1.4.2 课时1 距离问题 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 课时1 距离问题 【基础巩固】 1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，又， 点到平面的距离为，故选：B 2．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：C 3．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 4．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 5．（多选）在长方体中，，，分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在中，如图： 则， ，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 因为，又平面， 所以平面，故A正确； 所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为，故D正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 又，所以，所以平面，故B正确； 设平面的一个法向量为，又， 则，令，得， 则点到平面的距离为，故C错误. 故选：ABD 6．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 7．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 8．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面间的距离. 【答案】见解析 【解析】(1)若为的中点，连接，为的中点，则且， 由，，则且，故为平行四边形， 所以，平面，平面，故平面； (2)由(1)知直线与平面间的距离，即为点与平面间的距离， 由，，，取的中点，连接， 所以四边形为矩形，， 由是以为斜边的等腰直角三角形，，， 由，且都在平面内，则平面， 由，则平面，平面，则平面平面， 以为原点构建空间直角坐标系，则， 由平面，平面，则， 在中，则， 由，所以，可得， 所以，，则，，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以， 所以直线与平面间的距离为. 【能力拓展】 9．如图，在正方体中，过点作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为,则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 则， 设平面的法向量为，则，，，则， 令，则，设，则为线段的中点， 因，到的距离分别为，则到的距离分别为， 因，且为线段的中点，则到的距离分别为， 则， 又到的距离为，则，则，即，则， 则，，则该正方体的棱长为.故选：B 10．（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（ ） A．点到平面的距离为 B．若平面，则是棱的中点 C．若平面，则是上靠近的三等分点 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】AD 【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， ， 点到平面的距离为，A正确； B选项，设，， 则， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，所以， 其中， 故，的轨迹为连接的中点的一条线段， 所以不一定是棱的中点，B错误； C选项，设平面的法向量为， ， 则， 令，则，故， 若平面，则， 设， 所以，解得， 故，则是上靠近的四等分点，C错误； D选项，若在棱上运动，设， 则， ，设， ， 故点到直线的距离为， 当时，点到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确. 故选：AD. 11．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则__________. 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点， ，，则，设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中，因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．故答案为：. 【素养提升】 12．如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1) 如图，连接交于点，连接，则点为的中点，且是的中点， 则为的中位线，所以．又因为平面，平面， 所以平面． (2)存在点，理由如下：因为在正中，是的中点，故， 以为坐标原点，取的中点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设，其中， 所以，， 设平面的法向量为， 则取． 且， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点使得点到平面的距离为．此时． 第8页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 课时1 距离问题 【基础巩固】 1．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，， ，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上， 点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在长方体中，，，分别是、 的中点，则下列结论中成立的是（ ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 6．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________. 7．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为__________. 8．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面间的距离. 【能力拓展】 9．如图，在正方体中，过点作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为,则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（ ） A．点到平面的距离为 B．若平面，则是棱的中点 C．若平面，则是上靠近的三等分点 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 11．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则__________. 【素养提升】 12．如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $