函数导数难点1.含参讨论讲义——2026届高三数学一轮复习

函导难点 1.含参讨论因式分解 崔北祥 函导难点 1.含参讨论 导数是研究函数图像和性质的重要工具，而函数导数问题的讨论又是历年高考命题的热点.解决这类问题时，何时讨论、怎样讨论是难点. 求导之后主导函数能因式分解，通过讨论再利用符号法则可以确定符号，解决问题. 一、典例分类 （一）一次型 例1 已知函数．讨论的单调性. 【解析】的定义域为 ①若，，∴单调增加. ②若且当，，当时， ∴在单调增加，在单调减少. 变式：已知函数，，求函数的单调区间. 【解析】①当时，在内单调递增； ②当时，在内单调递增，在内单调递减. （二）类一次型 例2（2015年安徽理21（1））设函数.讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【解析】，， 因为，所以. ①当时，函数在上单调递增，无极值； ②当时，函数在上单调递减，无极值； ③对于，在内存在唯一的使得． 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 因此，时，函数在处有极小值． 处理比较大小型讨论的三个步骤： ①确定的范围；比如本题中的范围 ②按照参数在内外；比如本题和， ③写出结果并总结. 变式：（2017全国乙理21）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）略. 【解析】（1）∵ ∴ ①当时，，∴，单调递减； ②当时，令，则， ∴时，，单调递减， 时，，单调递增 （三）二次型 例3 已知函数．求的单调区间． 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在，上递增，在上递增； 当时，，函数在上单调递增，在上递减； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减。 综上，①当时，函数在上单调递增，在单调递减； ②当时，函数在上单调递增，在上递减； ③当时，函数在上单调递增； ④当时，函数在上递增，在上递减. 附：的符号讨论一般分四个级别，每级别中最多出现三个类别.比如：含参函数的单调性求解 一级：最高次项系数如果含参数，分“”三种情况依次讨论该系数.（不含参就直接略过）“”时，求出参数的值，代回，写出不含参数的的最简洁、直观的形式；“”或“”时，把最高次项系数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来； 二级：接一级，判断方程是否有根，即.如果方程没有任何实根，说明或恒成立，恒定单增或单减，直接写结论；如果方程有实根，全部求出来，写明“ ”，“ ”然后进入级别三； 三级：接二级，判断得出的根是否在定义域内 ①定义域内没有根，写出，肯定有或，说明函数在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；②定义域内有且只有一个根，对这个唯一的根进行列表，判断单调递增区间和单调递减区间；③定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入四级； 四级：接三级，在三级中确定二次函数型在定义域内有两根的情况下，讨论两根大小（）. 变式（2013年高考19）设，求函数的单调区间. 【解析】. 令. ①当时， 在内单调递增. ②当时， 令，则 在，内单调递增， 在单调递减 （四）类二次型 例4（2017年山东卷文20）已知函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 【解析】 ①当时，在上增，上减. ， ②当时，在上增，无极值 ③当时，在上增，上减. ， 变式：已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）略（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【解析】（1）略.（2）由题意得， 因为 ，令则，∴在上单调递增. 所以 当时，单调递减，当时， 当时，，时，，单调递减，时，， 单调递增，∴当时， 当时，,由 得 ， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 当时取得极大值. 极大值为， 当时取到极小值，极小值是 ； 当时，，所以 当时，， 函数在上单调递增，无极值 ③当时，，故当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴当时， 当时， 综上所述： ①当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是； ②当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是； ③当时，函数在上单调递增，无极值； ④当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是； 极小值是. 二、练习强化 1.讨论的单调性 【分析】,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论. ①在上是增函数,在上是减函数； ②,在上是增函数； ③, 在上是增函数,在上是减函数. 2.讨论的单调性 【分析】,根的情况转化为在上根的情况. 步骤一：讨论(根不在定义域内). 步骤二：讨论(根据的大小再分) ①,在上是增函数； ②在上是增函数,在上是减函数； ③,在上是增函数； ④, 在上是增函数,在上是减函数. 3.讨论的单调性 【分析】,根的情况转化为根的情况. 步骤一：讨论(有1个根). 步骤二：讨论(不在定义域内) 步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分) ①,在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并) ②在上是增函数,在上是减函数； ③,在上是增函数； ④, 在上是增函数,在上是减函数. 4.已知函数,讨论的单调性. 【解析】由函数的解析式可得：, ①当时,若,则单调递减,若,则单调递增； ②当时,若,则单调递增, 若,则单调递减,若,则单调递增； ③当时,在上单调递增； ④当时,若,则单调递增,若, 则单调递减,若,则单调递增； 5.讨论函数的单调性. 【解析】 当时 ，在上单调递增，在上单调递减 当时， 若则，在上单调递增 若则，在，上单调递增，在上单调递减 若则，在，上单调递增，在上单调递减 综上：①当时，增区间为，减区间为 ②当时增区间为 ③当时，的单调增区间为，，单调减区间为 ④当时，的单调增区间为，，单调减区间为 学而不知道 与不学同 第13页 共13页 知而不能行 与不知同 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导难点 1.含参讨论因式分解 崔北祥 函导难点 1.含参讨论 导数是研究函数图像和性质的重要工具，而函数导数问题的讨论又是历年高考命题的热点.解决这类问题时，何时讨论、怎样讨论是难点. 求导之后主导函数能因式分解，通过讨论再利用符号法则可以确定符号，解决问题. 一、典例分类 （一）一次型 例1 已知函数．讨论的单调性. 变式：已知函数，，求函数的单调区间. （二）类一次型 例2（2015年安徽理21（1））设函数.讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 处理比较大小型讨论的三个步骤： ①确定的范围；比如本题中的范围 ②按照参数在内外；比如本题和， ③写出结果并总结. 变式：（2017全国乙理21）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）略. （三）二次型 例3 已知函数．求的单调区间． 附：的符号讨论一般分四个级别，每级别中最多出现三个类别.比如：含参函数的单调性求解 一级：最高次项系数如果含参数，分“”三种情况依次讨论该系数.（不含参就直接略过）“”时，求出参数的值，代回，写出不含参数的的最简洁、直观的形式；“”或“”时，把最高次项系数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来； 二级：接一级，判断方程是否有根，即.如果方程没有任何实根，说明或恒成立，恒定单增或单减，直接写结论；如果方程有实根，全部求出来，写明“ ”，“ ”然后进入级别三； 三级：接二级，判断得出的根是否在定义域内 ①定义域内没有根，写出，肯定有或，说明函数在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；②定义域内有且只有一个根，对这个唯一的根进行列表，判断单调递增区间和单调递减区间；③定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入四级； 四级：接三级，在三级中确定二次函数型在定义域内有两根的情况下，讨论两根大小（）. 变式（2013年高考19）设，求函数的单调区间. （四）类二次型 例4（2017年山东卷文20）已知函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 变式：已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）略（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 二、练习强化 1.讨论的单调性 2.讨论的单调性 3.讨论的单调性 4.已知函数,讨论的单调性. 5.讨论函数的单调性. 学而不知道 与不学同 第13页 共13页 知而不能行 与不知同 学科网（北京）股份有限公司 $