2.3.1 课时1 一元二次不等式及其解法（一） 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一) 【学习目标】 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象) 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算) 【自主预习】 1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗? 2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗? 3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围? 4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　 　) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}. (　 　) (3)不等式x2-2x+3>0的解集为R.(　 　) 2.(多选题)下列关于x的不等式中，一定为一元二次不等式的是(　 　). A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0 C.ax2+4x-7>0 D.x2<0 3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为　　　　　　　　.  4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.  【合作探究】 探究1　一元二次不等式 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0. 问题1：它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少? 问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点? 1.一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.解一元二次不等式的步骤 (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根； (2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象； (3)由图象得出不等式的解集. 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 画二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 得不等式的解 集 y>0 {x|x<x1 或x>x2} xx∈R且 x≠- R y<0 {x|x1<x <x2} ⌀ ⌀ 一、不含参数的一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)2x2-3x-2>0； (2)-3x2+6x-2>0； (3)4x2-4x+1≤0； (4)x2-2x+2>0. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的实数根，或根据判别式说明方程没有实数根；(4)根据函数图象与x轴的位置关系写出不等式的解集. 解下列不等式： (1)2x2-x+6>0； (2)x2-6x+9≤0； (3)x(7-x)>0. 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2　解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 【方法总结】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a<0). 探究2　三个“二次”的关系 例3　若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 【方法总结】1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c>0；在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<0. 已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 【随堂检测】 1.不等式3x2-2x+1>0的解集为(　 　). A.x-1<x< B.x<x<1 C.⌀ D.R 2.若关于x的不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-，则实数a=(　 　). A.-6 B.-5 C. D.6 3.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为　　　　.  4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. 参考答案 2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一) 自主预习 预学忆思 1.不是，一元二次不等式一定为整式不等式. 2.不可以，若a=0，则不是二次不等式了. 3.结合二次函数的图象求解，可得x的取值范围为x<-2或 x>2. 4.可以借助二次函数的图象分析，二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与x轴的位置关系可确定一元二次不等式的解集. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.BD　【解析】由于a可能为0，故ax2+4x-7>0不一定是一元二次不等式；x2+mx-1>0，x2<0一定是一元二次不等式；3x+4<0是一次不等式.故选BD. 3. 4.{x|-<x<}　【解析】由x2<2得(x-)(x+)<0，解得-<x<. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：它们都只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2. 问题2：形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c为常数，且a≠0. 新知运用 例1　【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-，x2=2. 因为函数图象是开口向上的抛物线，如图①所示， 图① 所以原不等式的解集是xx<-或x>2. (2)不等式可化为3x2-6x+2<0. 因为方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-，x2=1+， 且函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是. (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=，函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线，如图②所示，所以原不等式的解集是. 图② (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0， 所以方程x2-2x+2=0无实数根.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线，如图③所示，所以原不等式的解集为R. 图③ 巩固训练　【解析】 图① (1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0， ∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图①).观察图象可得原不等式的解集为R. (2)x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，∴原不等式的解集为{x|x=3}. (3)原不等式可化为x(x-7)<0，方程x(x-7)=0的两根分别是x1=0，x2=7， 图② 函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有(0，0)，(7，0)两个交点(如图②). 观察图象，可得原不等式的解集为{x|0<x<7}. 例2　【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0，对应的一元二次方程的根分别为x1=2a，x2=-a. ①当2a>-a，即a>0时，不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当2a=-a，即a=0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当2a<-a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a=0时，原不等式的解集为⌀；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 巩固训练　【解析】对原不等式移项，得ax2+(a-2)x-2≥0， 化简为(x+1)(ax-2)≥0. ∵a<0，∴(x+1)x-≤0. ∴当-2<a<0时，≤x≤-1； 当a=-2时，x=-1； 当a<-2时，-1≤x≤. 综上所述，当-2<a<0时，解集为； 当a=-2时，解集为{x|x=-1}； 当a<-2时，解集为. 探究2 例3　【解析】∵原不等式的解集为， ∴-，2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0. 由根与系数的关系得 即 ∵a<0，∴不等式cx2+bx+a<0可化为x2+x+1>0，即-x2-x+1>0，化简得2x2+5x-3<0，则(2x-1)·(x+3)<0，解得-3<x<， ∴关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为. 巩固训练　【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根分别为和， 由根与系数的关系得解得 (2)由a=-6，c=-1知，关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0，即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1，所以原不等式的解集为. 随堂检测 1.D　【解析】因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，且对应二次函数图象开口向上，所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R. 2.A　【解析】∵关于x的不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-≤x≤-， ∴-和-为关于x的方程ax2+bx-1=0的两个实数根，且a<0， 根据根与系数的关系得-×-=，解得a=-6. 3.2　【解析】∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x=0是关于x的方程(x+1)(x-3)=m的解，∴m=-3，∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3，即x2-2x<0，解得0<x<2.故原不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n=2. 4.【解析】关于x的方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1，x2=a，函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上. 综上，当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}； 当a=-1时，原不等式的解集为⌀； 当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 学科网（北京）股份有限公司 $