22..3实际问题与二次函数—销售问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化

该初中数学导学案聚焦二次函数在实际问题中的应用，以销售问题为核心，系统梳理了从审题建模到最值求解的完整思维路径。通过文字表述、表格数据和图像信息三种情境切入，层层递进地构建知识支架，帮助学生从生活现象中抽象出数量关系，理解函数模型的本质，为后续解决复杂现实问题奠定基础。 本资料突出“数学眼光”与“数学思维”的融合运用，设计多样化的销售场景，引导学生用符号意识建立函数关系，借助几何直观分析变量变化规律，强化逻辑推理能力解决利润最大化问题。其最大亮点在于将真实商业情境转化为可操作的数学任务，既培养了学生的模型意识和应用意识，又通过分层练习实现差异化教学，有效提升学生的问题解决能力和创新思维。

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—销售问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数，使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 知识点1 销售问题 （1）建立函数模型：根据实际问题提取变量关系，如涨价/降价对销量和利润的影响，建立二次函数解析式。 （2）确定自变量范围：需考虑实际约束条件（如售价不低于成本、销量非负），避免计算错误 （3）根据二次函数性质确定最值. 要点诠释： 易错点与注意事项 1)变量混淆：需明确基准价格与调整后售价的关系，避免混淆“涨价金额”与“售价”。 2)顶点应用：正确使用二次函数顶点公式求最值，同时验证顶点是否在自变量取值范围内。 题型1 文字表述的销售问题 例1．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 【变式1-1】．某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元． （1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-2】．某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元． （1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？ （2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？． 【变式1-3】．某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克． （1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？ （3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？ 题型2表格表示的销售问题 例2．请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 　 正 　 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【变式2-1】．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【变式2-2】．某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： x 12 14 15 17 y 36 32 30 26 ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-3】．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 题型3与函数结合的销售问题 例3．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量y（）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于20元．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元） 7 8 9 y（） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ ． 【变式3-1】．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-2】．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）【变式3-3】．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ 知识点2 增长率问题的基本公式： 若初始量为 a，平均增长率为 x，经过n期后的量为 y，则：y=a(1+x)n 适用场景： 经济增长（如GDP、房价）、 人口增长或减少 资金复利计算 药品降价或提价问题 关键点： 1.明确增长次数：例如“两年平均增长率”对应 n=2。 2.区分增长与减少：减少率公式为 y=a(1−x)n 题型4 增长和复利问题 例4．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式　 　． 【变式4-1】．红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】． 某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则菅业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为　 　. 【变式4-3】．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（　　） A． B． C． D． 题型5降价问题 例5．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为　 　． 【变式5-1】．为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，年第一季度产品的生产成本是每件元，技术升级改造后，产品的生产成本逐季度下降，第三季度产品的生产成本是每件元，若产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． ． 【变式5-2】．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为　 　． 题型6 分段销售问题 例6．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表： x（天） 1 2 3 … 50 p（件） 118 116 114 … 20 销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+． （1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 【变式6-1】．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． （1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； （2）假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【变式6-2】．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． （1）　 　，　 　； （2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 题型7增长率与销售综合问题 例7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【变式7-1】．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为　 　； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式. ①当x为多少时？销售总利润达到10000元. ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润. 【变式7-2】．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16冰墩和雪容融． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店每套应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【变式7-3】．年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个元上涨到每个元，此时每天可售出个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 例8．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？ （2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？ 【变式8-1】．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？ 小明同学， 为了完成以上问题，小明分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况， 下面是小明的思路， 请你帮助小明完善以下内容： （1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为　 　； 其中x的取值范围是 　 　； 在涨价的情况下，定价　 　元时，利润最大，最大利润是　 　． （2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？ （3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？ 【变式8-2】． 某公司以每件元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售单价元满足一次函数关系：． （1）当时，总利润为　 　元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是　 　； （3）若每天的销售量不少于件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 2．一台机器原价为100万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y与x之间的函数关系为( ) A. B. C. D. 3．某种商品的价格是200元,准备进行两次降价,若每次降价的百分率都是x,两次降价后的价格y(元)随每次降价的百分率的变化而变化,则y与x之间的关系式为( ) A. B. C. D. 4．某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式,若要求销售单价不得低于成本,为每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？( ) A.90元,4500元 B.80元,4500元 C.90元,4000元 D.80元,4000元 5．某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯.销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件.为使每月获得最大利润，该台灯应定价为( ) A.30元 B.35元 C.40元 D.45元 6．某部手机的原价为4000元，一年内连续降价两次，若每次降价的百分率都是x，则降价两次后的价格（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件.商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为( ) A. B. C. D. 8．某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为________________. 10．某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元,第二季度比第一季度增长的百分比为x,第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍,则第三季度专项教育投入y(亿元)关于x的函数关系式为______.(不要求写自变量x的取值范围) 11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销量相应减少4件，那么将销售价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大 12．由于制药技术的提高,某种疫苗的成本下降了很多,因此医院对该疫苗进行了两次降价,设平均降价率为x,已知该疫苗的原价为462元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为______. 13．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件.当x为________________时，每天的销售利润最大，最大利润是________________. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元； （2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 15．商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件， （1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？ 16．某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 17．十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 18．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元． （1）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 19．一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中0≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克． （1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式； （2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？ 20．某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨价1元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—销售问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数，使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 知识点1 销售问题 （1）建立函数模型：根据实际问题提取变量关系，如涨价/降价对销量和利润的影响，建立二次函数解析式。 （2）确定自变量范围：需考虑实际约束条件（如售价不低于成本、销量非负），避免计算错误 （3）根据二次函数性质确定最值. 要点诠释： 易错点与注意事项 1)变量混淆：需明确基准价格与调整后售价的关系，避免混淆“涨价金额”与“售价”。 2)顶点应用：正确使用二次函数顶点公式求最值，同时验证顶点是否在自变量取值范围内。 题型1 文字表述的销售问题 例1．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 【答案】150 【解析】【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元， 将有6x间客房空出，客房租金总收入为y， 由题意可得： y=(100+10x)(120-6x)(10≤x≤ 50且x是整数)， =60(-x2+10x+200) =-60(x-5)2+13500 当x=5时，ymax=13500， 因此每间租金100+10×5=150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元. 故答案为：150. 【分析】设标准房价格为x元，客房的日营业收入为y元，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解. 【变式1-1】．某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了m元时（m为正整数），月销售利润为w元． （1）每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （2）每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：由题意得， ∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数， ∴自变量的取值范围为，且为正整数． 当时，， 解得（不合题意，舎去）． 则（元）， 答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元． （2）解：由题意得，∵，且m为正整数， 当时，， 当时，， 答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元． 【解析】【分析】 （1）先根据题意表示出月销售量，再根据总利润=单件利润×月销售量列方程并求解即可，注意是实际问题，应对根进行适当取舍； （2）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答． （1）解：由题意得， ∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数， ∴自变量的取值范围为，且为正整数． 当时，， 解得（不合题意，舎去）． 则（元）， 答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元． （2）解：由题意得， ∵，且m为正整数， 当时，， 当时，， 答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元． 【变式1-2】．某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元． （1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？ （2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：设销售单价为元，由题意得，解得，， ∵该商品的销售单价不能高于元， ∴， 答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元； （2）解：设每月获得的利润为元，由题意得： ∵， ∴当时，随的增大而增大 ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大． 【解析】【分析】（1）设销售单价为元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每月获得的利润为元，根据利润=单利润×销售量列二次函数关系式，根据二次函数的增减性解答即可． （1）解：设销售单价为元，由题意得， 解得，， ∵该商品的销售单价不能高于元， ∴， 答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元； （2）设每月获得的利润为元，由题意得： ∵， ∴当时，随的增大而增大 ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大． 【变式1-3】．某商店原来平均每天可销售某种水果100千克，每千克可盈利7元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克． （1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利400元，则每千克应降价多少元？ （3）每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？ 【答案】（1）解：根据题意得： y=（100+20x）×（7﹣x） =﹣20x2+40x+700 （2）解：令y=﹣20x2+40x+700中y=400，则有：400=﹣20x2+40x+700， 即x2﹣2x﹣15=0， 解得：x1=﹣3（舍去），x2=5． 所以若要平均每天盈利400元，则每千克应降价5元 （3）解：y=﹣20x2+40x+700=﹣20（x﹣1）2+720， 所以每千克降价1元时，每天的盈利最多，最多盈利多，720元 【解析】【分析】（1）直接利用每千克利润×销量=总利润，进而得出函数关系式；（2）利用y=400，进而解方程得出答案；（3）利用配方法求出二次函数最值即可． 题型2表格表示的销售问题 例2．请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 　 正 　 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】解：任务1：∵现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，且服装厂安排70名工人加工一批夏季服装， ∴安排人加工”正“服装， 根据题意，得， ∴之间的数量关系为； 任务2：根据题意，得”雅“服装每天获利为：， ∴， ∴关于的函数表达式为； 任务3：由任务2，得， ∵， ∴当时，获得最大利润为， ∴， ∵开口向下， ∴或， 当时，有，不符合题意，舍去； 当时，有，符合题意； ∴， ∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】【分析】任务1：先求出安排加工”正“服装的人数，然后根据”正“服装总件数和”风“服装相等即可求解； 任务2：根据雅”服装每天加工10件时，每件获利100元，若每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元得到“雅”服装每天获利，然后将3种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：将任务2中的函数表达式化为顶点式，结合二次函数的最值知识以及题意即可求解. 【变式2-1】．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，， 则每盒的利润为：，舍去， ∴m的值为2． 【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为，根据待定系数法将，；，代入解析式即可求出答案. （2）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案. （3）设日销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案. （1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，， 则每盒的利润为：，舍去， ∴m的值为2． 【变式2-2】．某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： x 12 14 15 17 y 36 32 30 26 ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得：， 解得：k=-2，b=60， ∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60， 通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式， 因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60． 自变量的取值范围为：10≤x≤18． （2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168， 解得：x=16，x=24舍去， 答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg； （3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200， ∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵10≤x≤18， ∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元， 答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后检验其它点的坐标即可； （2）根据总利润=单利润×销售量列一元二次方程解答即可； （3）先根据总利润=单利润×销售量求出函数关系式，配方得到顶点式，然后根据自变量x的取值范围求出最值即可． 【变式2-3】．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得： ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为12250， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元． 【解析】【分析】（1）设平均增长率为a，然后再根据“该零件4月份生产100个，6月份生产144个”，建立方程：，解出x的值，然后再根据实际情况进行取舍即可； （2）设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意，列出y和x的函数关系式：，然后再根据二次函数的性质即可求解。 题型3与函数结合的销售问题 例3．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量y（）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于20元．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元） 7 8 9 y（） 4300 4200 4100 （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）； （2）解：根据题意，得， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴当时，有最大值为， ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为42000元． 【解析】【解答】解：（1）设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入函数关系式，得， 解得：， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：. 【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解； （2）根据利润=单件利润×销售量得到关于的二次函数，将其化成顶点式，然后根据二次函数的最值知识结合题意进行求解. （1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得： ，解得：， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意得： ， ， ， ∵，对称轴为直线， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴当时，w有最大值为42000元． ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为42000元． 【变式3-1】．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx＋b， 把（50，50），（80，20）代入得： ， 解得， ∴y＝−x＋100， 令y＝0，则−x＋100＝0， 解得x＝100， ∵成本价为每千克40元， ∴自变量x的取值范围为40＜x＜100， ∴y与x的函数关系式为y＝−x＋100（40＜x＜100） （2）设日销售利润为w元， 则w＝（x−40）y＝（x−40）（−x＋100）= ∵−1＜0，∴有最大值， ∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900， ∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元 【解析】【分析】（1）根据函数图象，用待定系数法求出函数解析式，并结合实际情况求出自变量的取值范围； （2）设日销售利润为w元，根据日销售利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式． 【变式3-2】．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 【答案】（1） （2）解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ∵，． ∴函数图象开口向下，对称轴是直线． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元 （3） 【解析】【解答】 （1） 解：设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （3） 解：由， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 又∵； ∴， 故答案为：． 【分析】 （1）由题意，用待定系数法即可求解； （2）根据总利润＝总销售额﹣总成本可求得w与x的函数关系式，并将解析式配成顶点式，然后由二次函数的性质可求解； （3）由题意，用二次函数的增减性求得x的取值范围即可求解． （1）解：（1）设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ∵，． ∴函数图象开口向下，对称轴是直线． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元； （3）解：由， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 又∵； ∴， 故答案为：． 【变式3-3】．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）解：根据题意，单件的利润为元，销售件数为， 故， 化简，得：， 即函数关系为：． （2）解：令，可得：， 解得：，， 当时，销量：（件）； 当时，销量：（件）； 销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为18元． 【解析】【分析】(1)利润=单件利润×销售量，单件利润为(x-8)元，销售件数为y，列出方程即可； (2)销售利润为2200，即令W=2200，求得x的值，再求出对应的y的值，减少库存的话最终定y值大的. 知识点2 增长率问题的基本公式： 若初始量为 a，平均增长率为 x，经过n期后的量为 y，则：y=a(1+x)n 适用场景： 经济增长（如GDP、房价）、 人口增长或减少 资金复利计算 药品降价或提价问题 关键点： 1.明确增长次数：例如“两年平均增长率”对应 n=2。 2.区分增长与减少：减少率公式为 y=a(1−x)n 题型4 增长和复利问题 例4．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得，， 故答案为：． 【分析】由8月份以每平方米20000元的均价对外销售，平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【变式4-1】．红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得，8月份的产量为，9月份的产量为， 三季度的产量为， 则， 故答案为：D 【分析】根据题意可得，8月份的产量为，9月份的产量为，三季度的产量为，即可求解. 【变式4-2】． 某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则菅业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：二月份的营业额为 三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x为 则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为： 故答案为： 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×(1+增长率) =三月份的营业额，等量关系为： 一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相应数值代入即可求解. 【变式4-3】．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 题型5降价问题 例5．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】，解：由题意得：， 故答案为：． 【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可建立出y关于x的函数关系式. 【变式5-1】．为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，年第一季度产品的生产成本是每件元，技术升级改造后，产品的生产成本逐季度下降，第三季度产品的生产成本是每件元，若产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少． 【答案】解：该产品生产成本每个季度的平均下降率为，根据题意得， ， 解得：或（舍去）， 答：该产品生产成本每个季度的平均下降率是． 【解析】【分析】设该产品生产成本每个季度的平均下降率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【变式5-2】．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2， 故答案为：C. 【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式. 【变式5-3】．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得： 故答案为： 【分析】根据原价及两次降价后的价格即可求出答案. 题型6 分段销售问题 例6．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表： x（天） 1 2 3 … 50 p（件） 118 116 114 … 20 销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+． （1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)设 销售量p与x的函数关系为：p=kx+b，再将点（1，118）和（2，116）代入函数解析式可得：， 解得：k=-2，b=120， 所以p＝120－2x (2)y＝p·(q－40)＝ (3)当1≤x＜25时，y＝－2(x－20)2＋3 200， ∴x＝20时，y的最大值为3 200元； 当25≤x≤50时，y＝－2 250， ∴x＝25时，y的最大值为3 150元， ∵3 150＜3 200， ∴该超市第20天获得最大利润为3 200元． 【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式.（1）由表格可以看出销售量p件与销售的天数x成一次函数，设出函数解析式为：p=kx+b，再将点（1，118）和（2，116）代入函数解析式可列出方程组：，解方程组可求出k和b的值，据此可求出销售量p与x的函数关系.； （2）根据 销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+． 利用利润=售价﹣成本，可分别求出在1≤x＜25和25≤x≤50时函数关系式； （3）利用（2）中的函数解析式：当1≤x＜25时，配方可得：y＝－2(x－20)2＋3 200，利用二次函数的性质可求出最大值；当25≤x≤50时，y＝－2 250，利用反比例函数的性质可求出最大值，据此可求出该超市第20天获得最大利润. 【变式6-1】．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． （1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； （2）假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元， 可列方程组为， 解得：， 答：甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元． （2）解：①由题意得：， 解得：， ， ，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， ∴当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， 随的增大而减小， ∴当时，（元）， ∵， 每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元． 【解析】【分析】（1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据“ 甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元 ”列出方程组求解； （2）①先列出方程求解，再根据生产量小于8千克，说明巴特尔当日的利润能180元； ②分别在“”、“”时求出最大值，作出比较，再下结论． 【变式6-2】．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元． （1）　 　，　 　； （2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；25 （2）解：由（1）知第天的销售量为千克． 当时， ， 当时，取得最大值，最大值为968． 当时，． ，随的增大而增大， ． ，当时，． 答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元． 【解析】【解答】（1）根据题意可得：32=12m-76m，n=25， 解得：m=，n=25， 故答案为：；25. 【分析】（1）根据“ 第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克 ”列出方程32=12m-76m，n=25，再求解即可； （2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可. 题型7增长率与销售综合问题 例7．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】（1）； （2）解：①由题意可得：， 令，即， 解得，. ∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元； ②=-10（x2-50x)+6000=-10(x-25)2+12250， ∴当x=25时，取得最大总利润， 此时. 【解析】【解答】解：（1） 设增长率为a，根据题意，得： ； 【分析】（1） 设增长率为a， 根据 该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．即可得出方程：； （2）首先根据题意得出销售总利润为y与 头盔涨价x元 之间的关系式为：， ①求出当，对应的x的值即可； ②把二次函数的一般形式转化为顶点式，即可求出答案. 【变式7-1】．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为　 　； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式. ①当x为多少时？销售总利润达到10000元. ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润. 【答案】（1）150 (1+a)2=216 （2）解：①∵y= (40-30+x) (600-10x)， ∴当 (40-30+x) (600-10x)=10000时，解得x1=10， x2=40 ②∵y= (40-30+x) (600-10x)， ∴y=-10x2+500x+6000， 当x=25时，最大总利润y= 12250 【解析】【解答】解：（1）由题意得， 故答案为：； 【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量即可列出一元二次方程； （2）①根据月销售利润每个头盔的利润月销售量即可得到y与x的函数关系式，进而即可求解； ②根据二次函数的最值即可求解。 【变式7-2】．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16冰墩和雪容融． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店每套应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）解：设每次上涨的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，，（不合题意，舍去）， 答：每次上涨的百分率为20%； （2）解：设每套价格降价为a元，利润为y元 根据题意得：， ∵，对称轴为直线 ∴当时，y有最大值2000 答：商店每套应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为2000元 【解析】【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据“ 从每套150元上涨到每套216元 ”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解； （2）设每套价格降价为a元，利润为y元，根据题意得到y与a的二次函数关系式，从而根据二次函数的最值即可求解。 【变式7-3】．年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个元上涨到每个元，此时每天可售出个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：每次上涨的百分率为． （2）解：由题意，设每个售价为元， 每天的利润 ． 当时，每天的最大利润为． 网店每个应降价元，即网店每个应降价元． 答：网店每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 【解析】【分析】(1)根据题意，设每次上涨的百分率为m，列出关于m的一元二次方程， 解方程取其正值即可得求解； (2)由题意，设每个售价为x元，利用总利润=单件利润×销售数量，可列出关于x的二次函数 W，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解. 例8．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？ （2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？ 【答案】（1）解：依题意得：元， 即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元； （2）解：设每个房间定价增加x元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， 元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案. （2）设每个房间定价增加x元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案. 【变式8-1】．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？ 小明同学， 为了完成以上问题，小明分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况， 下面是小明的思路， 请你帮助小明完善以下内容： （1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为　 　； 其中x的取值范围是 　 　； 在涨价的情况下，定价　 　元时，利润最大，最大利润是　 　． （2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？ （3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？ 【答案】（1）；；65；6250元 （2）解：设每件降价元，则每星期售出商品的利润元， 则， 函数的对称轴为， 当（元时，则（元； （3）解：， ∴用涨价方式比降价方式获得利润大， 当定价为65元时，利润最大． 【解析】【解答】(1)y=（60-40+x）×（300-10x)=-10x2+100x+6000， 又300-10x≥0且x＞0， ∴0≤x≤30； ∵-10＜0， ∴当x=时，函数y的值最大，最大值=（元）， 此时定价为：60+5=65（元）； 故第1空答案为：y=-10x2+100x+6000；第2空答案为：0≤x≤30；第3空答案为：65；第4空答案为：6250元； 【分析】（1）根据利润=单件利润×销量，可得利润y=-10x2+100x+6000；根据题意得出自变量x的取值范围；利用二次函数的性质，即可求得定价为65元时，利润最大，且最大利润为6250元； （2）设每件降价元，则每星期售出商品的利润元， 根据利润=单件利润×销量，即可得出：， 根据二次函数的性质，即可得出当（元）时， 最大利润为6125元 ； （3）根据（1）、（2）的结果，可知用涨价方式比降价方式获得利润大，当定价为65元时，利润最大． 【变式8-2】． 某公司以每件元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售单价元满足一次函数关系：． （1）当时，总利润为　 　元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是　 　； （3）若每天的销售量不少于件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）400 （2） （3）解：， ， 解得：． ， 对称轴为，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为：． 销售单价定为元时，利润最大，最大利润是元． 【解析】【解答】解：（1）根据题意 当x=50时 每件进价40元 总利润为 （2）根据题意 单件利润为（x-40）元 销售数量为（-2x+140）件 设总利润为w元， 故填： 【分析】（1）根据题中一次函数的意义可直接代入求得销售数量，再根据总利润=单件利润销售数量计算求值；（2）在第一问的基础上找到总利润和销售单价的函数关系式，注意销售数量是在给定函数基础上计算的，故要统一x的取值范围；（3）不小于即大于等于，根据题意可计算出售价 ，根据二次函数的解析式，可知图象开口向下，在对称轴左侧递增，故x=51时w有最大值，最大值可求。 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨x元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C. 2．一台机器原价为100万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y与x之间的函数关系为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得,,即. 故选：A 3．某种商品的价格是200元,准备进行两次降价,若每次降价的百分率都是x,两次降价后的价格y(元)随每次降价的百分率的变化而变化,则y与x之间的关系式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：若每次降价的百分率都是x,由题意得 , 故选：B. 4．某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式,若要求销售单价不得低于成本,为每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？( ) A.90元,4500元 B.80元,4500元 C.90元,4000元 D.80元,4000元 答案：B 解析：设每月总利润为w, 依题意得： ,此图象开口向下,又, 当时,w有最大值,最大值为4500元. 故选：B. 5．某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯.销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件.为使每月获得最大利润，该台灯应定价为( ) A.30元 B.35元 C.40元 D.45元 答案：B 解析：设利润为y， 由题意得：， 化简得， 故当时，每月获得最大利润. 故选B. 6．某部手机的原价为4000元，一年内连续降价两次，若每次降价的百分率都是x，则降价两次后的价格（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 答案：B 7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件.商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为， 故选：B. 8．某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：已知该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万，.故选B. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为________________. 答案： 解析：依题意得： 故答案为：. 10．某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元,第二季度比第一季度增长的百分比为x,第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍,则第三季度专项教育投入y(亿元)关于x的函数关系式为______.(不要求写自变量x的取值范围) 答案： 解析：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元, ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元, 故答案为：. 11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销量相应减少4件，那么将销售价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大 答案：11 解析：解：设销售单价定为x元（），每天所获利润为y元， 则， 所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大. 12．由于制药技术的提高,某种疫苗的成本下降了很多,因此医院对该疫苗进行了两次降价,设平均降价率为x,已知该疫苗的原价为462元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为______. 答案： 解析：设平均每次降价的百分率为x,根据题意可得： y与x之间的函数关系为：. 故答案为. 13．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件.当x为________________时，每天的销售利润最大，最大利润是________________. 答案：55；450元 解析：根据题意：每件商品售价定为x元，日销售量设为y件，设利润为w， 成本价为40元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件， 销售量， ， 整理得：， ， 二次函数开口向下，有最大值， 即当时，利润有最大值为：， 故答案为：元. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元； （2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600， 整理得：x2﹣240x+10800＝0， 解得x＝60或180， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元， ∴x＝180不合题意舍去， 答：当售价为60元时，利润达到5600元． （2）解：设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800， ∵40×（1+80%）＝72， x≤72， ∵﹣2＜0， ∴当x＝72时，W最大＝8192， 答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元． 【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量，列一元二次方程，因式分解法解方程即可； （2）根据获利不得高于进价的80% 列代数式，求出售价的取值范围；将二次函数化为顶点式，即可求出最值. 15．商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件， （1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】（1）设每件童装应降价x元，则 由题意得： 整理得： 解得： 因为商场的目标是增加盈利，减少库存，所以舍去，故 答：每件童装降价20元； （2）设每天销售这种童装利润为y 则 由二次函数的性质得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 故当时，y取得最大值，最大值为1250元 答：若商场想平均每天在销售这种童装上盈利最多，每件童装应降价15元. 【解析】【分析】（1）问什么设什么，先求出数量：再根据“利润=每件盈利销量”建立等式方程求解即可； （2）设每件童装应降价x元，利润为y元，根据“利润=每件盈利销量”可得，y是关于x的一个二次函数，利用二次函数的性质求最值即可. 16．某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为．把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数关系式； （2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量即可二次函数关系式，再根据二次函数的最值即可求解。 （1）解：设y与x之间的函数解析式为． 把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 17．十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）解：∵成本为每件元，且销售单价为元， ∴每件的利润为元， ∵销售量与销售单价满足，该商场获得的利润恰为元， ， 整理得：， 解得：， ∴当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元； （2）解：根据题意，得， ∴当时，取得最大值为， ∴销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】【分析】（1）先求出每件的利润，然后根据商场获得的利润=每件服装的利润×销售量列出方程并解之即可； （2）根据商场获得的利润=每件服装的利润×销售量列出关于的函数解析式且化为顶点式，然后根据二次函数的最值知识求解即可. （1）解：已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 整理得， 解得， 当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元． （2）已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 即， 当时，取最大值为， 销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 18．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元． （1）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：根据题意得，整理得， 解得，， ∵规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元， ∴， ∴， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元. （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 【解析】【分析】（1）根据“总利润 = 每本利润×销售量”列方程，结合单价范围确定解. （2）先根据“总利润 = 每本利润×销售量”列出利润函数，再通过二次函数性质结合单价范围求最值. （1）解：根据题意得， 整理得， 解得，， ∵规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元， ∴， ∴， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 19．一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中0≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克． （1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式； （2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）解：（0≤x≤20） （2）解：设第x天的利润为W， ∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克， ∴第x天的销售量为60+4（x﹣1）＝（4x+56）千克， 当0≤x≤20时， ∴＝﹣2x2+72x﹣28x+1008＝﹣2x2+44x+1008＝﹣2（x﹣11）2+1250 ∵﹣2＜0， ∴当x＝11时，W最大，最大为1250； 当20＜x≤30时，W＝（24﹣16）（4x+56）＝32x+448， ∵32＞0， ∴当x＝30时，W最大，最大为32×30+448＝1408； ∵1408＞1250， ∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元． 【解析】【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设函数解析式为p=kx+b，将点(0，34)和(20，24)得 得， 故一次函数解析式为 当20<x≤30时，p=24； （0≤x≤20） 【分析】（1）分别求出当0≤x≤20和20<x≤30的函数解析式即可得售价与销售时间的函数关系式； （2）求出0≤x≤20和20<x≤30的利润表达式，求出对应的利润最大值即可. 20．某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨价1元，月销售量就减少． （1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （2）当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）解：由题意可得， ， ， 其中，，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：（）； （2）解：由（1）得， 当时，月销售量为：千克； 销售利润为：， 答：销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元； （3）解：由题意可得， ， 解得：，． 当时，销售成本为：元元．舍去； 当时，销售成本为：元元． 答：销售单价应定为80元； （4）解：当x=时，y最大=(元）， 即当售价定为70元时会获最大利润，最大利润为9000元． 故答案为：9000． 【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×每一件的利润，据此即可求解； （2）由（1）得，当时，月销售量为：千克；进而即可求出销售利润； （3）根据题意列出方程，解得，．分别计算销售成本即可； （4） 利用公式法求出最值即可． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $