专题01 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能用正负数表示相反意义的量（如温度、收支），会解释实际情境中的正负号含义 基础必考点，常以生活应用题形式出现（如海拔、温差），易错点：忽略"0"的基准意义 有理数的分类 能独立完成有理数分类树状图（整数/分数→正/负/零），辨析非有理数（如π） 高频易错点，选择题常设π为干扰项，易忽视"0既非正也非负"的特性 数轴三要素 能规范绘制数轴并标出给定数对应的点，理解单位长度变化对数值比较的影响 常考画图题，易错点：漏标箭头或原点，混淆"数"与"点"的对应关系（如-3.5的位置） 相反数与绝对值 能快速求任意数的相反数，用绝对值的几何意义比较负数大小 考查"0的相反数是其本身"等特殊情形（易错点）；求含字母的绝对值（如|a-2|的最小值问题）；混淆相反数与倒数（如-3的相反数是3，倒数是-1/3）；忽略绝对值的非负性（如|a|+1的最小值是1，非0） 有理数大小比较 掌握三法：数轴法（左小右大）、绝对值法（负数的绝对值越大越小）、作差法 高频出现在选择题，易错点：比较"-3/4与-2/3"时误判分母大小关系 加减运算符号法则 能正确处理双重符号（如-(-5)=5），运用交换律/结合律简化同号、相反数相加的运算 计算题必考，易错点：去括号时符号漏变（如3-(+5)=3+5）、跳步导致符号丢失 乘除运算符号法则 熟练运用"同号得正，异号得负"，会将连除转化为乘法（如a÷b÷c=a×(1/b)×(1/c)） 常与加减法混合考查，易错点：奇数个负号时的结果符号判断错误 科学记数法 能快速转换大数（如384000→3.84×10⁵），保持有效数字精确度 实际应用题高频考点，易错点：10的指数符号错误 混合运算顺序 严格遵循"先乘除后加减，括号优先"，能使用分配律简化计算 压轴题核心考点，易错点：看到同级运算从左往右算（实际可灵活调整顺序优化计算） 知识点01 有理数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… ·示例：整数5可表示为，分数、直接符合形式，因此都是有理数；无限不循环小数（如π、）不能表示为两个整数之比，不属于有理数。 ·易错点：容易忽视π 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 3.画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 4.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 5.一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 示例：（1）标出-3.5的位置：在原点左侧，介于-3和-4之间。 （2）|a-2|的最小值为0（当a=2时）。 （3）0的相反数和绝对值均为0。 ·易错点：漏画箭头或单位长度标记。混淆"数"与"点"的对应关系（如将-3.5标在-3的位置）；混淆相反数与倒数（如-3的倒数是-1/3，相反数是3）。忽略绝对值的非负性（如认为|a|可能是负数）。 知识点03 有理数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 示例：比较-3/4与-2/3：绝对值3/4 > 2/3 ⇒ -3/4 < -2/3。 易错点：误判负数大小（如认为分母越大数值越大） 知识点4 有理数加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 示例：3-(+5)=3-5=-2（易错：漏变符号得8）。 易错点：去括号时符号漏变（如将-(-5)写成-5） 知识点5 加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 示例：同号结合：(−7)+(−3)+10=−10+10=0；凑整简化：.6+(−3.2)+(−2.8)=5.6+[(−3.2)+(−2.8)]=5.6+(−6)=−0.4相反数抵消：(−4)+3+4=[(−4)+4]+3=0+3=3 易错点：未优先计算相反数导致复杂化（如 (−5)+5+3不先算 (−5+5)）。小数或分数运算时符号错误（如 −2.5+1.8 误算为 −0.7 写成 0.7）。 知识点6 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 示例：5−3=5+(−3)=2；−4−(−2)=−4+2−2（减去负数相当于加正数）；0−6=0+(−6)=−6 易错点：符号错误：如 −3−5 误算为 −3+5=2−（正确应为 −3−5=−8−）。 去括号错误：如 7−(−2) 误算为 7−2=5（正确应为 7+2=9）。 混淆减数和被减数：如 2−5 误算为 5−2=3（正确应为 −3）。 知识点7 有理数乘法法则 1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2任何数同0相乘，都得0。 3多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 示例：（同正得正） ；（同负得正） ；（异号得负） （任何数与0相乘为0） 易错点：符号判断错误：如 误算为 （正确应为 ）；忽略“负负得正”：如 误算为 （正确为 ）；混淆乘法和加法符号规则：如 误认为 。 知识点8 乘法运算定律 1.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 示例：凑整简化： 分配律逆用： 符号与绝对值分离： 易错点：跳步计算导致符号错误（如 直接写 而忽略中间步骤）。 分数运算时约分错误（如 误算为 ）。 知识点9 有理数除法法则 1.除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 易错点：小数点位置错误：如 误算为 （正确为 ）。 符号遗漏：如 误算为 （正确为 ）。 知识点10 有理数乘方法则运算 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：（正数奇次幂）；（负数偶次幂）；（负数奇次幂）；（0的幂） 易错点：符号混淆：如 误算为 （实际为 ，因指数仅作用于2）。 指数与底数关系不清：如 误算为 （偶次幂应为 ）。 忽略括号： 与 结果不同。 知识点11 科学记数法 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：25000→2.5×（小数点左移4位） −6.03×102=−603−6.03×102=−603（还原：小数点右移2位） 易错点：混淆科学记数法的概念 知识点11 科学记数法 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右的顺序进行。 3.如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 示例：计算-3²+2×(-1)²：先算乘方再乘法，最后加法（结果：-9+2=-7）。 易错点：混淆运算顺序 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.定顺序：严格遵循运算顺序： 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号） 2.看符号： 先确定每一步结果的符号，再算绝对值。 乘除法符号规则：同号得正，异号得负。 3.巧简化： 优先计算相反数（如 -a + a = 0）。 凑整（如 -3.5 + 4.5 = 1）。 分配律逆用（如 -3×5 + 3×2 = 3×(-5 + 2) = -9）。 易｜错｜点｜拨 坑点1： 与 的区别（前者仅1的幂，后者整体幂）。 坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。 坑点3：分数减法通分错误（如 通分为 ）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1) (2) 【变式2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1)； (2)． 题型二 有理数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：将实际问题转化为数学表达式。 收入/上升/增加 → 正数 支出/下降/减少 → 负数 2.抓关键： 明确基准量（如海平面为0，温度0℃等）。 单位统一（如吨→吨，米→米）。 3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏算某一天的数据（如少加一个）。 坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。 坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 【典例2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【变式1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米记为“0”．     第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？ 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知第二天生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)若每生产一辆车的工资为60元，求该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 题型三 数轴与绝对值综合题 解｜题｜技｜巧 1.画数轴：标出关键点（如原点、正负数）。 2.绝对值几何意义： 表示数轴上与的距离。 表示到原点的距离。 3.分类讨论： 遇到，需考虑 或 。 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略绝对值非负性（认为有解）。 坑点2：未分类讨论（如漏掉）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作． 如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题： (1)______； (2)若点C在数轴上，且，则点C表示的数为______； (3)若D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． 【变式1】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 题型四 新定义问题 解｜题｜技｜巧 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 【典例1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·陕西西安·一模）在日常生活中，若收入500元记作元，则支出280元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·青海·中考真题）的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）2023年湖南省政府工作报告中指出，要强力推进湘商回归．持续开展“迎老乡、回故乡、建家乡活动，大力推进产业回归、资本回流、项目回投、人才回聚、总部回建，力争湘商回归新注册企业达1000家，项目投资4800亿元．4800亿用科学记数法表示为 ． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，0，， (1)整数：______________________； (2)负分数：____________________； (3)非负整数：________________． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”符号将它们连接起来． ，，，，， 8．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)计算：； (3)计算：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 3．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 5．计算： ． 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 7．（24-25七年级上·北京门头沟·期中）如图为北京市地铁号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，． (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)请直接写出济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 4．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 5．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”． (1)填空： ①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）； ②最小的四位“亚运数”是______________． (2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”． (3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：， 例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能用正负数表示相反意义的量（如温度、收支），会解释实际情境中的正负号含义 基础必考点，常以生活应用题形式出现（如海拔、温差），易错点：忽略"0"的基准意义 有理数的分类 能独立完成有理数分类树状图（整数/分数→正/负/零），辨析非有理数（如π） 高频易错点，选择题常设π为干扰项，易忽视"0既非正也非负"的特性 数轴三要素 能规范绘制数轴并标出给定数对应的点，理解单位长度变化对数值比较的影响 常考画图题，易错点：漏标箭头或原点，混淆"数"与"点"的对应关系（如-3.5的位置） 相反数与绝对值 能快速求任意数的相反数，用绝对值的几何意义比较负数大小 考查"0的相反数是其本身"等特殊情形（易错点）；求含字母的绝对值（如|a-2|的最小值问题）；混淆相反数与倒数（如-3的相反数是3，倒数是-1/3）；忽略绝对值的非负性（如|a|+1的最小值是1，非0） 有理数大小比较 掌握三法：数轴法（左小右大）、绝对值法（负数的绝对值越大越小）、作差法 高频出现在选择题，易错点：比较"-3/4与-2/3"时误判分母大小关系 加减运算符号法则 能正确处理双重符号（如-(-5)=5），运用交换律/结合律简化同号、相反数相加的运算 计算题必考，易错点：去括号时符号漏变（如3-(+5)=3+5）、跳步导致符号丢失 乘除运算符号法则 熟练运用"同号得正，异号得负"，会将连除转化为乘法（如a÷b÷c=a×(1/b)×(1/c)） 常与加减法混合考查，易错点：奇数个负号时的结果符号判断错误 科学记数法 能快速转换大数（如384000→3.84×10⁵），保持有效数字精确度 实际应用题高频考点，易错点：10的指数符号错误 混合运算顺序 严格遵循"先乘除后加减，括号优先"，能使用分配律简化计算 压轴题核心考点，易错点：看到同级运算从左往右算（实际可灵活调整顺序优化计算） 知识点01 有理数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… ·示例：整数5可表示为，分数、直接符合形式，因此都是有理数；无限不循环小数（如π、）不能表示为两个整数之比，不属于有理数。 ·易错点：容易忽视π 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 3.画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 4.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 5.一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 示例：（1）标出-3.5的位置：在原点左侧，介于-3和-4之间。 （2）|a-2|的最小值为0（当a=2时）。 （3）0的相反数和绝对值均为0。 ·易错点：漏画箭头或单位长度标记。混淆"数"与"点"的对应关系（如将-3.5标在-3的位置）；混淆相反数与倒数（如-3的倒数是-1/3，相反数是3）。忽略绝对值的非负性（如认为|a|可能是负数）。 知识点03 有理数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 示例：比较-3/4与-2/3：绝对值3/4 > 2/3 ⇒ -3/4 < -2/3。 易错点：误判负数大小（如认为分母越大数值越大） 知识点4 有理数加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 示例：3-(+5)=3-5=-2（易错：漏变符号得8）。 易错点：去括号时符号漏变（如将-(-5)写成-5） 知识点5 加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 示例：同号结合：(−7)+(−3)+10=−10+10=0；凑整简化：.6+(−3.2)+(−2.8)=5.6+[(−3.2)+(−2.8)]=5.6+(−6)=−0.4相反数抵消：(−4)+3+4=[(−4)+4]+3=0+3=3 易错点：未优先计算相反数导致复杂化（如 (−5)+5+3不先算 (−5+5)）。小数或分数运算时符号错误（如 −2.5+1.8 误算为 −0.7 写成 0.7）。 知识点6 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 示例：5−3=5+(−3)=2；−4−(−2)=−4+2−2（减去负数相当于加正数）；0−6=0+(−6)=−6 易错点：符号错误：如 −3−5 误算为 −3+5=2−（正确应为 −3−5=−8−）。 去括号错误：如 7−(−2) 误算为 7−2=5（正确应为 7+2=9）。 混淆减数和被减数：如 2−5 误算为 5−2=3（正确应为 −3）。 知识点7 有理数乘法法则 1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2任何数同0相乘，都得0。 3多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 示例：（同正得正） ；（同负得正） ；（异号得负） （任何数与0相乘为0） 易错点：符号判断错误：如 误算为 （正确应为 ）；忽略“负负得正”：如 误算为 （正确为 ）；混淆乘法和加法符号规则：如 误认为 。 知识点8 乘法运算定律 1.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 示例：凑整简化： 分配律逆用： 符号与绝对值分离： 易错点：跳步计算导致符号错误（如 直接写 而忽略中间步骤）。 分数运算时约分错误（如 误算为 ）。 知识点9 有理数除法法则 1.除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 易错点：小数点位置错误：如 误算为 （正确为 ）。 符号遗漏：如 误算为 （正确为 ）。 知识点10 有理数乘方法则运算 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：（正数奇次幂）；（负数偶次幂）；（负数奇次幂）；（0的幂） 易错点：符号混淆：如 误算为 （实际为 ，因指数仅作用于2）。 指数与底数关系不清：如 误算为 （偶次幂应为 ）。 忽略括号： 与 结果不同。 知识点11 科学记数法 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：25000→2.5×（小数点左移4位） −6.03×102=−603−6.03×102=−603（还原：小数点右移2位） 易错点：混淆科学记数法的概念 知识点11 科学记数法 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右的顺序进行。 3.如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 示例：计算-3²+2×(-1)²：先算乘方再乘法，最后加法（结果：-9+2=-7）。 易错点：混淆运算顺序 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.定顺序：严格遵循运算顺序： 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号） 2.看符号： 先确定每一步结果的符号，再算绝对值。 乘除法符号规则：同号得正，异号得负。 3.巧简化： 优先计算相反数（如 -a + a = 0）。 凑整（如 -3.5 + 4.5 = 1）。 分配律逆用（如 -3×5 + 3×2 = 3×(-5 + 2) = -9）。 易｜错｜点｜拨 坑点1： 与 的区别（前者仅1的幂，后者整体幂）。 坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。 坑点3：分数减法通分错误（如 通分为 ）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算乘法和除法，再计算加减法即可． （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型二 有理数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：将实际问题转化为数学表达式。 收入/上升/增加 → 正数 支出/下降/减少 → 负数 2.抓关键： 明确基准量（如海平面为0，温度0℃等）。 单位统一（如吨→吨，米→米）。 3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏算某一天的数据（如少加一个）。 坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。 坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算．用甲地现在的地面温度加上高度上升降低的温度即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【详解】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 【变式1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米记为“0”．     第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？ 【答案】(1)这七天平均行驶50千米 (2)李老师家这周的油费是元 【分析】本题考查了正负数的意义和应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：这七天平均行驶50千米． （2）解：（元） 答：李老师家这周的油费是元． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某自行车厂为了赶进度，一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知第二天生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)若每生产一辆车的工资为60元，求该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)198辆 (2)26辆 (3)元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、正负数的应用，正确列出运算式子，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将表格中第二天数字与200相加即可得答案； （2）利用表格中的最大数减去最小数即可得答案； （3）将表格中的数字相加，再加上1400，然后乘以60即可得答案． 【详解】（1）解：辆， 答：第二天生产198辆； （2）解：辆， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆， （3）解：解： 元， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 题型三 数轴与绝对值综合题 解｜题｜技｜巧 1.画数轴：标出关键点（如原点、正负数）。 2.绝对值几何意义： 表示数轴上与的距离。 表示到原点的距离。 3.分类讨论： 遇到，需考虑 或 。 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略绝对值非负性（认为有解）。 坑点2：未分类讨论（如漏掉）。 【典例1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的意义，掌握数轴上的点从左到右，从小到大的性质是解题的关键．根据数轴判断直接的大小关系，再结合绝对值的意义逐个分析即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【典例2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作． 如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题： (1)______； (2)若点C在数轴上，且，则点C表示的数为______； (3)若D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． 【答案】(1)4 (2)2 (3)3或11． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴，则， 故答案为：4； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：2； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 【变式1】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 题型四 新定义问题 解｜题｜技｜巧 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 【典例1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2025． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则. 将新定义的运算按定义的规律转化为有理数的混合运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·陕西西安·一模）在日常生活中，若收入500元记作元，则支出280元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若收入500元记作元，则支出280元应记作元． 故选：C． 2．（2024·青海·中考真题）的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）2023年湖南省政府工作报告中指出，要强力推进湘商回归．持续开展“迎老乡、回故乡、建家乡活动，大力推进产业回归、资本回流、项目回投、人才回聚、总部回建，力争湘商回归新注册企业达1000家，项目投资4800亿元．4800亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此求解即可． 【详解】解：4800亿； 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，0，， (1)整数：______________________； (2)负分数：____________________； (3)非负整数：________________． 【答案】(1)，，0 (2)， (3)，0 【分析】本题考查了有理数和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据整数的定义进行解答即可； （2）根据负分数的定义进行解答即可； （3）根据非负分数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：整数：，，0； （2）负分数：，； （3）非负整数：，0． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”符号将它们连接起来． ，，，，， 【答案】，见解析 【分析】先化简，再在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴数轴表示如下： 故． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，绝对值，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 8．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，然后根据交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）先算乘方和去绝对值，然后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 2．如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，分类讨论是解题的关键．根据题意利用分类讨论的数学思想进行解决即可． 【详解】解：，且， 故， 则， 当时， 解得， 若，则，舍去； 当时， 则为非负数， ，满足要求． ． 故选B． 3．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键； 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解； 【详解】解：A、纽约与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为：年元月日， 时间表示正确，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为巴黎是年元月日， 时间表示错误，符合题意； C、东京与北京的时差为， ， 故东京此时时间为年元月日， 时间表示正确，不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是年元月日， 时间表示正确，不符合题意； 故选：B 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得分裂中的第一个数是，据此解答即可求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， ， ∴分裂中的第一个数是， ∴分裂中的第一个数是， ∴“分裂”出的奇数中，最大的奇数为， 故选：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数的性质，根据的变化规律，把原式中各分数转化为两分数之差的形式，然后利用互为相反数的两个数之和为零化简即可求解，找出式子的变化规律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键．根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10． 故答案为：或6． 7．（24-25七年级上·北京门头沟·期中）如图为北京市地铁号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，． (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)请直接写出济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ 【答案】(1)西单站 (2)大望路站 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可求解； （）分别计算前个、前个、前个、、前个数的和，根据结果即可求解； 本题考查了正数与负数的意义，有理数加法的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：站是西单站； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴济嘉同学本次志愿活动向东最远到大望路站． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若，则，故①正确，不符合题意； ②若， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； ，故②错误，符合题意； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则或或14，故③错误，符合题意； ④若代数式的值与无关， 则 ，故④正确，不符合题意； ⑤，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑤错误，符合题意； 故选：C． 2．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【详解】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 4．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 5．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”． (1)填空： ①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）； ②最小的四位“亚运数”是______________． (2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”． (3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：， 例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值． 【答案】(1)①②1022 (2)2226或3066 (3) 【分析】（1）①根据新定义运算法则即可；②由于千位不能为0，千位最小只能取1，百位最小取0，根据题意得出：十位千位百位，个位千位百位，所以最小的四位依赖数是1022； （2）依据题意列出代数式，然后表示为7的倍数加2的形式进行综合分析； （3）由（2）得，所有“冠军数”为2226或3066，故从所有“冠军数”分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①， 故是“亚运数”， 故答案为：； ②由题意可知千位是1，百位是0， 十位，个位， 最小的四位依赖数是1022． 故答案为：1022 （2）解：设千位数字是，百位数字是，且，， 则十位数字是，个位数字是， 四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3， ，为非负整数）， 化简得， ， ， ，，为小于10正整数，为非负整数，为的正整数，， 符合条件的，只有两组，或，， 所有“冠军数”为2226或3066． （3）解：所有“冠军数”为2226或3066， 2226的最小分解，， 3066的最小分解，， ， 故求所有“冠军数”的的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)7，31，1， 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、两点之间的距离等知识点，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可解答； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）根据题意分点P在点M左边，点P在点M、N之间靠近点M，点P在点M、N之间靠近点N，点P在点N的右边四种情况，分别根据绝对值的意义以及题意求解即可． 【详解】（1）解：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ∴点B表示的数为． （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：①6或10；②20． （3）解：设点P表示的数为x， ①当点P在点M左边时，有， 即，解得：或（舍去）； ②当点P在点M、N之间靠近点M时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点M，N之间靠近点N时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点N的右边时，有， 即，解得：或（舍去）． 综上所述，点P表示的数为或1或7或31． 1 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