14.3角平分线第1课时教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3角平分线 第1课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十四章“全等三角形”的第三节。内容包括：角平分线的定义；角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）；角平分线性质定理的证明与简单应用。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节是“全等三角形”判定与性质的延续应用，角平分线性质定理是通过全等三角形证明的第一个重要几何定理，为后续学习“线段垂直平分线性质”“轴对称”等内容提供思维范式。同时，它是解决“距离相等”“角度相等”相关几何问题的核心依据，兼具理论性和实用性。 核心要点：重点是理解并掌握角平分线的性质定理，能运用定理进行简单推理和计算；难点是角平分线性质定理的证明过程（构建全等三角形的辅助线添加思路），以及“点到角两边的距离”这一概念的准确理解（需明确“距离”是垂线段的长度）。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能复述角平分线的性质定理；会用全等三角形证明该定理；能运用定理解决“已知角平分线，求垂线段长度关系”的简单问题。 2、通过“观察猜想—动手验证—逻辑证明—应用拓展”的过程，培养几何直观能力、逻辑推理能力，体会“从特殊到一般”的数学思想。 3、感受几何定理的严谨性，激发对逻辑推理的兴趣，培养规范书写证明过程的习惯。 （二）教学目标解析 1、理解概念：明确“点到角两边的距离”是“过该点分别作角两边的垂线，垂线段的长度”，区别于“点到线段的距离”。 2、文字表述：能准确说出“角平分线上的点到角的两边的距离相等”； 3、应用定理：能在具体图形中识别角平分线和垂线段，直接运用定理得出线段相等（如已知角平分线和一条垂线段长度，求另一条垂线段长度）。 三、学生学情分析 已有基础 已掌握角平分线的定义（从一个角的顶点出发，把角分成相等的两个角的射线），能通过测量、折纸等方法画出角平分线。 已熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质，具备证明线段相等、角相等的理论基础。 已理解“点到直线的距离”的概念（垂线段的长度），能过一点作已知直线的垂线。 存在困难 概念混淆：易将“点到角两边的距离”误解为“点到角两边上任意一点的线段长度”，忽略“垂线段”的要求。 辅助线添加：证明性质定理时，难以自主想到“过角平分线上的点作角两边的垂线”这一辅助线，缺乏“构造全等三角形所需条件”的主动意识。 定理应用：在复杂图形中，无法快速识别“角平分线”和“垂线段”这两个定理应用的关键条件，导致不会调用定理解题。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】探究并证明角平分线的性质 四、教学策略分析 1、直观感知法：通过“折纸实验”（将角对折，使两边重合，观察折痕上的点到两边的距离）和“几何画板动态演示”（拖动角平分线上的点，观察垂线段长度始终相等），让学生直观感知性质定理，激发猜想。 2. 问题引导法：围绕定理证明设计递进式问题，如“要证PD=PE，常用什么方法？”（证三角形全等）→“需要构造哪两个三角形？”，引导学生自主构建证明思路。 3. 对比辨析法：展示“点到角两边的距离”和“点到角两边上任意点的线段”的对比图，明确“垂线段”是关键，强化概念理解。 4. 分层练习法：设计“基础题（直接套用定理）—中档题（结合垂直条件识别）—拓展题（简单综合应用）”的练习梯度，逐步提升学生的应用能力。 五、教学过程分析 （一）情境引入 情境：折纸实验：让学生将准备好的角形纸片对折，使两边重合，得到折痕（角平分线）；在折痕上任意取一点，过这个点作两边的垂线，用尺子测量垂线段的长度，发现“长度相等”。 引导过渡：“通过折纸实验，我们猜想‘角平分线上的点到角两边的距离相等’，这个猜想是否成立？需要通过严谨的几何证明，这就是本节课的核心内容。”设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一：探究角的平分线的尺规作图方法． 1．探究：如上图，PM与PN相等吗？当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN? 提示： ∠POM＝∠PON，OP＝OP； 如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN(SAS). 2．思考：如图，反过来，OM＝ON，点P在∠AOB的内部，PM＝PN. 过点P画射线OC，你有什么发现？由此，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线OC. 动画展示作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧在∠AOB的内部相交于点C； (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线． 活动二：探究角的平分线的性质． 1．探究：当角平分线上的点与边上点所连线段与边垂直时，会出现什么情况呢？ 动手做一做： (1)画∠AOB； (2)用尺规作∠AOB的平分线OC； (3)在OC上任意取点P1，P2，P3，…，在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…….分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？ 可以发现，P1D1＝P1E1、P2D2＝P2E2、P3D3＝P3E3，…，由此我们猜想角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 2．思考：怎样证明我们的猜想“角的平分线上的点到角两边的距离相等”呢？ 提示：证明这个猜想，首先要分清其中的“已知”和“求证”．已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证． 如图，已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD＝PE. 归纳： (1)角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 它可以证明垂线段相等，推理格式如下： ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE(角的平分线上的点到角两边的距离相等). 例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等. 作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2)分别以点C，D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E. (3)作射线OE，交MN于点P，点P即为所求. 例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG. 证明 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°. 在△PDF和△PEG中， ∴ △PDF≌△PEG(SAS). ∴ PF=PG. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5    第1题图 第2题图 第3题图 4．如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 5．如图，中，点D在边上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．     4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $