第一次月考提升检测金卷（范围：第21～22章）—2025～2026学年九年级上学期数学模拟测试卷【广东专版 配人教版】

2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 3．把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（  ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 6．关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是(-2，-1) C．当x＞0时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 7．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 8．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为： ． 12．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 ． 13．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 14．若是一元二次方程的两个根，则 ． 15．已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程． （1）； （2） 17．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 18．已知二次函数． （1）请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 20．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 21．综合与实践． 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 23．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的一元二次方程，故符合题意； B、是二元一次方程，不是关于的一元二次方程，故不合题意； C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不合题意； D、中是分式，不是整式，因此不是一元二次方程，故不合题意． 故选：A． 2．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题即可． 【详解】解：方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点， 即关于函数，时的值， 由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的近似解是． 故选：C． 3．把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移后的抛物线的函数关系式为， 故选：D． 4．已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每两名同学之间交换礼物一个，则m人共赠贺卡m（m-1）张，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得 m（m-1）=20， 故选C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5．用配方法解方程，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方． 【详解】解：由原方程，得 x2+2x=2， x2+2x+1=2+1， （x+1）2=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象顶点坐标是(-2，-1) C．当x＞0时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图像开口向下，故选项A说法正确，不符合题意； 由函数解析式可知顶点坐标是，故选项B说法正确，不符合题意； 由函数性质可知当时，y随x的增大而减小，故选项C的说法正确，不符合题意； ∵方程 无实数解， ∴图像与x轴无交点，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 8．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握．根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点，，到对称轴的距离，即可解答． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 是顶点，最小， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， ． 故选：D． 9．函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，熟记一次函数与二次函数的图象并逐一判断选项图象是解本题的关键． 【详解】解：当时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上；对称轴为轴， 当时，直线过一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为轴， 可得选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 10．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为： ． 【答案】 【分析】先移项，再合并同类项化为即可. 【详解】解： x2＋6x＝3x＋2 移项得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟悉“是一元二次方程的一般形式”是解本题的关键. 12．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得 ， 关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点 ， ， ∴ ， 关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 13．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 14．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系先求出x1+x2，x1x2的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程的两个根， ∴x1+x2=3，x1x2=1， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 15．已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程． （1）； （2） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ，． 17．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用：首先设出鸡场宽为米，长为米，然后根据矩形的面积长宽，用未知数x表示出鸡场的面积，根据面积为列出方程，解方程即可； 【详解】设宽为米，长米， 根据题意得：， 解得：，， 由得， 故， ∴鸡场靠墙的一边长为：（m）． ∴鸡场两边的长分别是． 18．已知二次函数． （1）请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）解：画图如下： （3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】(1)见解析 (2)三角形另外两边长为2，2 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【详解】（1）证明： 所以此方程总有实根． （2）解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 20．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 21．综合与实践． 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1)y关于t的函数解析式为 (2)汽车刹车后，行驶了 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的函数值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将代入得： ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 ①已知代数式，则的最小值为______； ②将代数式化为的形式，并求出它的最大值． （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小，值为多少？ 【答案】(1)①；②，24 (2)，理由见解析 (3)时，四边形的面积最小，且最小面积为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式： （1）①根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； ；②根据完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴， 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为． ② ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，因此 有最大值，最大值为24； （2）解：，理由如下： ∵，， ， ， ， ． （3）解：由题意得：， ， ∵， ∴， ∴ 当时，的面积最大，且最大面积为； ∵， ∴， ∴当最大时，最小， ∴时，四边形的面积最小，且最小面积为． 23．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $