1.1.1 课时1 集合与元素 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

1.1.1　课时1　集合与元素 【学习目标】 1.通过实例，了解集合的含义，理解集合与它的元素之间的归属关系.(数学抽象、逻辑推理) 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.(数学抽象) 3.在具体情境中，了解空集的含义.(数学抽象) 【自主预习】 1.在初中，我们学习数的分类时，学过哪些数的集合? 2.如何用字母表示集合与元素? 3.元素与集合之间有哪些关系? 4.空集中有元素吗?它是无限集吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数. (　 　) (2)集合N中的最小元素为0. (　 　) (3)空集⌀=0. (　 　) 2.下面能构成集合的是(　 　). A.中国的小河流　 　　B.大于5且小于11的偶数 C.高一年级的优秀学生 D.某班级跑得快的学生 3.下列元素与集合的关系判断正确的是　　　　.(填序号)  ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④-1∈Z；⑤∉R. 4.已知集合M只有两个元素3和a+1，且4∈M，则实数a=　　　　.  【合作探究】 探究1　集合与元素的概念 集合论是现代数学的基础，创始者是德国数学家康托尔.康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础. 问题1：初中我们接触了哪些集合? 问题2：所有的“美景”能否构成集合? 1.集合与集合的元素 把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个　　　　.这些对象的总的名称，就是这个集合的名字.这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个　　　　.  2.元素与集合的关系 若S是一个集合，a是S的一个元素，记作a∈S，读作“a属于S”；若a不是S的元素，记作a∉S(或a⋷S)，读作“a不属于S”. 3.集合的基本属性 (1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的. (2)确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的. (3)无序性：集合中的元素没有顺序. 例1　(1)(多选题)下列说法正确的是(　 　). A.小于8的正整数能组成一个集合 B.方程x(x-1)=0的解能组成一个集合 C.由-1，0，1组成的集合和由-50，1，0组成的集合不相等 D.某班个子较高的同学能够组成一个集合 (2)(多选题)由不超过5的实数组成的集合A与元素a=+的关系有(　 　). A.a∈A B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A (3)已知集合A中元素满足2x+a>0，a为实数.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为　　　　.  【方法总结】(1)判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的.如果是“确定无疑”的，那么就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，那么就不能构成集合. (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的. ②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. (3)由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤 (多选题)下列各组对象能组成集合的是(　 　). A.2025年哈尔滨亚冬会的5个冰上项目和6个雪上项目 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有正整数 D.函数y=图象上所有的点 设集合B是小于的所有实数的集合，则2　　　　B，1+　　　　B.(用符号“∈”或“∉”填空)  已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，试求实数a的值. 探究2　常用数集与集合分类 问题1：数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集.在初中，我们用什么表示实数集? 问题2：实数集中的元素有多少个?这类集合称为什么集? 问题3：你能用符号表示常见的数集吗? 1.常用的数集及其记法 全体自然数组成的集合叫自然数集，记作　　　　.  全体整数组成的集合叫整数集，记作　　　　.  全体有理数组成的集合叫有理数集，记作　　　　.  全体实数组成的集合叫实数集，记作　　　　.  通常用R+表示　　　　组成的集合；类似的有R-，Z+，N+，Q-，….  2.集合的分类 有限集 元素个数　　　　　　的集合叫有限集(或有穷集)  无限集 元素个数　　　　　　的集合叫无限集(或无穷集)  空集 　　　　　　的集合叫空集，记作　　　　　　，空集也是有限集  一、常用数集 例2　下列所给关系正确的个数是(　 　). ①-∈R；②∉Q；③0∈N+；④|-3|∉N+. A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 (多选题)下列关系式正确的是(　 　). A.∈R B.|-3|∉N C.-∈Q D.0∈N 二、集合的分类 例3　下列集合中哪些是空集?哪些是无限集? (1)满足|x|+|y|=0且xy≠0的所有实数组(x，y)构成的集合； (2)被3除余1的正整数构成的集合； (3)一次函数y=2x-3图象上所有的点构成的集合； (4)方程x2-x+1=0的全体实根构成的集合. 【方法总结】空集的判断要紧扣空集的定义：没有元素的集合.有限集和无限集的分类关键是看元素的个数是否可数. 下列集合中，哪些是空集?哪些是有限集?哪些是无限集? (1)所有偶数构成的集合； (2)所有绝对值不大于3的偶数构成的集合； (3)方程x2+2=0的所有实数根构成的集合. 【随堂检测】 1.下列各组对象可以组成集合的是(　 　). A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有小的正数 2.若a，b，c为集合M中的三个元素，则以a，b，c为边长的△ABC一定不是(　 　). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　 　). A.3.14 B.-5 C. D. 4.已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，求实数m的值. 参考答案 1.1.1　课时1　集合与元素 自主预习 预学忆思 1.自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合，无理数的集合，实数的集合等. 2.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.元素与集合之间是属于与不属于的关系. 4.空集中没有元素，它不是无限集，是有限集. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)× 2.B　【解析】我国的小河流不能构成集合，A不符合集合中元素的确定性；大于5且小于11的偶数为6，8，10，B可以构成集合；高一年级的优秀学生不能构成集合，C不符合集合中元素的确定性；某班级跑得快的学生不能构成集合，D不符合集合中元素的确定性. 3.①④　【解析】N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，-1∈Z，∈R. 4.3　【解析】由题意知a+1=4，即a=3. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：(1)数集：自然数的集合，有理数的集合，…. (2)点集：圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合)，线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合)，…. 问题2：不能构成集合. 新知生成 1.集合或集　元素 新知运用 例1　(1)AB　(2)ACD　(3)-4<a≤-2　【解析】(1)对于A，小于8的正整数，符合集合的定义，能构成集合，故A正确； 对于B，方程x(x-1)=0，可得x=0或x-1=0，解得x=0或x=1，故方程x(x-1)=0的解能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为-50=-1，所以两个集合的元素是一样的，即两个集合是相等的，故C错误； 对于D，某班个子较高的同学没有明确定义，不能构成集合，故D错误. 故选AB. (2)对于A，因为a=+<+=4<5，所以a∈A. 对于B，因为a2=()2+2×+()2=5+2>5，所以a2∉A. 对于C，因为===-<5，所以∈A. 对于D，因为a+1<++1=5，所以a+1∈A. 故选ACD. (3)因为1∉A，2∈A，所以2×1+a≤0，2×2+a>0，解得-4<a≤-2. 巩固训练1　ACD　【解析】选项A，C，D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合. 巩固训练2　∉　∈　【解析】∵2=>，∴2∉B， ∵(1+)2=3+2<3+2×4=11， ∴1+<，∴1+∈B. 巩固训练3　【解析】∵-3∈A，∴-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3，则a=0， 此时集合A中含有两个元素-3，-1，符合题意； 若-3=2a-1，则a=-1， 此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合题意. 综上所述，a=0或a=-1. 探究2　情境设置 问题1：用圆圈和具体的数，如实数集： 问题2：实数集中的元素有无穷多个，元素无限个的集合称为无限集. 问题3：能，N表示自然数集，R表示实数集，Z表示整数集，Q表示有理数集等. 新知生成 1.N　Z　Q　R　全体正实数 2.有限　无限多　没有元素　⌀ 新知运用 例2　B　【解析】∵-是实数，是无理数，∴①②正确. ∵N+表示正整数集，∴③④不正确. 巩固训练　AD　【解析】对于A，是实数，即∈R，A正确； 对于B，|-3|=3∈N，B错误； 对于C，-是无理数，C错误； 对于D，0∈N，D正确.故选AD. 例3　【解析】(1)若|x|+|y|=0，则x=y=0，这与xy≠0矛盾，所以(1)是空集； (2)被3除余1的正整数有1，4，7，…，即有无数个，所以(2)是无限集； (3)一次函数y=2x-3图象上的点有无数个，所以(3)是无限集； (4)因为Δ=(-1)2-4<0，所以(4)是空集. 巩固训练　【解析】(1)是无限集.(2)是有限集.(3)是空集也是有限集. 随堂检测 1.B　【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”没有明确的标准，不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，不能构成集合. 2.D　【解析】根据集合元素的互异性，a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D. 3.D　【解析】由题意可知，a∈R且a􀱂Q，所以a是无理数，故选D. 4.【解析】由题意知，m=2或m2-3m+2=2， 解得m=2或m=0或m=3. 经验证，当m=0或m=2时，集合A中的元素不满足互异性；当m=3时，满足题意. 故m=3. 学科网（北京）股份有限公司 $