2.1.1 课时1 等式与不等式 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

2.1.1　课时1　等式与不等式 【学习目标】 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念.(数学抽象、逻辑推理) 2.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.(逻辑推理) 3.初步学会利用作差法比较两实数的大小.(逻辑推理) 【自主预习】 1.我们学过等式和不等式，那么什么是等式?什么是不等式? 2.在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b.如果a-b分别是正数、零、负数，那么a，b之间具有怎样的大小关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是x不小于2.(　 　) (2)若a<b或a=b之中有一个正确，则a≤b. (　 　) (3)x为非正数可表示为“x≥0”. (　 　) 2.若M=x2-x，N=x-2，则M与N的大小关系为(　 　). A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定 3.某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器的容积不小于B容器的容积.若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为　　　　；　　　　；　　　　.  【合作探究】 探究1　不等关系与不等式 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件. 问题1：上述问题中的利润如何计算? 问题2：如果把提价后的商品售价设为x元，那么怎样用不等式表示每天的利润不低于300元? 不等关系与不等式 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫作不等式. 例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，至少要买5辆A型汽车，6辆B型汽车.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 【方法总结】 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组. 有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为　　　　　　.  探究2　实数a，b的大小比较 问题：我们知道，由于数轴上的点与实数一一对应，故可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢? 基本事实： (1)a>b⇔a-b>0； (2)a=b⇔a-b=0； (3)a<b⇔a-b<0. 例2　已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 【方法总结】 用作差法比较两个实数大小的步骤 已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 探究3　不等关系的实际应用 例3　某单位组织职工包车前往某地参观学习.甲车队说：“若领队买一张全票，则其余人可享受全票价的7.5折优惠”.乙车队说：“若你们买团体票，则可按原价的8折享受优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 【方法总结】 解决决策优化型应用题，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可. 甲、乙一同去超市购买大米，去了两次，这两次大米的价格不同，甲和乙购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱.谁的购买方式更合算? 【随堂检测】 1.现要完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，工人工资的预算为20 000元.设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是(　 　). A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 2.若m=x2-1，n=2(x+1)2-4(x+1)+1，则m与n的大小关系是(　 　). A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n 3.比较大小：x2-3x+9　　　　(x-2)(x-1).(填“≤”“≥”“<”或“>”)  4.某人打算从甲地出发至乙地，现有两种方案可供选择.第一种方案：在前一半路程的速度为v1，在后一半路程的速度为v2(v1≠v2)，平均速度为.第二种方案：在前一半时间的速度为v1，在后一半时间的速度为v2(v1≠v2)，平均速度为'.与'的大小关系为　　　　.  参考答案 2.1.1　课时1　等式与不等式 自主预习 预学忆思 1.表示两个数或两个数学表达式相等的式子；表示两个数或两个数学表达式不等的式子. 2.a，b之间的大小关系分别为a>b，a=b，a<b. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)× 2.A　【解析】∵M-N=x2-x-(x-2)=(x-1)2+1>0， ∴M>N. 3.a<b　a>b　a≥b 合作探究 探究1　情境设置 问题1：利润=销售量×单件利润. 问题2：当提价后商品的售价为x元时，销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x-8)[100-10(x-10)]≥300. 新知运用 例1　【解析】设购买A型汽车和B型汽车的数量分别为x辆、y辆，则 巩固训练　(a2+b2)>ab 探究2　情境设置 问题：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 新知运用 例2　【解析】(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a-b)2>0，a+b>0， ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2. 巩固训练　【解析】3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1，∴x-1≤0，又3x2+1>0， ∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1. 探究3 例3　【解析】设该单位去的职工有n(n∈N+)人，全票价为x元，坐甲车需花费y1元，坐乙车需花费y2元， 则y1=x+x(n-1)=x+nx，y2=nx. y1-y2=x+nx-nx =x-nx=x1-， 当n=5时，y1=y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 因此，当单位去的人数为5时，两车队的收费相同；当人数多于5时，选甲车队更优惠；当人数少于5时，选乙车队更优惠. 巩固训练　【解析】设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)， 则甲两次购买大米的平均价格(单位：元/千克)是=， 乙两次购买大米的平均价格(单位：元/千克)是==. 因为-==>0，所以>. 所以乙购买大米的方式更合算. 随堂检测 1.D　【解析】依题意，得500x+400y≤20 000， 即5x+4y≤200. 2.D　【解析】∵n-m=x2≥0，∴m≤n. 3.>　【解析】因为x2-3x+9-(x-2)(x-1)=x2-3x+9-(x2-3x+2)=7>0， 所以x2-3x+9>(x-2)(x-1). 4.<'　【解析】第一种方案：设总路程为2s，则==. 第二种方案：设总时间为2t，则'==. ∵'-=-==>0， ∴'>，即<'. 学科网（北京）股份有限公司 $