2.1.3 基本不等式的应用 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学学案聚焦基本不等式的应用这一核心知识点，通过自主预习中积定求和最小、和定求积最大等问题回顾基础，为合作探究中配凑法、“1”的代换法等方法学习搭建递进支架，系统梳理从基本不等式到实际应用的知识脉络。 资料特色在于分层设计与核心素养融合，自主预习夯实基础，合作探究通过例题变式培养逻辑推理和数学运算能力，实际应用案例提升数学建模意识，配套习题覆盖不同题型，方法总结助力学生形成解题策略，有效提升数学思维与应用能力。

2.1.3　基本不等式的应用 【学习目标】 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(逻辑推理、数学运算) 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理、数学运算) 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(数学建模) 【自主预习】 1.已知x，y都为正数，若积xy是定值p，则如何求它们和的最小值? 2.已知x，y都为正数，如果和x+y是定值s，那么如何求积xy的最大值? 3.如果两个正数的积为定值，那么它们的和一定有最小值吗? 1.若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为(　 　). A.2 B.1 C. D. 2.已知实数x，y满足x>0，y>0，且+=1，则x+2y的最小值为(　 　). A.2 B.4 C.6 D.8 3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　　　　.  【合作探究】 探究1　有关基本不等式的结论 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值. 简记为“积定和最小，和定积最大”. 利用基本不等式求最值的关键词：一正、二定、三相等. (1)一正：各项符号必须为正； (2)二定：各项之和或各项之积为定值； (3)三相等：必须验证等号成立的条件是否具备. 　 例1　(1)若m>0，n>0，mn=9，则m+n的最小值为(　 　). A.4 B.4 C.6 D.18 (2)已知x>0，y>0，且x+=4，则xy的最大值为　　　　.  【方法总结】配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、变形、配凑应注意利用基本不等式的前提. 设x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为(　 　). A.80 B.77 C.81 D.82 已知a>0，b>0，且ab=2，则+的最小值为　　　　.  探究2　“1”的代换法求最值 例2　已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值. 【变式探究1】本例条件变为“x>0，y>0，2x+8y=xy”，试求x+y的最小值. 【变式探究2】本例条件变为“x>0，y>0，x+y=1”，试求+的最小值. 【方法总结】1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值. 2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 已知x，y均为正实数，且满足x+2y=2xy. (1)求xy的最小值； (2)求x+y的最小值. 探究3　基本不等式的应用 例3　如图所示，动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大? (2)若每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设出变量. (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题. (3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值. (4)根据实际背景写出答案. 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用(单位：元)为560+48x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 【随堂检测】 1.已知x>0，y>0，且满足x+6y=6，则xy有(　 　). A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 2.已知a>0，b>0，且2a+=1，则+b的最小值为(　 　). A.2 B.3 C.8 D.9 3.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+，下列说法正确的是(　 　). A.取最值时，a= B.最大值是5 C.取最值时，b= D.最小值是 4.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界.若a，b为正数，且a+b=1，则--的上确界为　　　　.  参考答案 2.1.3　基本不等式的应用 自主预习 预学忆思 1.根据基本不等式求它们和的最小值.因为x，y都为正数，且xy是定值p， 所以x+y≥2=2，当且仅当x=y时，等号成立， 所以x+y的最小值为2. 2.由已知可得x+y≥2，所以xy≤=，当且仅当x=y时，积xy取得最大值，最大值为. 3.不一定.应用基本不等式求最值时要求等号能取到. 自学检测 1.D　【解析】∵ab≤，a+b=1， ∴ab≤，即ab≤，当且仅当a=b=时，等号成立，∴(ab)max=. 2.D　【解析】∵x>0，y>0，且+=1， ∴x+2y=(x+2y)+=4++≥4+2=8，当且仅当=，+=1，即x=4，y=2时，等号成立，故x+2y的最小值为8. 3.20　【解析】总运费与总存储费用之和y=4x+·4=4x+≥2=160， 当且仅当4x=，即x=20时，等号成立. 合作探究 探究1 新知运用 例1　(1)C　(2)8　【解析】(1)因为m>0，n>0，mn=9，所以m+n≥2=6，当且仅当m=n=3时，等号成立，故m+n的最小值为6. (2)xy=2·x·≤22=8， 当且仅当x=，即x=2，y=4时，等号成立， 所以xy的最大值为8. 巩固训练1　C　【解析】因为x>0，y>0， 所以xy≤2=81， 当且仅当x=y=9时，等号成立， 所以xy的最大值为81. 巩固训练2　2　【解析】+≥2=2=2， 当且仅当=，即a=，b=2时，等号成立， ∴+的最小值为2. 探究2 例2　【解析】∵x>0，y>0，+=1，∴x+y=+·(x+y)=++10≥2+10=16，当且仅当即时，等号成立，∴x+y的最小值为16. 变式探究1　【解析】由2x+8y=xy，得y=. ∵x>0，y=>0，∴x-8>0， ∴x+y=x+=x+=(x-8)++10≥2 +10=18，当且仅当x-8=，即x=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18. 变式探究2　【解析】+=(x+y)+=10++≥10+2=16，当且仅当=，x+y=1，即x=，y=时，等号成立，∴+的最小值为16. 巩固训练　【解析】(1)因为x，y>0，且x+2y=2xy， 由基本不等式得2xy=x+2y≥2， 解得≥， 所以xy≥2，当且仅当即时，等号成立， 所以xy的最小值为2. (2)因为x，y>0，且x+2y=2xy， 所以+=1， 所以x+y=+(x+y)=++≥2+=+， 当且仅当即时，等号成立， 所以x+y的最小值为+. 探究3 例3　【解析】(1)设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则由条件得4x+6y=36，即2x+3y=18， 设每间虎笼的面积为S，则S=xy. ∵2x+3y≥2=2， ∴2≤18，得xy≤， 即S≤，当且仅当2x=3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，面积最大. (2)(法一)由条件知S=xy=24，设钢筋网总长为l m，则l=4x+6y. ∵2x+3y≥2=2=24， ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48，当且仅当2x=3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，钢筋网总长最小. (法二)由xy=24，得x=， ∴l=4x+6y=+6y=6≥6×2=48，当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，钢筋网总长最小. 巩固训练　【解析】由题意知，每平方米的平均购地费用为=， ∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48x+. 当x+取最小值时，y取得最小值. ∵x≥10，∴x+≥2=30， 当且仅当x=，即x=15时，等号成立. ∴当x=15时，y取得最小值，最小值为2 000元. 故该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 随堂检测 1.A　【解析】xy=≤2=×9=，当且仅当即时，等号成立.故选A. 2.D　【解析】+b=+b·2a+=5++2ab≥5+2=9， 当且仅当即时，等号成立，所以+b的最小值为9. 3.AD　【解析】因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=，且a+b=2，即a=，b=时，等号成立. 4.-　【解析】因为a，b为正数，且a+b=1，所以+=+(a+b)=++≥+2=，当且仅当=，且a+b=1，即a=，b=时，等号成立，因此有--≤-，即--的上确界为-. 学科网（北京）股份有限公司 $