第一次月考提升检测金卷（范围：第1～3章）—2025～2026学年九年级上学期数学模拟测试卷【广东专版 配北师大版】

2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、是分式方程，故本选项错误； D、当时是一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 2．如图在菱形中，对角线相交于点O，若，，则菱形的边长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 3．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 4．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此解答即可． 【详解】解：根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是． 故选：C． 5．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案． 【详解】解：方程即为， 在方程的两边都加上，得， 即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 6．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 7．一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（    ） A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握四边形的判定方法是解题的关键．根据题意画出图形，依次逐一判断是否正确即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项A错误，不符合题意； B、如图， 同选项A可得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故选项B错误，不符合题意； C、如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项C错误，不符合题意； D、如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8．某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为200元”可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 9．如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，根据菱形的性质得出，，再得出是等边三角形，，得出是的中位线，求出，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． 又∵E是的中点，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵四边形是菱形， ∴，是的中位线， ∴， ∴，． ∴​． 故选：C． 10．如图，在正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】如图，记的交点为，证明，则，，，即，可判断①的正误；证明，则，，可判断②的正误；，是等腰直角三角形，则，由的大小不确定，可知不一定成立，可判断③的正误；不一定成立，则不一定成立，可判断④的正误；证明，则，可判断⑤的正误． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴，，②正确，故符合要求； ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵的大小不确定， ∴不一定成立，③错误，故不符合要求； 不一定成立， ∴不一定成立，④错误，故不符合要求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，⑤正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程的二次项系数为3，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：(，，是常数且)，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数为3，一次项系数为． 故答案为：． 12．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为、、、，则属于化学变化的有、， 画树状图如下： ， 共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是， 故答案为：． 13．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知m，n是方程的两个实数根，则 【答案】2023 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两实数根， ，， ， ． 故答案为：2023． 15．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程. 【答案】 【分析】先移项，再配方，然后开方得出答案． 【详解】 整理，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 18．如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30° 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：和是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ，即， 解得：，（，不合题意，舍去）， 的值为3． 21．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． （1）请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） （3）求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米 【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）依题意得：， ∴， ∴； （3） 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 23．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②；理由见解析；③（2）；理由见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明，即可得出结论；②作于点M，作于点N， 推出，进而求证，得出，即可得出结论；③作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，通过证明，四边形是矩形，得出，，再根据，得出，最后根据，即可得出． （2）先证明，作交AB于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，，推出是等边三角形，同理与都是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小是不发生变化，； 理由：作于点M，作于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ③； 作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）； 理由：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， 由旋转知：， ∴， 作交AB于点E，交于点G，如图 则四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形是性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图在菱形中，对角线相交于点O，若，，则菱形的边长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．20 3．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（　　） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（    ） A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 8．某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 10．如图，在正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程的二次项系数为3，一次项系数为 ． 12．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ． 13．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 14．已知m，n是方程的两个实数根，则 15．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程. 17．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 18．如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．    （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 21．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． （1）请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） （3）求出山羊活动范围面积S的最大值． 23．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $