4==-5； 当q=时，S4==-15. 综上所述，S4=-5或S4=-15. (2)由题意得S6==315，解得a1=5. 学科网（北京）股份有限公司 $