1.2.3 课时2等差数列前n项和公式的应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.3　课时2　等差数列前n项和公式的应用

【学习目标】

1.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)

2.理解并能应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)

【自主预习】

1.在等差数列{an}中，当a1>0，d>0或a1<0，d<0时，Sn能否取得最值?

 

 

 

2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37，则当n为何值时，Sn取得最小值?

 

 

 

 

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n=-时取得.              (　　)

(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(　　)

(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp=Sq(p，q∈N+)，则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值.              (　　)

(4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，则一定有=. (　　)

2.(多选题)已知公差为d的等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　).

A.d>0

B.a1<0

C.当n=5时，Sn最小

D.当Sn>0时，n的最小值为8

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S4=8，则S6=　　　　. 

【合作探究】

探究1　等差数列前n项和的最值

例1　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值.

 

 

 

 

【方法总结】1.将Sn=na1+d=n2+a1-n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决.

2.邻项变号法

当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取得最大值.

当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取得最小值.

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8=6，S9-S6=3，则当Sn取得最大值时，n的值为(　　).

A.5 B.6 C.7 D.8

探究2　等差数列前n项和的性质

已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.

问题1：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m具有什么特征?采用从特殊到一般的思想进行思考分析.

问题2：an与S2n-1之间有什么等量关系?利用等差中项与等差数列的求和公式进行推导.

问题3：S奇，S偶具有什么关系?对n分类讨论.

问题4：数列是什么数列?

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.

1.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N+)也是等差数列，公差为m2d.

2.S2n-1=(2n-1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).

3.当项数为偶数2n时，S偶-S奇=nd，S奇∶S偶=an∶an+1；当项数为奇数2n-1时，S奇-S偶=a中，S奇∶S偶=n∶(n-1).

4.设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.

5.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.

例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=10，S20=30，则S30=　　　　； 

(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是　　　　； 

(3)在项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的项数为　　　　，中间项为　　　　. 

【方法总结】利用等差数列前n项和的性质简化计算

(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大.

(2)如果等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中运用得当，可以做到化繁为简、化难为易.

(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.

已知在等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12=(　　).

A.12　　 B.18 C.24　　　　 D.30

若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn=，则(　　).

A.数列{bn}是等差数列，{bn}的公差也为d

B.数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为2d

C.数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d