3.1.2函数的表示法第2课时学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法（第2课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数的三种表示法 2、 理解分段函数 3、 掌握用恰当的方法表示实际问题中的函数 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 函数的三种表示法 难点 用恰当的方法表示实际问题中的函数 新知识导入 对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示问题中的函数关系． 知识清单 知识点一：函数的表示法 1.函数的表示法 （1）解析法：用 表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出 来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用 表示两个变量之间的对应关系. 知识点二：分段函数 2.分段函数：已知函数，，如果 在不同的取值范围内，函数有着不同的 ，则称这样的函数为分段函数. 例题讲解 例题1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表． 姓名 测试序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析． 例题2 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额 应纳税所得额 税率 速算扣除数①．应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额 综合所得收入额 基本减除费用 专项扣除 专项附加扣除 依法确定的其他扣除②．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元． 税率与速算扣除数见下表 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（％） 速算扣除数 1 ［0，36 000］ 3 0 2 （36 000，144 000］ 10 2520 3 （144 000，300 000］ 20 16 920 4 （300 000，420 000］ 25 31 920 5 （420 000，660 000］ 30 52 920 6 （660 000，960 000］ 35 85 920 7 （960 000，＋） 45 181 920 （1）设全年应纳税所得额为 ，应缴纳个税税额为 ，求 ，并画出图象； （2）小王全年综合所得收入额为117600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 ，，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 课堂练习 1.已知某等腰三角形的周长是4，底边长是x，腰长是y，则y关于x的函数可表示为( ) A. B. C. D. 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( ) A. B. C. D. 3.如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是( ) A. B.C.D. 4.（多选）某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是( ) A.前2年的产品产量增长速度越来越快 B.前2年的产品产量增长速度越来越慢 C.第2年后，这种产品停止生产 D.第2年后，这种产品产量保持不变 课后练习 1.某种商品现在每件定价p元，每月卖n件.根据市场调查显示，定价每上涨x成，卖出的数量将会减少y成，如果涨价后的销售总金额是现在的1.2倍，则用x来表示y的函数关系式为( ). A. B. C. D. 2.某市一天内的气温（单位：）与时刻t（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与t之间的函数关系用下列图像表示，则下列图像最接近的是( ). A.B.C.D. 3.如图，等腰梯形ABCD中，，底边BC的长为，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，设，左边部分的面积为，试写出y与x的函数解析式. 4.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价2元； （2）以上，每增加，票价增加1元（不足的按计算）. 如果某条线路的总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 5.某一时期，一种疫情使全球海运受到极大影响，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸上进行大力改进，改进后单次装箱的成本C（单位：万元）与货物量x（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱的收入S（单位：万元）与货物量x的函数关系式为已知单次装箱的利润L（单位：万元）满足，且当时，. （1）求k的值； （2）当单次装箱货物量为多少吨时，单次装箱的利润最大？最大为多少？ 答案以及解析 知识清单 1.解析式 表格 图象 2.自变量x 对应关系 例题讲解 例题1 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况．如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点） 表示出来，如图，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助． 分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额： 第一步，根据②计算出应纳税所得额 ； 第二步，由 的值并根据表得出相应的税率与速算扣除数； 第三步，根据①计算出个税税额 的值． 由于不同应纳税所得额 对应不同的税率与速算扣除数，所以 是 的分段函数． 解：（1）根据表格，可得函数 的解析式为 函数图象如图所示． （2）根据②，小王全年应纳税所得额为 ． 将 的值代入③，得 ． 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元． 课堂练习 1.答案：B 解析：由得.又由，可得，.又，， 故选：B. 2.答案：C 解析：开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢， 后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 3.答案：D 解析：开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 4.答案：AD 解析：根据题意，根据给定的年产量y与时间t的函数关系图，可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确；第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 课后练习 1.答案：C 解析：由题意知，整理得. 2.答案：D 解析：由题意，从0到4逐渐增大， 从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D. 3.答案： 解析：如图，分别过点A，D作，，垂足为G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，，， 所以， 又，所以. ①当点F在BG（不含点B）上，即时，； ②当点F在GH（不含点G）上，即时，； ③当点F在HC（不含点H，C）上，即时，. 所以y与x的函数解析式为 4.答案：；图见解析 解析：（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元）， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以票价与里程之间的函数关系式为. （2）由（1）得函数的图象，如下： 5.答案：（1） （2）单次装箱货物量为5吨时，单次装箱的利润最大，为6万元 解析：（1）由题意可得 因为时，， 所以，解得. （2）由（1）可得当时，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 当时，. 所以当时，L取得最大值6. 所以单次装箱货物量为5吨时，单次装箱的利润最大，为6万元. 学科网（北京）股份有限公司 $