辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、为场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选抔题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册占50%，必修第四册占50%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.复数之=2一11i的虚部为 A.-11i B.2 C.11 D.-11 2在△ABC中.osC=2号AB=4,则△ABC外接圆的面积为 A.36π B.24π C.48x D.144x 3.已知向量a,b满足引a|=2.且〈ab〉=120°，则a在b上的投彤的数录为 A-3 B.-1 C.-3 D.1 已知a∈（受xc(x,sna=9mA=则cosa-B)= A.25-30 B.30+/15 C.2V3o-15 D.5-230 15 15 15 15 5.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A'B'C',若A'B=A'C'=2,B'C'=22,则 BC= A2√2 B.43 C.42 D.23 6.若点P(4,-3)在角a的终边上，则os(2a-3x)·tan(a-= sin(x-a） A-号 7 7 C.一25 D.25 7.若2OA+Oi+3O元=0，SAAc,SAc分别表示△A0C,△BOC的面积，则S△Mxc:Sac= A.3:5 B.2:3 C.1:6 D.1:2 【高二数学第1页（共4页）】 8.如图，这是一刷直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形ABCD,其中∠BAD=60°， AB=I,AB⊥BD,BC⊥CD,BC=CD.现将△BCD沿着BD折起，连接AC,得到三棱锥 C-ABD,取AD,BD的中点分别为E,F,连接CE,CF,EF.若∠CFE=30°，则直线AC与平 而CEF所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.75 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z1=5一8i,2=9i,则 A之2是纯虚数 B.兰在复平面内对应的点位于第二象限 C.1=5+8i D.1x21=81 10.下列关于向量的说法中，正确的是 A.若a仍，be,则ac B.若a·b=0,则a⊥b C.若a,b同向，则川a+b|=|a|+Ib| D.若a,b不共线，则川a|≠|b1 1l.已知函数f(x)=2sin(r+p)(w>0,lp<)的最小正周期为2，且Yx∈R,f(x)≤ f(),则 Aω=2 Bp=哥 C.f(x)在(0,2π)上恰有4个零点 D.将f(x)的图象向右平移F个单位长度后得到一个偶函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一扇形的圆心角为30°，半径为4，则弧长为 ,该扇形的面积为 13.某圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，若母线长为15，则该圆台的侧面积为▲ 14.如图，在圆C(C为圆心)中，弦AB的长度为8，则AC·AB=▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数∫(x)=sin(2x+）. (1)求曲线y=∫(x)的对称轴方程； (2)求了x)在(-受，牙)上的值城。 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A:B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点. (1)证明：BC1平面A1CD (2)设AA1=AC=CB=2√2，AB=4. ①证明：DE⊥平面A,CD, ②求点D到平而A,CE的距离. 17.(15分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,已知s血C(B+--osA)=2xsim号 (1)求C. (2)已知点D在线段AB上，且BC=BD=2,sin∠ACD= 61 ①求CD; ②求△ACD的面积 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,BC上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1,AE与 CD交于点P,记AP=XAE,DP=uCD,CA=a,CB=b. (1)求入和μ的值，并用a,b表示BP,CP; (2)若引a=lb1=2,a,b)=苓，求PA与P夹角的余弦值. 19.(17分) 如图1，在△ABC中，BC=22,∠B=60°，AC的垂直平分线DE与AC,AB分别交于点 D,E,且DE=√尽，沿DE将△AED折起至△FED的位置，得到四校锥F-BCDE,如图2. (1)设FC=√. ①证明：FD⊥BE, ②已知FD=D户，是否存在实数入，使得CP平而BEF?若存在，请求出λ；若不存在、 诮说明理由 (2)若CF与平面BCDE所成的角为60°，求二面角F-EC-D的余弦值， 图1 图2 【高二数学第4页（共4页）】 数学试卷参考答案 1.D复数之=2一11i的虚部为一11. 2.A i 设△ABC外接圆的半径为R,则2R=AB 因为osC=22, 2号所以smC=号因为AB =4,所以2R AB sinC=12,所以R=6,故△ABC外接圆的面积为36元 3.Ba在b上的投影的数量为acos(a,b)=2X(-)=-1 4C由题意可知csa=-5,sn月=- osg=-25,所以cosa-9)=osoB+ 如A=-5×(-2)+号x(-5)=2y压 15 5.B因为A'B'=A'C'=2,B'C'=22,所以A'C'⊥A'B. 因为∠CO'A'=45°，所以OC'=22,OA'=2,所以O'B'=4. 还原直观图得到△ABC,如图所示. 因为OB=4,0C=42,所以BC=√42+(4V2)2=43. 6.A因为cosa=号，所以os2a3ana-卫=-c0s2a·tang=- 2cos2a-1 sin(π一a) sin a cos a 20 7.D如图，设D,E分别是AC,BC的中点.因为2OA+OB+3OC=2(OA +0心)+(o+0心)=0，所以40i+202=0,即O2=-20j,所以0， D,E三点共线，所以S△wc:SAr=1:2. 8.C过点A作BD的平行线，并与FE的延长线交于点G(图略)，易得AG ⊥平面CEF,连接CG,则直线AC与平面CEF所成的角为∠ACG.在 △CFG中，CG=CP2+FG2-2CF·FGcos∠CPG,由FPG=AB=1,CP=,可得G= 云由AG-方BD=号，可得AC=1,则sn乙A0G-C=则∠ACG=60 Q.AC因为z2是纯虚数，所以A正聊：因为=58=一8。，所以空在复平面内对应的点 22 9i 位于第三象限，故B不正确；因为1=5一8i的共轭复数为5十8i,所以C正确；因为|z2|=9, 所以D不正确。 10.BC若a,c都是非袋向量，b=0,则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误； 因为特别规定零向量与任意向量垂直，所以当a·b=0时，a⊥b,故B正确； 若a,b同向，不妨设a=λb(>0),则|a+b|=|ab+b|=(入+1)1b|=|a|+|bl,故C 正确； 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 因为不管a,b是否共线，Ia|,|b|都有可能相等，所以D错误. 1,BD因为(x)的最小正周期为2x,所以w-经=1，A不正确由Vx∈R,f(x)≤f(), 2π 得答+p=受+2k元，k∈Z,则9=号+2km,∈么因为lp<经，所以9=3，B正确.f(x) =2s(x+号》，由0<2，得号<x+晋<号，则fx)在0,2上恰有2个零点，C不 正确.由f心x)=2sin(x+哥)，得f(x-）=2sin(x-)=-2cosx,是偶函数，D正确. 125号 因为圆心角为管，半径为4，所以弧长为后×4=该扇形的面积为宁×受×4 =4好 3 13.225π设该圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长L= √h2+(R-r)z=√(4r)2+(3r)z=5r=15,所以r=3,R=12,故S侧=π(R+r)l=π(12+ 3)×15=225π. 1432取线段AB的中点D,连接CD(图略)，则CDLAB,所以IAC|cosA=|Aò=号A, 所以AC·A店=|ACIIAB1sA=号1范？=32. 15解：冷2+号-受十：ke2.得x=一竞+受k∈Z, …3分 所以曲线)-f)的对称销方程为x=一竞+受k∈ ,…6分 2因为x∈(-受，)，所以2x+5∈(-晋，) …9分 令2x+=0,则0c(-吾，)， 因为如0∈(-，1]，所以fx)在(-受，)上的值城为(-，1]， …13分 16.(1)证明：连接AC1交A,C于点F,连接DF,则F为AC1的中点. …1分 因为D是AB的中点，所以BC1DF.…2分 因为DFC平面A1CD,BC,丈平面A1CD,所以BC1平面A1CD.… C …4分 (2)①证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.·5分 因为AC=CB,D为AB的中点，所以CD⊥AB.…6分 因为AA,∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1,则CD⊥DE 因为AC=CB=2√2，AB=4,所以∠ACB=90°，所以CD=2.·7分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 因为AA1=2W2,所以AD=23,DE=V6,A1E=3V2 因为A1D2+DE2=A1E2,所以DE⊥A1D.…8分 因为AD∩CD=D,所以DE⊥平面ACD.…9分 ②解：由0可知三楼锥CA1DE的体积V=号×号×25X6X2=2vV反 ,…10分 在△A1CE中，AE=3巨，A,C=4,CE=V0,则cos∠A,CE=4+(而)2-32)= 2×4×W10 10 10 12分 因为sn乙A,CE=3沿，所以SaA=号X4XV×3沿=6 10 …14分 设点D到平面A1CE的距离为d, 则5×dX6=2W2,得d=2,即点D到平面A,CE的距离为N2. …15分 17.解：(1)由已知及正弦定理得，sinC((sin Acos B+--sin Bcos A)=2 sin CsinC 2 2分 因为inC>0,所t以sin(A十B)=2sinS, 3分 所以sinC=1-cosC,即sinC+cosC=1.…5分 两边平方可得2 sin Ccos C=0,所以cosC=0.C=石 2 ，…7分 e0co∠BcD=o(登-∠AcD)=sin乙ACD-有，BCD=® 6. …8分 因为BC=BD,所以∠BCD=∠BDC, casB=as(x∠BCD-∠BDC)=-cos2∠BcD=-2saS∠BCD+1=号 …10分 在ABCD中，CD2=8C+BD2-2BC·BDoos B=-所以cD=25 ，…12分 ②在Rt△ABC中，AB=BC 009B=3, …13分 AD=AB-BD=l,sin∠ADC=sin∠BDC=sin∠BCD=YSo 6 所以△ACD的面积为2AD·CDsin∠ADC=5 …15分 18.解：(1)因为CA=a,CB=b, 所以花-成-=-财=b-a,ò-+筋-+号脐=+号，“ …2分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 所以A时-正-号b-a,D=市-3a+号. 4分 因为A-茄+D=号+市-(k-)a+(导+号)b, 7 所以 解得 6分 +号=， 2 4=-7 因为时-成+过，所以萨=子a-b. …7分 因为D驴=-ci所以C=Cò=a+2. 8分 (2)因为a=1,b1=2,a,b>=号， …9分 所以a2=|a2=1,b2=lb12=4,a·b=1X2Xcos牙=1. 10分 因为时=-市=月a-,成=-肿=-7a+, 所ui-停a一号)-√e-b+=29 7 …12分 -a+町-后0·b+ ?@ 49 …14分 pi成-(9一D)(-+)=-8@+器b0=-号 …16分 因为cos(Pi,Pi)=PA.P啦 =3 129× 13 所以P才与P店夹角的余弦值为- 13 17分 19.(1)①证明：如图，在△ABC中，记AB的中点为G,连接GD. 由题意，GD是△ABC的中位线， 因为BC=2W2,∠B=60°，所以GD=√2，∠EGD=120°， GD ED 在△EGD中，由正弦定理 sin∠cED=sin∠EcD' sn∠GED-sini2o,解得sin∠GED= 即 ② 2 因为∠EGD=120°，所以∠GED=45°，…3分 又DE是AC的垂直平分线，所以△ADE是等腰直角三角形， 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 所以DE=AD=DC=√5. …4分 在翻折的过程中，DE与AC的垂直关系保持不变， 若FC=√6，则△FDC是以D为直角顶点的等腰直角三角形，… 5分 所以FD⊥ED,FD⊥DC,ED∩DC=D,所以FD⊥平面BCDE 因为BEC平面BCDE,所以FD⊥BE.… 6分 ②解：由①知在四棱锥F-BCDE中，DE,DF,DC两两垂直， 延长ED至点Q(图略)，使得DQ=ED=√3，则∠DQC=45°.…7分 延长FD至点P(图略)，使得PD=FD=√3，则∠DPQ=45°. …8分 因为∠BED=135°，所以CQBE.因为∠EFD=45°，所以PQ/EF, 因为CQ∩PQ=Q,BE∩EF=E,所以平面BEF伞面CPQ.…9分 因为CPC平面CPQ,所以CP平面BEF. 此时Fδ=D2,即入=1.… …10分 (2)解：过D作DM⊥CE于M,过M作MN⊥CE,交CF于N,连接DN(图略)， 则∠DMN即为二面角F-EC-D的平面角.…11分 因为ED⊥FD,ED⊥CD,所以ED⊥平面CDF, 所以∠FCD即为CF与平面BCDE所成角的平面角，所以∠FCD=60°.·I2分 因为FD=DC=√3，所以FC=√3， 因为DE=DC=5,ED⊥CD,所以M为CE的中点，且CM= 2 …13分 3 因为EF=CE=6,FC=3,所以cos∠ECF=名=2 64· …14分 在△CMN中，∠CMN=90°，cos∠MCN= 4,CM=6 ,所以MN= 2,CN=23.… …15分 在△CDN中，∠DCN=60°，CN=2W3,CD=3,所以DN=3.…16分 在△DMN中，DN=3,DM=9,MN=里 2 6142 所以cos∠DMN=DM+MW2-DN?4+1-9 √7 = 2DM·MN 7 2 2 即二面角F-EC-D的余弦值为7 17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】