4.1.1 n次方根与分数指数幂（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 4 章 4.1.1 n次方根与分数指数幂 人教A版2019必修第一册 4.1.1　n次方根与分数指数幂 学习目标 1.理解n次方根、根式的概念. 2.能正确运用根式的运算性质化简、求值．(重点) 3.会对分式和分数指数幂进行转化．(重点) 4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(难点) 目录 CATALOG 01.分数指数幂 03.题型强化训练 02.有理数指数幂的运算性质 04.小结及随堂练习 01 分数指数幂 4.1.1　n次方根与分数指数幂 导入新知：面团发酵的“体积翻倍”时间计算 面包店师傅制作面包时，需要先将面团发酵。 已知面团初始体积为1立方分米，发酵过程中，体积每小时会变为原来的倍（≈1.414）。 师傅想知道： 1. 2小时后面团体积是多少？ 2.若想让面团体积达到4立方分米，需要发酵几小时？ 导入新知：正方形地砖的“边长设计”需求 装修工人给客厅铺正方形地砖，有两个关键需求： 1. 第一个区域需要地砖面积为9平方分米，工人很快确定边长为3分米——因为3²=9，这是我们学过的平方根； 2. 第二个区域需要地砖面积为5平方分米，工人拿出尺子却犯了难：“边长既不是整数，也不能用普通分数表示，只能记成分米，但如果客户要求把边长写成‘5的几次方’的形式 （比如面积9平方分米时，边长3分米可看成9^(1/2)分米），这个‘几次方’该怎么确定？” 导入新知 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑.考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留测定，古城存在时期为公元前3300年——前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？ 实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将要学的指数函数.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 导入新知 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂． 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂. 学习新知 初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究. 叫做的平方根.例如，就是4的平方根. 叫做的立方根.例如，就是8的立方根. 叫做16的四次方根.例如，2叫做32的五次方根. 学习新知 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. 例如，，. 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成. 例如，，， 学习新知 任何数连续偶数次相乘后，一定会得正数或0，因此，负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 根据次方根的意义，可得： 例如， 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 应用新知 让我们认识一下这个式子: 根指数 被开方数 根式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 学习新知 例如， 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根式的化简求值 应用新知 应用新知 学习新知 这就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除吋，根式可以表示为分数指数幂的形式． 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？ 学习新知 学习新知 数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容． 这里，略去了规定合理性的说明. 学习新知 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定， 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 分数指数幂与根式的互化 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 分数指数幂与根式的互化 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 指数幂的运算、根式的化简求值 总结新知 根式 分数指数幂 ①规定正数的正分数指数幂： ②规定正数的负分数指数幂： ③0的正分数指数幂为0; 0的负分数指数幂无意义. 三、分数指数幂 02 有理数指数幂的 运算性质 4.1.1　n次方根与分数指数幂 应用新知 应用新知 应用新知 根式化简与求值的思路及注意点： (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 进行化简． (2)注意点： ①正确区分“ ”与“ ”两式；（注意分析 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． 总结新知 ①规定正数的正分数指数幂： ②规定正数的负分数指数幂： ③0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂无意义. (4)分数指数幂不可随意约分； (5)有理数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈Q)： ①ar·as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·br(b>0) ④ar÷as=ar－s 整数指数幂 分数指数幂 有理数指数幂 应用新知 应用新知 学习新知 学习新知 应用新知 利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序； （2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算； （3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 总结新知 (n为奇数) (当n是偶数，且a＞0) 0的任何次方根都是0，记作 ． 根式: 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． n次方根定义: 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 总结新知 正数的正分数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义． 指数运算性质： 总结新知 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂： 指数运算 03 题型强化训练 4.1.1　n次方根与分数指数幂 能力提升 题型一 根式的化简与求值 【感悟提升】根式化简与求值的注意点 (1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简与求值． (2)在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围． (3)运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用． (4)注意分类讨论思想的应用． 能力提升 题型二：根式与分数指数幂的互化 能力提升 题型三：有理数指数幂的运算 【感悟提升】　指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 能力提升 题型三：有理数指数幂的运算 方法技巧： 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程. 04 小结及随堂练习 4.1.1　n次方根与分数指数幂 课堂小结1 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)根式的性质. (3)根式与分数指数幂的互化. 2.常见误区： (1)根式中根指数要求n>1且n∈N*. (2)对于 ，当n为偶数时，a≥0. 课堂小结2 课堂小结 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号：根式 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. ①当n为偶数，且a≥0时， 为非负实数； ②当n为奇数时， 的符号与a的符号一致. 根式与分数指数幂的互化 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子. (2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 课堂小结1 整数指数幂 分数指数幂 正数 负数 0 无理数指数幂 实数指数幂ax(a>0) 实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)： ①ar·as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·br(b>0) ④ar÷as=ar－s 类比推广：实数指数幂 作业 1.P107 练习1.2.3题； 2.P109 练习1题&习题第1、2、4、5题 4.1.1　n次方根与分数指数幂 练习（第107页） 练习（第107页） 练习（第107页） 练习（第107页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】若 有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】由 有意义， 得 ，解得 ， 所以a的取值范围是 . 故选：B 【练习2】若 ，则化简 得（    ） A． B． C． D． 【解析】由于 ， 所以 . 故选：A. 【练习3】（多选题）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【解析】负数的3次方根是一个负数， ，故A错误； 16的4次方根有两个，为 ，故B正确； ，故C错误； 是非负数，所以 ，故D正确． 故选：BD. 【练习4】给出下列4个等式：① ；② ；③若a∈R，则 ； ④设n∈N*，则 ，其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①中 ，所以①错误；②错误； ③因为 恒成立，所以 有意义且恒等于1，所以③正确； ④若n为奇数，则 ，若n为偶数，则 ， 所以当n为偶数时， 时不成立，所以④错误． 故选：B． 【练习5】 （    ） A． B． C． D．当 为奇数时， ；当 为偶数时， 【解析】当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 故选：D 【练习6】若 ， ，给出下列式子：① ；② ；③ ；④ ． 其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当 时， ，此时④无意义．因为 ，所以 恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以 恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 【练习7】化简 （    ） A． B． C．2 D． 【解析】 ， 故选：D． 【变式1】已知－3<x<3，求eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)的值． 【解析】 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x<1，,－4，1≤x<3.)) 【练习8】 的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．a 【解析】依题意 . 故选：A 【练习9】将 化为分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【解析】原式 . 故选：A. 【练习10】下列各式正确的是 A． B． C． D． 【解析】 ， 错误； ，      ， 错误； 当 时， 无意义， 错误；      ， 正确 本题正确选项： 【变式2】求值： (1) ； (2) (x，y>0)． 【解析】(1)原式＝ ＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(1,2). (2)原式＝ ＝x2y. 【变式3】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)eq \r(a\r(a))(a>0)； (2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))； (3) (b>0)． 【解析】(1)原式＝ (2)原式＝ (3)原式＝ 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分子． 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式】计算： . 【解析】原式＝eq \f(5,3)－eq \f(2,3)－1＋2＝2. 【练习1】化简下列各式： (1) ;(3) 【解析】(1)原式= . (2)原式= . (3)原式= . 【练习2】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： ； (3) 【解析】(1)原式= (2)原式 (3)原式= (4)原式= 【感悟提升】根式与分数指数幂互化的依据 (1)熟记根式与分数指数幂的转化式子: 和 , 其中字母a要使式子有意义． （2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条： 一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 【解析】(1)原式= (2)原式= . 【练习3】计算或化简下列各式： （1） ; (2) . 【练习4】 化简下列各式： (2) ;(3) (4) 【解析】(1) . (2) (3) . $