1.2.2 充分条件和必要条件 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

1.2.2　充分条件和必要条件 【学习目标】 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象、逻辑推理) 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理) 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理) 【自主预习】 1.什么是充分条件?什么是必要条件? 2.“若p，则q”是假命题，p是q的充分条件吗?q还是p的必要条件吗? 3.当p是q的充要条件时，此时q也是p的充要条件吗? 4.以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.它们是什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分条件. (　 　) (2)若p是q的充要条件，则p和q是相互等价的. (　 　) (3)当q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立.(　 　) 2.“同位角相等”是“两条直线平行”的(　 　). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.使x>3成立的一个充分条件是(　 　). A.x>4　　　　　　　 B.x>0 C.x>2 D.x<2 4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　条件.  【合作探究】 探究1　充分条件、必要条件 问题1：如图，已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮.p与q有什么关系? 问题2：p：两三角形相似，q：对应角相等.p与q有什么关系? 问题3：如果p是q的充分条件，那么p是唯一的吗? 充分条件与必要条件 当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的　　　　条件，q叫作p的　　　　条件.  p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是　　　　的；反过来，若q不成立，则p一定不成立，即q对于p的成立是　　　　的.  例1　(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形相似； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B=A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出各题中p是q的什么条件. 【方法总结】充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论. (2)命题判断法：①如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. (3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围. (4)传递法：由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，得pn是p1的必要条件. 指出下列各题中p是q的什么条件. (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB. (2)已知x，y∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0. 探究2　充要条件 问题1：若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B有什么关系? 问题2：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 问题3：p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是s的充要条件吗? 1.充要条件的定义 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作　　　　.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称　　　　条件.当然，此时q也是p的充分必要条件.  2.用命题描述充要条件 如果一个命题和它的　　　　都成立，那么此命题的条件和结论互为充分必要条件.  3.充要条件的含义 p是q的充分必要条件是指p成立当且仅当q成立，即p与q互相　　　　.  例2　在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1)p：a=b，q：ac=bc； (2)p：a+5是无理数，q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0； (4)p：A∩B=A，q：UB⊆UA. 【方法总结】判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件. (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的. 此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度. a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　 　). A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 探究3　充要条件的证明 例3　证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 【方法总结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证明充分性，二是证明必要性. 设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 探究4　充分条件、必要条件的应用 例4　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 【变式探究】若本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 【方法总结】用集合法判断充分必要条件 对于集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件； 若A⫋B，则p是q的充分而不必要条件； 若B⫋A，则p是q的必要而不充分条件. 设集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|2m<x<1}.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　.  【随堂检测】 1.(多选题)使ab>0成立的充分条件是(　 　). A.a>0，b>0 B.a+b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1 2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　 　). A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　 　). A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.  参考答案 1.2.2　充分条件和必要条件 自主预习 预学忆思 1.“若p，则q”是真命题，即p⇒q，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. 2.p⇒/ q，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 3.是，因为p⇔q，所以p，q互为充要条件. 4.等价关系. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√ 2.C 3.A　【解析】只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 4.必要而不充分　【解析】若ac=bc，当c=0时，不一定有a=b；反之，若a=b，则有ac=bc成立.故“ac=bc”是“a=b”的必要而不充分条件. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：p成立，则q一定成立. 问题2：p成立，则q一定成立. 问题3：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件. 新知生成 充分　必要　充分　必要 新知运用 例1　【解析】(1)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等， ∴p是q充分条件但不是必要条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形可能为等腰梯形，不一定是矩形，∴q⇒/p. ∴p是q的充分条件但不是必要条件. (3)∵p⇒q，且q⇒p， ∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p⇒/ q，且q⇒/ p， ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 巩固训练　【解析】(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. (2)因为x=1⇒(x-1)(x-2)=0，所以p是q的充分条件. 探究2　情境设置 问题1：A=B. 问题2：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 问题3：是.∵p是q的充要条件，∴p⇔q.又q是s的充要条件，∴q⇔s.故p⇔s，即p是s的充要条件. 新知生成 1.p⇔q　充要 2.逆命题 3.等价 新知运用 例2　【解析】(1)因为a=b⇒ac=bc，而ac=bc⇒/ a=b，所以p是q的充分而不必要条件. (2)因为a+5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a+5是无理数，所以p是q的充要条件. (3)因为a2+b2=0⇒a=b=0，并且a=b=0⇒a2+b2=0，所以p是q的充要条件. (4)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒UA⊇UB，并且UB⊆UA⇒B⊇A⇒A∩B=A，所以p是q的充要条件. 巩固训练　D　【解析】若a2+b2>0，则a，b不同时为零；若a，b中至少有一个不为零，则a2+b2>0.故选D. 探究3 例3　【解析】充分性：∵ac<0， ∴Δ=b2-4ac>0，<0. ∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根. 设方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为x1，x2， ∵x1·x2=<0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根. 必要性：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根， ∴Δ=b2-4ac>0，x1·x2=<0， ∴ac<0. 故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 巩固训练　【解析】①充分性.若xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况， 当xy=0时，不妨设x=0，y≠0，得|x+y|=|y|，|x|+|y|=|y|，所以等式成立. 同理，当x≠0，y=0或x=0，y=0时，等式均成立. 当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0， 当x>0，y>0时，|x+y|=x+y，|x|+|y|=x+y，所以等式成立. 当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)， |x|+|y|=-x-y=-(x+y)，所以等式成立. 综上，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|成立. ②必要性.若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，则|x+y|2=(x+y)2=(|x|+|y|)2， 即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|， 所以xy=|x||y|，所以xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件. 探究4 例4　【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要而不充分条件， 所以q是p的充分而不必要条件， 即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 变式探究　【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分而不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 则A⫋B. 故有或 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 巩固训练　-，+∞　【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A. 当B=⌀时，2m≥1，即m≥，符合条件. 当B≠⌀时，-1≤2m<1，即-≤m<. 故实数m的取值范围是-，+∞. 随堂检测 1.ACD　【解析】因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0.所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件. 2.A　【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要而不充分条件. 3.A　【解析】因为a=2⇒(a-1)(a-2)=0，又(a-1)(a-2)=0⇒/ a=2，所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分条件.故选A. 4.m=-2　【解析】函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2； 反之，若m=-2，则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.故所求的充要条件是“m=-2”. 学科网（北京）股份有限公司 $