2.3.3 点到直线的距离公式（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 会用向量工具推导点到直线的距离公式． 掌握点到直线的距离公式（重点）,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.（难点） 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.（难点） 2 3 情景导入 01 2.3.3 点到直线的距离公式 创设背景，引入新知 这就是今天我们要学习的内容 —— 点到直线的距离公式 把军营看作点P和河流岸边看作直线，如何求点P到河岸直线的最短距离呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们计算得到这个距离？ 建模 前将军关羽想把自己的爱马从军营牵到河边去洗澡，请同学们帮关羽设计一下： 在理论上， 如何设计路线才能使马跑的路径最短，如何计算这个最短距离？ 02 新课探究 2.3.3点到直线的距离公式 探究新知 回顾 在初中，“点到直线的距离”定义是什么？ 定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 如右图，点 P 到直线 l 的距离是垂线段PQ. 探究 设想：是否可以把点Q坐标求出来，然后利用两点间距离公式就可求出PQ的长度 思考 如何求点Q的坐标呢？ 求两直线相交的交点坐标 探究新知 解 析 实 践 探究新知 一般化 探究新知 一般化 探究新知 思考 分 析 上述方法运算量大，是否有简化运算的方法? 探究新知 解 析 探究新知 探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离? 分 析 探究新知 解 析 第一步：求直线法向量的单位向量 第二步：计算 探究新知 解 析 第二步：代替数量积中的 探究新知 公式 验证 探究新知 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点 间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向 量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法， 你还有其他推导方法吗? 柯西不等式法 回顾 在必修第二册《平面向量及其应用》中习题6.3的第16题中： 探究新知 法三 牛刀小试 解 析 解 析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 03 应用新知 2.3.3点到直线的距离公式 思考：直线 l 有什么特点? 请画图找到更简便解法? 应用新知 分析 例 5： 解析 一条垂直于 x 轴的直线： 类比 应用新知 总结 如何应用点到直线的距离公式，求点到直线的距离？ 第 1 步 确认点的坐标，和将直线方程化为一般式 第 2 步 将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入公式计算距离即可 将直线方程化为一般式方程是非常关键的，不会那么容易出错！ 特别地 点到直线的距离和到直线的距离 、 应用新知 例 2： 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． 解 析 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 应用新知 跟踪练习： 解 析 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边BC的长和边BC上的高即可． 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 重点题型 04 2.3.3点到直线的距离公式 重点题型专练 题型一 利用点到直线距离公式求距离 例题 解 析 直线方程化为一般式是关键 重点题型专练 总结 利用点到直线的距离公式求距离的方法 第 2 步 将直线方程化为一般式方程，确认的值 第 3 步 将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入点到直线的距离公式，即可计算得所求距离 第 1 步 确认点的坐标，若未已知，则先求点坐标 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题 解 析 根据题意列方程 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 根据题意建立不等式 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 根据题意列方程 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 巧设点的坐标 重点题型专练 总结 根据点到直线的距离公式求参数值（范围）的方法 第 1 步 确定点的坐标和直线方程：坐标或方程中可能含参 第 2 步 利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式） 第 3 步 解方程（不等式）即可得到参数的值（范围） 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外一定点和直线上的动点，求两点距离最小值等价于 定点到直线的距离 例题 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外含一个参的动点到直线的最小距离，利用点到直线 距离公式表示含有参数的式子，然后利用函数的观点求最值. 例题 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外一个定点到过某一定点的动直线的最大距离：最大 距离等于两定点的距离. 例题 真题感知 05 2.3.3点到直线的距离公式 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 06 2.3.3点到直线的距离公式 课堂笔记 3、点到直线的距离和到直线的距离 __________、 2、推导点到直线的距离公式的三种方法：_______、_______、______________. 07 小结及课后作业 2.3.3点到直线的距离公式 课堂小结 作业布置 作业1：完成教材：第77页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《点到直线的距离公式》.  06 作业布置与 课后练习答案 2.3.3点到直线的距离公式 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：点到直线的距离是 ． 由题意点到直线的距离是. 故答案为： 练2：点到直线的距离为 . 直线即， 点到直线的距离为. 练3：已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为 . 将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 练4：（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（     ） A．0 B． C．3 D．2 依题意，即,解得或. 故选：AB. 练5：已知点，点在直线上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 由题意，的最小值是点到直线的距离， 即. 故选：A. （1）点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值 因为点 到直线 的距离为 ， 所以 ，解得 或 . 点 到直线 的距离大于3， 则实数a的取值范围为　(　　 ) A．a>7 B．a<-3 C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7 根据题意，得 >3，解得a >7或a <-3. (多选题)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0 的距离相等，则实数a的值等于(　　) A． B． C． D． 因为 和 到直线 的距离相等，由点 和点 到直线的距离公式， 可得： 化简得 ， , 解得 或 ，故选BC. 若点 在直线 上，且 到直线 的距离为 ，则点 的坐标为_____________________. 点 在直线 上，设 ， 到直线 的距离为 ， ， 解得：a=1或a=2，点 的坐标为 或 . 已知 ，若点P是直线 上的任意一点， 则 的最小值等于（     ） A． B． C． D． 过点M作 交l于点N，则有 ， 因此 的最小值就是点M到直线 的距离， 即 ．故选：C 设直线l： 与直线 平行， 则点 到l的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 由两直线平行，∴ ,∴直线 , ∴ 到l的距离的 , 当 时取到最小值 , 故选： 设已知定点 和直线 ： ， 则点 到直线 的距离 的最大值为（    ） A． B． C． D． 直线 ，整理得 ， 故点 到直线 的距离的最大值为 ，故选：C 由 ，解得 ，故直线过定点 1．（24-25高二上·新疆喀什·期末） 点到直线的距离为（     ） A． B．2 C． D．1 由题点到直线的距离为.故选：D. 2．（24-25高二上·湖南·期末） 已知，两点到直线的距离相等，则 . 依题意，，所以或. 故答案为：0或 3．（24-25高二上·四川达州·期末） 已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高二上·湖南益阳·期末）（多选）已知直线，则（     ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故A正确； B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； C：原点到的距离为，故选项C正确； D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末） 已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（     ） A． B． C． D． 易知直线的斜率为，又过点，所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离，故选：C $