精品解析： 2025-2026学年青岛版九年级数学上册期末评价试卷

期末评价卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 5. 如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，且与的周长比为，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 18 9. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为( ) A. B. 7 C. 8 D. 11. 如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 12. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ） A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°， 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 14. 如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A对应点A′的坐标为_____． 15. 如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______． 16. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 17. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 三、解答题（共69分） 18 计算： （1）求的值. （2）在中，，，，解这个直角三角形. 19. 已知方程的一个根是，求代数式的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 21. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求矩形对角线的长． （2）过点O作于点E，连接．记，求的值． 22. 延时课上，老师布置任务如下：让王林（AB）站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林身高，大树高，请问如何放置平面镜P才能观测到大树的顶端？ 23. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末评价卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后整体代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ∴， ∴ ， 故选：C． 2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，设AB=3x，BC=x，勾股定理求出AC，根据三角函数的定义求即可． 【详解】解：在中，，， 设AB=3x，BC=x， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函数的意义计算． 4. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 5. 如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 6. 如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分的周长， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴，只有D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 8. 如图，在中，，且与的周长比为，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定和性质求解即可． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°， 由折叠得AF=AD=BC=10，∠AFE=∠D=90°， 在Rt△ABF中，有AB=8，AF =10， ∴BF==6， ∵∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠EFC=tan∠BAF=． 故选A． 【点睛】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．锐角三角函数的定义． 10. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为( ) A. B. 7 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 11. 如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°， ∵是以为直径的半圆的切线， ∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°， ∴AB=AF=2，CE=CF， ∵OA=OA， ∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL）， 同理可证△OCE≌△OFE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ） A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°， 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴ 解得：， 设原方程的另一个根为，则， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为_____． 【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）##（﹣2，﹣1）或（2，1） 【解析】 【分析】利用位似图形的性质得出对应点横纵坐标乘以或﹣，得出即可． 【详解】解：∵A （4，2），B（2，﹣2）， 以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A'的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键． 15. 如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即 ∵，，， ∴， ∴EF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 16. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长和围成圆锥的底面圆的周长的关系，熟知扇形的弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．设底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列出方程，进而得出底面圆半径． 【详解】解：设底面圆的半径为， 根据题意可得：， 解得：， ∴底面圆的半径为， 故答案为：10． 17. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 三、解答题（共69分） 18. 计算： （1）求的值. （2）在中，，，，解这个直角三角形. 【答案】（1） （2） ， ， 【解析】 【分析】（1）根据特殊的三角函数值即可求解； （2）根据直角三角形的勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ， 故答案是：． 【小问2详解】 解：如图所示，中，，，， ∴ ， 根据直角三角形三边关系， ， ， ∴ ， ， 故答案是： ， ，． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，以及特殊角的三角函数值，理解和掌握解直角三角形和特殊角的三角函数值是解题的关键． 19. 已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入方程得到，从而变形得，代入代数式得，再由变形得到即可得到答案． 【详解】解：已知方程的一个根是， ，即， ， 由变形得， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，根据条件，恒等变形，整体代入代数式化简求值是解决问题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 21. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求矩形对角线的长． （2）过点O作于点E，连接．记，求的值． 【答案】（1）矩形对角线的长为4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理以及解直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据矩形的性质求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，求出即可； （2）根据勾股定理求出，然后根据等腰三角形的性质求得，然后解直角三角形求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长为4； 【小问2详解】 解：由勾股定理，得， ∵，于点E， ∴， ∴． 22. 延时课上，老师布置任务如下：让王林（AB）站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林身高，大树高，请问如何放置平面镜P才能观测到大树的顶端？ 【答案】平面镜P放在王林前2m处，或大树前8m处 【解析】 【分析】由，得，从而得，于是由三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平面镜P放在王林前2m处，或大树前8m处 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 23. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为． 【解析】 【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． （1）分别证明，从而可得结论； （2）过点C作，垂足为G，由勾股定理求出，再由求出，由已知得出为1，因此为中垂线，从而得出相等，又因为，故，最后由，通过对应边成比例解出． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ， ， ， 所对的圆周角为和， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为G， ，，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 25. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 （2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【解析】 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【小问1详解】 解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； 【小问2详解】 解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $