1.2.3课时1等差数列的前n项和公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式

【学习目标】

1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)

2.掌握等差数列前n项和的公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)

【自主预习】

1.阅读教材，高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的?他抓住了问题的什么特征?

 

 

 

 

2.等差数列的前n项和公式是什么?它与什么量有关?

 

 

 

 

3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式共涉及几个量?如何求这些量?

 

 

 

 

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知等差数列的首项、公差，可求S10. (　　)

(2)已知等差数列的首项、末项a17，可求S17. (　　)

(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10+S20=S30. (　　)

2.若在等差数列{an}中，a1=1，d=1，则Sn=(　　).

A.n

B.n(n+1)

C.n(n-1)

D.

3.已知在等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=(　　).

A.10　　　　　　B.12

C.20          D.24

4.已知{an}是等差数列，a1=10，前10项和S10=70，则其公差d=　　　　. 

【合作探究】

探究1　等差数列的前n项和公式

泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，它宏伟壮观，由纯白大理石砌筑而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案，由大小相同的宝石镶饰而成，共有100层，奢靡程度可见一斑.如图所示.

问题1：上述情境的图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石?你能快速地求出吗?

问题2：你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗?

 

 

 

 

等差数列前n项和公式为Sn==na1+，其推导方法是倒序相加法.

例1　在等差数列{an}中，

(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；

(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.

 

 

 

 

【方法总结】等差数列中的基本计算

(1)利用基本量求值：

等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量，分别为a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般利用公式列出关于基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.

(2)结合等差数列的性质解题：

等差数列的常用性质：若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am+an=ap+aq，常与求和公式Sn=结合使用.

已知在等差数列{an}中，

(1)a1=1，a4=7，求S9；

(2)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d.

 

 

 

 

探究2　等差数列前n项和的实际应用

例2　某人用分期付款的方式购买了一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都支付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若支付150元后的第一个月算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该支付多少钱?全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱?