1.1课时2数列中的递推公式与性质导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦数列的递推公式、单调性、周期性及an与Sn的关系，通过“冰雪项目看台座位”情境问题链导入，连接通项公式与递推公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以“问题驱动-探究建模-方法总结”分层设计，自主预习夯实基础，合作探究通过例题解析与方法归纳培养逻辑推理和数学运算能力，分层练习提升应用意识，助力学生构建知识体系，发展数学思维。

1.1　课时2　数列中的递推公式与性质 【学习目标】 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算) 2.理解数列的单调性，会判断数列的单调性，会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象) 3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模) 【自主预习】 1.什么是数列的递推公式? 2.能由递推公式写出一个数列的条件是什么? 3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系? 4.数列是特殊的函数，我们知道函数有递增函数，递减函数，那么数列有单调性吗?若有，如何判断数列的单调性? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有些数列可能不存在最大项. (　　) (2)所有的数列都有递推公式. (　　) (3)所有数列都具有单调性. (　　) (4)在数列{an}中，若an=，则{an}是递减数列. (　　) 2.数列1，，…的递推公式可以是(　　). A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+) C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+) 3.已知数列{an}的通项公式为an=lo(n+1)，则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)  4.已知数列{bn}满足b1+b2+…+bn=3n+n，则数列{bn}的通项公式为　　　　.  5.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an，且a1=1，a2=2，写出该数列的前5项. 【合作探究】 探究1　数列的递推关系 已知某冰雪项目看台有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位. 问题1：写出前五排的座位数. 问题2：第n排与第n+1排的座位数有何关系? 问题3：能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗? 问题4：仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2，n∈N+)就能确定这个数列吗? 数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1=f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式，a1称为数列{an}的初始条件. 微点评：由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型. 一、利用数列的递推公式求数列的项 例1　已知数列{an}满足a1=2，an+1=，n∈N+，求a2 025的值. 【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而对于递推公式，则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若所求项的项数很大，则应考虑数列是否具有规律. 二、利用递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-(n∈N+)，则an=(　　). A. B. C. D. (2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an(n∈N+)，则an=(　　). A.n+1 B.n C. D. 【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. (多选题)已知数列{an}中，a1=3，an+1=-，能使an=3的n可以为(　　). A.22 B.24 C.26 D.28 已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1(n∈N+)，则a5=　　　　，由此归纳出{an}的一个通项公式为　　　　，a8=　　　　.  (1)已知a1=1，an+1-an=2(n∈N+)，求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}中，a1=2，an+1=3an(n∈N+)，求数列{an}的通项公式. 探究2　an与Sn的关系 问题：如果已知某数列的前n项和Sn=n2+n，如何求a4? 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an. 2.an= 注意点： (1)注意等式成立的条件； (2)一定要检验当n=1时，a1是否适合an； (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得. 例3　已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-30n，求a1及an. 延伸探究　将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an. 【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n=1时，a1=S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn-1，则an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an= 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2； (2)Sn=3n-1. 探究3　数列的单调性 观察下面的数列，回答问题. (1)2，，…； (2)-，-，…； (3)0.8，0.88，0.888，…. 问题1：写出(1)(2)(3)的通项公式. 问题2：观察(1)(2)(3)中数列的各项，从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系? 数列的单调性 一般地，对于一个数列{an}，如果从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an，那么这个数列叫作递增数列；如果从第二项起，每一项都小于它的前一项，即an+1<an，那么这个数列叫作递减数列；如果从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列；各项都相等的数列叫作常数列. 一、判断数列的单调性 例4　已知数列{an}的通项公式为an=，判断数列{an}的单调性. 【方法总结】判断数列单调性的方法 (1)作差比较法： ①若an+1-an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an+1-an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an+1-an=0恒成立，则数列{an}是常数列. (2)作商比较法： ①若an>0，则 当>1时，数列{an}是递增数列； 当<1时，数列{an}是递减数列； 当=1时，数列{an}是常数列. ②若an<0，则 当<1时，数列{an}是递增数列； 当>1时，数列{an}是递减数列； 当=1时，数列{an}是常数列. 二、求数列的最大(小)项 例5　已知{an}的通项公式为an=，则数列{an}中有没有最大项?如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由. 【方法总结】求数列最大(小)项的方法 (1)函数单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项. (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项时，用不等式组(n≥2)求得n的取值范围. 已知数列{an}的通项公式为an=. (1)讨论数列{an}的单调性； (2)求数列{an}的最大项和最小项. 【随堂检测】 1.已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，且an=an-1+an-2(n≥3，n∈N+)，则该数列的第5项为(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 2.(多选题)已知函数f(x)=(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+)，则下列结论正确的是(　　). A.f(x)的值域是R B.{an}的最小项为a1= C.an<1 D.数列{an}是递增数列 3.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N+)，则{an}的通项公式为an=　　　　.  4.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2，n∈N+)，且a1=1，则a100=　　　　.  参考答案 课时2　数列中的递推公式与性质 自主预习 预学忆思 1.如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1=f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式. 2.由递推公式写出一个数列，必须给出：(1)递推“基础”——数列{an}的第1项(或前几项).(2)递推关系——数列{an}的第n项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个式子来表示. 3. 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项，进而可归纳猜想出通项公式 4.有些数列具有单调性，在数列{an}中，若an+1>an，则{an}是递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列.这也是判断数列单调性的依据. 自学检测 1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.C　【解析】由题意可知选项C符合题意，故选C. 3.递减　【解析】因为当n≥2时，an-an-1=lo(n+1)-lon=lo1+<0， 所以an<an-1，所以{an}是递减数列. 4.bn=　【解析】当n=1时，b1=4； 当n≥2时，b1+b2+…+bn-1=3n-1+n-1， 因为b1+b2+…+bn=3n+n，所以两式相减可得bn=3n+n-(3n-1+n-1)=2×3n-1+1. 显然b1=4不满足上式. 综上所述，bn= 5.【解析】由题意得a3=a2+2a1=4，a4=a3+2a2=8，a5=a4+2a3=16， 故该数列的前5项依次为1，2，4，8，16. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：20，22，24，26，28. 问题2：第n+1排比第n排多2个座位. 问题3：能.an+1=an+2. 问题4：不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的. 新知运用 例1　【解析】∵a2===-3， a3===-， a4===， a5===2=a1， …… ∴数列{an}是周期为4的周期数列， ∴a2 025=a4×506+1=a1=2. 例2　(1)B　(2)D　【解析】(1)(法一：归纳法)数列的前5项分别为 a1=1， a2=1+1-=2-=， a3=+-=2-=， a4=+-=2-=， a5=+-=2-=， 由此可得数列的一个通项公式为an=. (法二：迭代法)a2=a1+1-， a3=a2+-，…， an=an-1+-(n≥2)， 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2). 又a1=1也适合上式，所以an=. (法三：累加法)an+1-an=-， a1=1， a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， …… an-an-1=-(n≥2)， 以上各式相加得an=1+1-+-+…+-， 所以an=(n≥2). 因为a1=1也适合上式，所以an=. (2)因为数列{an}满足an+1=an(n∈N+)，所以=， 所以an=··…···a1=××…×××1=(n≥2).又a1=1也适合上式，所以an=. 巩固训练1　AD　【解析】由a1=3，an+1=-，得a2=-，a3=-，a4=3， 所以数列{an}是周期为3的数列， 故a22=a3×7+1=a1=3，a28=a3×9+1=a1=3. 巩固训练2　63　an=2n+1-1　511　【解析】∵a1=3，an+1=2an+1，∴a2=2a1+1=7，a3=2a2+1=15，a4=2a3+1=31，a5=2a4+1=63. 可以归纳出an=2n+1-1，∴a8=29-1=511. 巩固训练3　【解析】(1)∵a1=1，an+1-an=2，∴a2-a1=2，a3-a2=2，a4-a3=2，…，an-an-1=2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加，得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2)，即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1，∴an=2n-1(n≥2)，∵a1=1也满足上式，故数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由an+1=3an得=3， 因此=3，=3，=3，…，=3(n≥2). 将上面的(n-1)个式子相乘可得···…·=3n-1(n≥2)， 即=3n-1(n≥2)， ∴an=a1·3n-1(n≥2). 又a1=2，∴an=2×3n-1(n≥2). ∵a1=2也符合上式， ∴an=2×3n-1. 探究2　情境设置 问题：a4=S4-S3=(42+4)-(32+3)=8. 新知运用 例3　【解析】因为Sn=2n2-30n， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 因为a1=-28满足上式， 所以an=4n-32. 延伸探究　【解析】因为Sn=2n2-30n+1， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 因为a1=-27不满足上式， 所以an= 巩固训练　【解析】(1)当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1， 又a1=7不满足上式， 所以an= (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1， 显然a1=2满足上式， 所以an=2×3n-1. 探究3　情境设置 问题1：(1)所给数列可写成，，，，…， ∴原数列的一个通项公式为an=. (2)所给数列可写成(-1)1×，(-1)2×，(-1)3×，(-1)4×，…， ∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n×=. (3)所给数列可写成×1-，×1-，×1-，…， ∴原数列的一个通项公式为an=1-. 问题2：(1)中从第二项起每一项都比它前一项小；(2)中从第二项起有些项比它前一项大，有些项比它前一项小；(3)中从第二项起每一项都比它前一项大. 新知运用 例4　【解析】因为an=，所以an==1-，当n增大时，减小，所以an=1-增大，即该数列是递增数列. 例5　【解析】(法一：函数单调性法) 令f(n)=an，则f(n+1)-f(n)=an+1-an=-=(8-n). 当n<8时，an+1-an>0，即an+1>an，所以{an}在n<8时单调递增； 当n=8时，an+1-an=0，即an+1=an，所以a8=a9； 当n>8时，an+1-an<0，即an+1<an，所以{an}在n>8时单调递减. 所以数列{an}的最大项是第8项和第9项，为a8=a9=. (法二：不等式组法) 设an最大，则(n≥2)， 即 解得8≤n≤9. 又因为n∈N+，所以n=8或n=9. 故{an}的最大项为a8=a9=. 巩固训练　【解析】(1)已知数列{an}的通项公式为an==1+， 据此可得即当n<16(n∈N+)时，数列{an}单调递减；当n≥16(n∈N+)时，数列{an}单调递减. (2)由(1)知，数列{an}的最大项为a16=，最小项为a15=. 随堂检测 1.C　【解析】∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N+)， ∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8. 2.BCD　【解析】由于f(x)==1-<1(x∈R)，故A选项错误； ∵f(x)=(x∈R)，∴an=f(n)==1-(n∈N+)， ∵an+1-an=1--1-=>0， ∴{an}是递增数列，又n∈N+，>0， ∴a1≤an<1，即≤an<1， ∴{an}的最小项为a1=，故B，C，D正确. 故选BCD. 3.2n-1　【解析】当n=1时，a1=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1， 因为a1=1满足上式， 所以an=2n-1. 4.5 050　【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得=(n≥2)， 则a100=a1···…·=1×××…××=5 050. 学科网（北京）股份有限公司 $