2.3.4 两条平行直线间的距离（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条平行直线间的距离，通过铁轨轨距实例导入，以点到直线距离公式为基础推导平行直线距离公式，知识梳理明确公式使用条件，例题和训练题搭建从直接计算到参数求解的应用支架。 其亮点在于情境导入培养数学眼光观察现实世界，推导过程强化逻辑推理与数学运算，例题涵盖不同直线形式及参数问题，拓展点结合几何图形分析最值发展数学思维。课堂小结梳理易错点，助力学生系统掌握，教师使用可提升教学效率与学生应用能力。

2.3.4　两条平行直线间的距离 1 1. 经历用点到直线的距离公式推导两条平行直线间距离的过程（逻辑推理、数学运算）. 2. 掌握平行直线间的距离公式，能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情境导入 在火车出现之前，铁轨就已经存在了，当时人们利用马车将煤用铁轨 运出，所以铁轨的轨距，就是马车的车轮距.中国高速铁路的铁轨宽度通 常为1 435毫米，是现在大部分普快、货运铁路的标准轨道宽度.本节课我 们就来研究两条平行直线间的距离. 知识点一　两条平行直线间的距离公式 01 知识点二　平行线间距离公式的简单应用 02 提能点　平行线间距离的最值问题 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 两条平行直线间的距离公式 目 录 问题　（1）已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上 取任一点P（x0，y0），点P（x0，y0）到直线l2的距离就 是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离 就转化为求点到直线的距离. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如果给出两条平行直线的方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By ＋C2＝0.试用点线距离的求法求平行直线间的距离并作进一步化简. 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P（x0，y0），点P（x0，y0） 到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝ ，因为点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以 Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 ⁠ 的长. 2. 公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A， B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝ ⁠. 　　提醒：使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一 般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同. 公垂线 段　 　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】分别求下列两条平行线间的距离： （1）l1：3x－4y＝1，l2：3x－4y＝－4； 解：由l1：3x－4y－1＝0，l2：3x－4y＋4＝0，利用平行直线间的距离公 式，得d＝ ＝1. （2）l1：y＝2x－3，l2：y＝2x＋5； 解：由l1：2x－y－3＝0，l2：2x－y＋5＝0，利用平行直线间的距离公 式，得d＝ ＝ . （3）l1：y＝2 025，l2：y＝－1. 解：由l1：y＝2 025，l2：y＝－1，得两条平行直线间的距离为2 026. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求两条平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一 个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对 应相等. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行， 则它们之间的距离是（　C　） A. 2 B. 4 C. D. 2 解析：由直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，得m× （－1）－1×1＝0，解得m＝－1.所以直线l1：x－y＋3＝0与直线l2：x －y＋1＝0之间的距离为d＝ ＝ ＝ . C 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离 为 ⁠. 解析：将l1：3x－2y－5＝0化成6x－4y－10＝0，所以l1：6x－4y－10＝ 0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为d＝ ＝ ＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 平行线间距离公式的简单应用 目 录 【例2】（1）（2025·云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5＝0与2x＋4y ＋m＝0间的距离为 ，则m＝（　B　） A. 0或－10 B. 0或－20 C. 15或－25 D. 0 解析：∵2x＋4y＋m＝0可化为x＋2y＋ ＝0，∴两平行直线间的距离为 ＝ ＝ ，解得m＝0或m＝－20. B 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）与直线2x＋y－1＝0的距离等于 的直线方程为（　C　） A. 2x＋y＝0 B. 2x＋y－2＝0 C. 2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D. 2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 C 解析：设与直线2x＋y－1＝0的距离等于 的直线方程为2x＋y＋m＝ 0，依题意，得 ＝ ，解得m＝0或m＝－2.∴与直线2x＋y－1＝ 0的距离等于 的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解. 2. 巧用平行直线系设方程，利用平行直线之间的距离公式求参数. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）已知直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距 离相等，则直线l的方程是（　D　） A. 3x－y＋2＝0 B. 3x－y－2＝0 C. 3x－y－3＝0 D. 3x－y＋1＝0 解析：设直线l的方程为3x－y＋c＝0.因为直线l与直线l1：3x－y＋3＝0 和l2：3x－y－1＝0的距离相等，所以 ＝ ，解得c＝1，所 以直线l的方程为3x－y＋1＝0. D 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的 方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积 为 ⁠. 解析：由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形 ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝ ＝2 ，所以梯形 ABCD的面积为 （｜AB｜＋｜CD｜）·d＝ ×（3＋6）×2 ＝9 . 9 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 平行线间距离的最值问题 目 录 【例3】两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且 各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： （1）d的变化范围； 解：如图，显然有0＜d≤｜AB｜. 而｜AB｜＝ ＝3 . 故d的变化范围为（0，3 ]. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 解：由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而kAB＝ ＝ ， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3）， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法 （1）重要结论：平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距 离的最小值； （2）数形结合：解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题，通常利 用图形帮助解决问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一 点，则｜PQ｜的最小值为 ⁠； 解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最 小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝ ＝ ＝3. 3 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于 ， 则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：直线2x＋y－3＝0可化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝ ≤ ，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范 围为[－16，4]. [－16，4] 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 平行于x轴且与x轴的距离为1的直线方程为（　　） A. x＝1 B. x＝－1 C. y＝1 D. y＝±1 解析：平行于x轴且与x轴的距离为1的直线方程为y＝±1. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 若直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，则两条平行线 间的距离为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 解析：　由直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，则a2－ 1＝0，解得a＝±1，当a＝－1时，直线l1：x－y＋1＝0与直线l2：x－y ＋1＝0重合，故舍去.当a＝1时，直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋y＋ 1＝0平行，故两条平行线间的距离d＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为 ，则mn＝ ⁠. 解析：易知m＝2，由 ＝ ＝ ，得n＝5（－5舍去）， 故mn＝2×5＝10. 10 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可 围成正方形的直线方程. 解：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝ ＝ . 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x＋y＋c＝0，则 ＝ ， 解得c＝0或－10， 所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）两条平行直线间的距离公式； （2）平行线间距离公式的简单应用； （3）平行线间距离的最值问题. 2.应体会 应用两平行直线间的距离公式解决问题时，要注意数形结合思想、分类 讨论思想的应用. 3.避易错 （1）利用平行线间的距离公式计算距离一定将直线方程化为一般式，且 x，y的系数分别对应相等； （2）由两平行直线距离求方程时，要注意斜率不存在的情形. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 直线 － ＝1与y＝ x＋1之间的距离为（　　） A. B. C. D. 24 解析：　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，两直线平行， 则两直线间的距离d＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. （2025·温州月考）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距 离为d，则（　　） A. a＝6，d＝ B. a＝－6，d＝ C. a＝－6，d＝ D. a＝6，d＝ 解析：　根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得 ＝ ≠ .可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故 它们间的距离d＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（－1，2），若两平行直线 l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 解析：　当l1，l2垂直AB时，l1，l2间的距离取最大值，即最大值为｜ AB｜＝ ＝2 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知点A（1，0），B（3，1），C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点， 则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：因为直线AB的方程为 ＝ ，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝ ＝ .又因为｜AB｜＝ ＝ ，所以S△ABC＝ ｜AB｜×d＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别是 ， － ，则满足条件的直线l的条数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　如图，由于 ＞ － ，所以满足题意的 直线l在线段AB两侧各有1条，又因为｜AB｜＝ ，所 以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故 共3条. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到 直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A. 2x＋3y－8＝0 B. 4x＋6y＋5＝0 C. 6x＋9y－10＝0 D. 12x＋18y－13＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直 线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝ ，d2＝ .因为 ＝ ，所以 ＝ ，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝ 5或m＝－ ，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕设两条直线的方程分别为x＋ y＋a＝0，x＋ y＋b＝0， 已知a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤ ，则下列关于这 两条直线之间的距离d的说法，正确的是（　　） A. d的最大值为2 B. d的最大值为1 C. d的最小值为 D. d的最小值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：因为a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－2，ab＝c，又因为0≤c≤ ，所以｜a－b｜＝ ＝ ∈[，2]，所以两条平行直线之间的距离d＝ ＝ ∈［ ，1］.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所 截得的线段为AB，则AB的长为 ⁠. 解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公 式，得｜AB｜＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2： 2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为 ⁠. 解析：由题意知，AB的中点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相 等的直线l，故其方程为2x＋y－6＝0，可得AB的中点到原点的距离的最 小值为d＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A， 在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. （1）求直线l1与l2之间的距离； 解：易知直线l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求直线l3的方程. 解：由l3与l2平行可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0（－8＜C＜18）. 由（1）知l3与l1之间的距离为 ， 所以有 ＝ ，解得C＝5或C＝31（舍去），所以直线l3的方程 为2x＋3y＋5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知两点A（1，6 ），B（0，5 ）到直线l的距离均等于a，若 这样的直线可作4条，则a的取值范围是（　　） A. a≥1 B. 0＜a＜1 C. 0＜a≤1 D. 0＜a＜2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　如图所示，若A，B在直线的同一侧，可作2条直线，因为这样的直线有4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有2条直线，经过AB的中点，且与AB不垂直，所以2a＜｜AB｜，因为｜AB｜＝ ＝2，所以0＜2a＜2，所以0＜a＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5 ＝0所截得的线段长为 ，则直线m的倾斜角等于（　　） A. 45° B. 135° C. 105° D. 165° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　如图，作与平行线垂直的直线n，由于两 条平行线的倾斜角为45°，故直线n的倾斜角为 135°，由于两条平行线间的距离为d＝ ＝ ，直线m被平行线截得线段的长为 ，且 sin60°＝ ＝ ，可得直线m和两平行线的夹角为60°，所以直线m的倾斜角为105°或165°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 设m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－ 2m＋ ＝0过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则 △PAB周长的最大值为 ⁠. 解析：直线l1：x＋my－1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx－y－2m＋ ＝0即m（x－2）＝y－ ，可得过定点B（2， ），由于1·m＋ m·（－1）＝0，得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，∴PA⊥PB， ∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝4.由a2＋b2≥2ab，可得2（a2＋b2） ≥（a＋b）2，那么2（｜PA｜2＋｜PB｜2）≥（｜PA｜＋｜PB｜）2， 即有｜PA｜＋｜PB｜≤2 ，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝ 时，上式 取得等号，∴△PAB周长的最大值为2＋2 . 2 ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. （2025·丽水月考）已知直线l1经过点P（0，1），直线l2经过点Q （5，0），且l1∥l2. （1）求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程； 解：连接PQ（图略），则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大. 因为直线PQ的斜率为 ＝－ ，所以此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2 之间的最大距离为 ＝ ，直线l1的方程为y＝ 5x＋1， 即5x－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝5（x－5），即5x－y－25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程. 解：①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0.由题意得 ＝5，解得k＝ ，所以直线l1的方程为y＝ x＋1，即12x －5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝ （x－5），即12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝ 0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0（a＞0），l2：－4x＋2y＋1＝0， l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离是 . （1）求a的值； 解：l2可化为2x－y－ ＝0， ∴l1与l2之间的距离d＝ ＝ ， ∴｜a－（－ ）｜＝ .∵a＞0， ∴a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限 的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；③P点到l1的距离与P点 到l3的距离之比是 ∶ ？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的 直线l'：2x－y＋C＝0上，且 ＝ × ，即C＝ 或C＝ . ∴2x0－y0＋ ＝0或2x0－y0＋ ＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 ＝ · ， 即｜2x0－y0＋3｜＝｜x0＋y0－1｜. ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合题意，舍去. 由 解得 不合题意，舍去. 由 解得 即点P（ ， ）同时满足三个条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 55 THANKS 演示完毕 感谢观看 $