3.1.1函数的概念（第1课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念(第1课时) 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应关系 经历探索函数概念的过程,体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 函数的概念 难点 函数的概念 新课导入 在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如,正方形的周长 与边长 的对应关系是 ,而且对于每一个确定的 都有唯一的 与之对应,所以 是 的函数.这个函数与正比例函数 相同吗?又如,你能用已有的函数知识判断 与 是否相同吗?要解决这些问题,就需要进一步学习函数概念. 知识清单 知识点一:函数的概念 函数的概念:一般地,设A,B是 ,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称 为从集合A到集合B的一个函数,记作 ,.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合 叫做函数的值域. 例题讲解 例题1 (1).某校有一班级,设变量x是该班同学的姓名,变量y是该班同学的学号,变量z是该班同学的身高,变量w是该班同学的数学考试成绩,则下列选项中正确的是( ) A.y是x的函数 B.w是y的函数 C.w是z的函数 D.w是x的函数 (2).下列说法中正确的是( ) A.函数的定义域和值域一定是无限集 B.函数值域中的每一个数,在定义域中都有唯一的数与之对应 C.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素 例题2 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等. 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式 来描述. 课堂练习 1.图中给出的四个对应关系,其中能构成函数的是( ) A.①② B.①④ C.①②④ D.③④ 2.下列说法正确的是( ) A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域可以是空集 C.函数的定义域和值域一定是非空数集 D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了 3.一枚炮弹发射后,经过落到地面击中目标.炮弹的射高为,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为①. 求①所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数. 课后练习 1.下列变量之间的关系,是函数关系的是( ) A.光照时间和果树的亩产量 B.某地蔬菜的价格和蔬菜的供应量 C.等边三角形的边长和面积 D.等腰三角形的底边长和面积 2.设,,给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( ) A.B.C.D. 3.下列四个式子中,y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 4.中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数,则此为彼之函数”.已知集合,,给出下列四个对应关系:①,②,③,④,其中能构成从M到N的函数的是( ) A.①③ B.①② C.③④ D.②④ 5.(多选)已知集合,,,,则下列能构成从集合M到集合N的对应关系的是( ) A. B. C. D. 6.(多选)集合A,B与对应关系f如图所示,则是从集合A到集合B的函数的是( ) A. B.C. D. 答案以及解析 知识清单 1.非空的实数集 任意 唯一确定 定义域 函数值 例题讲解 例题1 (1).答案:B 解析:因为姓名不是数集,故A,D不成立.又成绩与身高无必然联系,不能构成函数,故C错误.根据函数定义可知,数学考试成绩与学号之间存在函数关系,故选B. (2).答案:D 解析:函数的定义域和值域也可以是有限集,A错误.对于定义域中的每一个数x,在值域中都有唯一的数y和它对应,反之则不然,故B错误,D正确,C显然错误. 故选:D. 例题2 解析:把 看成二次函数,那么它的定义域是 ,值域是 .对应关系 把 中的任意一个数 ,对应到 中唯一确定的数 . 如果对 的取值范围作出限制,例如 ,那么可以构建如下情境: 长方形的周长为 20 ,设一边长为 ,面积为 ,那么 . 其中, 的取值范围是 的取值范围是 .对应关系 把每一个长方形的边长 ,对应到唯一确定的面积 . 课堂练习 1.答案:B 解析:对于①和④,集合M中的每一个数,在集合N中都有唯一确定的数和它对应,符合函数的概念,故①和④满足题意. 对于②,集合M中的1,4在集合N中无元素对应,不满足题意. 对于③,集合M中的1,2在集合N中都有两个数对应,出现一对多的情况,不满足题意. 故选:B. 2.答案:C 解析:由函数的定义知,函数值域中的每一个数在定义域中可以有多个数与之对应,A错误; 函数的定义域和值域都不是空集,B错误; 函数的定义域和值域一定是非空数集,C正确; 函数的定义域和值域相同,但函数的对应关系可以不同,如定义域和值域均为的函数, 对应关系可以是,,还可以是,,D错误. 3.答案:见解析 解析:定义域为,值域为.对应关系把集合A中的任意一个数t,对应到集合B中唯一确定的数. 课后练习 1.答案:C 解析:根据函数定义可知选C. 2.答案:B 解析:对于A,由于M中的元素2在N中无元素与之对应,因此不能表示从M到N的函数关系; 对于C,M中的元素2的对应元素为3,不在N中,因此不能表示从M到N的函数关系; 对于D,M中的元素2在N中有两个元素与之对应,因此不能表示从M到N的函数关系. 3.答案:C 解析:对于A,D,并非对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应, 所以y不是x的函数; 对于B,因为不等式组无解, 所以不存在实数x,使有意义,所以y不是x的函数; 对于C,中,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应,所以y是x的函数.故选C. 4.答案:C 解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应.对于①,,当时,,故①不满足题意;对于②,,当时,,故②不满足题意;对于③,,当时,,当时,,当时,,故③满足题意;对于④,,当时,,当时,,当时,,故④满足题意.故选C. 5.答案:BD 解析: A ,但. B √ 对任意,都有. C ,但. D √ 对任意,都有. 6.答案:AC 解析:选项A:集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的,是函数, 选项B:集合A中存在元素3在集合B中没有对应的,不是函数, 选项C:集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的,是函数, 选项D:集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应,不是函数. 故选:AC. 学科网(北京)股份有限公司 $