3.2.1单调性与最大（小）值第1课时学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数的单调性 2、 能对简单函数的单调性进行证明 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 函数的单调性 难点 对简单函数的单调性进行证明 新知导入 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律． 因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法． 知识清单 知识点一：函数的单调性 1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为D，区间：如果，，当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是 .如果，，当时，都有，那么就称函数在区间I上 .特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是 . 如果函数在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做的 ． 例题讲解 例题1 根据定义，研究函数 的单调性． 例题2 物理学中的玻意耳定律（ 为正常数）告诉我们，对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积 减小，压强 将增大．试对此用函数的单调性证明． 例题3 根据定义证明函数在区间 上单调递增． 试题练习 1.如图所示，函数的单调递减区间为( ) A. B.和 C. D. 2.函数的单调增区间是( ) A. B. C. D. 3.已知函数，的图像如图所示，则函数的单调递增区间是__________. 4. 根据定义证明函数是增函数. 5.判断函数的单调性，并证明. 课后练习 1.如图所示，函数的单调递减区间为( ) A. B.和 C. D. 2.（多选）如图是定义在区间上的函数的图象，则下列说法正确的有( ) A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递增 C.函数在区间，上单调递减 D.函数在区间上不具有单调性 3. 根据定义证明函数是增函数. 4.证明函数在区间上单调递增. 答案以及解析 知识清单 1. 增函数 单调递减 减函数 单调区间 例题讲解 例题1 根据函数单调性的定义，需要考察当 时， 还是 ．根据实数大小关系的基本事实，只要考察 与 0 的大小关系． 解：函数 的定义域是 ． ，且 ，则 由 ，得 ．所以 ① 当 时， ．于是 即 这时， 是增函数． ② 当 时， ．于是 即 这时， 是减函数． 例题2 解： ，且 ，则. 由 ，得 ； 由 ，得 ． 又 ，于是 即 所以，根据函数单调性的定义，函数， 是减函数． 也就是说，当体积 减小时，压强 将增大． 例题3 ，且 ，有 . 由 ，得 ． 所以 又由 ，得 ． 于是， 即 所以，函数在区间 上单调递增． 课堂练习 1.答案：B 解析：由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B. 2.答案：C 解析：，故单调增区间是. 故选：C. 3.答案： 解析：由图象可知函数的单调递增区间是与. 答案：与 4.答案：证明见解析 解析：证明：，且， 则. ，，，即. 函数在R上是增函数. 5.答案：这个函数是增函数，证明见解析 解析：这个函数是增函数，证明如下：函数的定义域为. 任取且，则，， 又. 所以这个函数是增函数. 课后练习 1.由函数图象可知函数在和上单调递减，在上单调递增，故选B. 2.结合题中图象可知A，C，D均正确. 3.，且， 则. ，，，即. 函数在R上是增函数. 4.，且，则. ，.又，. ，即. 函数在区间上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $