2025-2026学年湘教版数学八年级上册期中模拟卷

2025-2026学年湘教版八年级上册期中模拟卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列式子中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 3．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 4．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 6．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 10．无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作件，实际每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B．a C． D．b 12．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 二、填空题（每小题2分，共12分） 13．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 14．因式分解： ． 15．化简的结果是 ． 16．分式与的最简公分母是 ． 17．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 18．阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 三、解答题 19．（本小题满分6分）计算： （1）分解因式 （2）计算： 20．（本小题满分6分）计算： (1) (2) 21． （本题满分8分）解分式方程： （1） （2） 22．（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中． 23．（本小题满分10分）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 24．（本小题满分10分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 25．（本小题满分12分）2024年2月10日至21日，贵州省贵阳、毕节、六盘水、黔西南等地陆续发生山火，共发生森林火情221起，造成人员伤亡2人．某校为提高学生消防安全意识，准备购买《消防安全管理手册》和《消防安全知识》两种书籍．每本《消防安全管理手册》比《消防安全知识》贵20元，花400元购买的《消防安全管理手册》数量和花200元购买的《消防安全知识》一样多． (1)求每本《消防安全管理手册》和每本《消防安全知识》各需多少元； (2)如果该校计划购入两种书籍200本，总费用不超过6000元，那么至少购进《消防安全知识》多少本？ 26．（本小题满分12分）阅读下列材料，并回答问题． 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： 根据以上材料，解答下列问还： (1)用多项式的配方法将化成的形式______； (2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程： 解：    步骤①     步骤②    步骤③     步骤④ 老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤______开始的，然后请你重新写出一个完整的、正确的解答过程： (3)通过上述材料的学习，证明：取任何实数时，多项式的值总为正数． 《2025-2026学年湘教版八年级上册期中模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B C D B B A 题号 11 12 答案 C A 1．A 【分析】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义． 利用分式的定义，即形如的式子，A、B都是整式，且分母B中含有字母，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，满足分式的定义，该选项符合题意； B. ，分母中不含字母，不是分式，该选项不符合题意； C. ，分母中不含字母，不是分式，该选项不符合题意； D. ，不满足分式的定义，不是分式，该选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据把一个多项式分解为几个整式的乘积的形式的过程为因式分解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； C、属于因式分解，故该选项符合题意； D、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C 3．A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 4．A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键． 根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简分式，不符合题意； B. ，不是最简分式，不符合题意； C. ，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D. ，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.原式，故本选项不符合题意； B.原式，故本选项符合题意； C. 原式，故本选项不符合题意； D. 原式，故本选项不符合题意． 故选：B. 9．B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键．根据二次根式的性质化简后，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，是最简二次根式，故B符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 10．A 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，原计划每天制作件，总天数为天；实际每天制作件，总天数为天，因实际提前5天完成，故原计划天数减去实际天数等于5，据此列方程. 【详解】解：原计划天数：总任务量1000件除以每天制作量，即天， 实际天数：每天多制作50件，即每天制作件，总天数为天， 时间差：原计划天数比实际天数多5天， 故方程为：， 故选：A 11．C 【分析】由数轴得，进而判断出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故选：C． 12．A 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：A． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．2 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算规则．熟练掌握同分母分式的减法运算规则是解题的关键． 因为这两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减，得到，观察分子可以提取公因式2，即，最后化简得． 【详解】解： ， 故答案为：2． 16． 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母，得 解得： ∵方程有增根， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 18． 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 19．（1） （2） 【分析】题目主要考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握是解题关键． 利用平方差公式因式分解即可．整数指数幂、求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算 【详解】（1）解： （2）解：， ， ； 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 21．（1） （2） 是增根，原分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【详解】（2）本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验． 解：方程两边都乘以，得：， 解得：， 检验：把代入， ∴是增根，原分式方程无解． 22．； 【分析】总结性分析：本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 23．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． 24．(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义． （1）直接分母有理化； （2）将分母有理化，利用平方差公式进行运算； （3）先将各部分分母有理化，再提出，然后作加减． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 25．(1)每本《消防安全知识》元，每本《消防安全管理手册》元 (2)至少购进《消防安全知识》本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系分别列出方程和不等式． （1）设每本《消防安全知识》元，则每本《消防安全管理手册》元，根据“花元购买的《消防安全管理手册》数量和花元购买的《消防安全知识》一样多”这一等量关系列分式方程求解． （2）设购进《消防安全知识》本，则购进《消防安全管理手册》本，根据“总费用不超过元”这一不等关系列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设每本《消防安全知识》元，则每本《消防安全管理手册》元． 根据题意得：， 方程两边同乘得：， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 则（元）． 答：每本《消防安全知识》元，每本《消防安全管理手册》元． （2）解：设购进《消防安全知识》本，则购进《消防安全管理手册》本． 根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 答：至少购进《消防安全知识》本． 26．(1) (2)①，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）步骤①中利用完全平方公式进行配方时出现错误；利用配方法及平方差公式分解因式即可得； （3）多项式，利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得证． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤①开始的，完整的、正确的解答过程如下： ． （3）解： ， ，， ， 即取任何实数时，多项式的值总为正数． 学科网（北京）股份有限公司 $