专题03 三角形（宁夏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 三角形 考点1 三角形面积及三角形的中位线定理 （2024•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s． 下列结论： ①当t＝2s时，四边形ABCP的周长是10cm； ②当t＝4s时，点P到直线l2的距离等于5cm； ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变． 其中正确的是（　　） A． ①④ B．②③ C．①③ D．②④ 考点2 等腰直角三角形的性质 1．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．2 B．22 C．2 D．2 考点3 全等三角形的判定和性质 1.（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　 　 .（只写一个） 2.（2023•宁夏）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　） A． B． C． D． 3.（2023•宁夏）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 考点4 三角函数在几何计算中应用 1.（2021•宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　 　 m．（结果精确到1m）． （参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4） 2.（2022•宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 　 　 米（精确到1米）． （参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04） 3.（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　 cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 4.（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　） A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数 考点5 解直角三角形的实际应用 1.（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计） 考点6 尺规作图 1．（2022•宁夏）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）． （1）画出该平面直角坐标系xOy； （2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1； （3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 2．（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022•宁夏）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D． （1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E； （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形． 4．（2024•宁夏）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，以AB为直径的⊙O经过点D，点P是边AC上一点（不与点A，C重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分； （2）在边AB上找一点P′，使得BP′＝CP． 5．（2025•宁夏）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点D作BC的垂线段； （2）过点E作BC的平行线． 6．（2025•宁夏）如图，点P在直线l外． ①在直线l上任取一点A，连接AP； ②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B； ③分别以点P和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ； ④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C； ⑤连接CB，CP． （1）由②得AP与AB的数量关系是 　 　 ；由③得到的结论是 　 　 ． （2）求证：四边形ABCP是菱形． 1.（2025•宁夏一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△AEC的面积等于四边形AFBE的面积；③∠BAD＝∠AEC；④BE2+DC2＝DE2；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①② 2．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①CF＝CD；②∠F＝67.5°；③AE＝2BE；④AB﹣BD＝2CD，其中正确的结论是 　 　 .（写序号） 3.（2025•金凤区校级三模）宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒AB的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面200m的C点，测得风电塔筒顶端A的俯角为21°，再将无人机沿水平方向飞行40m到达点D，测得风电塔筒底端B的俯角为45°，则风电塔筒AB的高度约为 　 　 m． （结果精确到1m，参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 4．（2025•利通区校级三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的中线，AE是∠CAD的平分线，DF∥AC交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　 ． 5．（2025•兴庆区校级二模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，长阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为 　 　 米． 6．（2025•宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 　 　 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 7．（2025•中宁县模拟）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m，起重臂AB长为6.1m，∠ABH＝125°，楼高FG为14.4m，操作平台A在FG上． （结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） （1）求此时操作平台A离地面的高度AG； （2）若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 8．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．2 B．22 C．2 D．2 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 考点1 三角形面积及三角形的中位线定理 （2024•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s． 下列结论： ①当t＝2s时，四边形ABCP的周长是10cm； ②当t＝4s时，点P到直线l2的距离等于5cm； ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变． 其中正确的是（　　） A． ①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【分析】①根据t＝2s时得出四边形ABCP为矩形，据此可解决问题． ②根据“平行线间的距离处处相等”即可解决问题． ③根据②中的发现即可解决问题． ④利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】解：①当t＝2s时， AP＝2cm， 则AP＝BC． 又因为AP∥BC，∠ABC＝90°， 所以四边形ABCP是矩形， 所以PC＝AB＝3cm， 所以四边形ABCP的周长为：2×（2+3）＝10（cm）． 故①正确． 因为“平行线间的距离处处相等”，AB＝3cm，∠ABC＝90°， 所以直线l1与直线l2之间的距离是3cm， 所以当t＝4s时，点P到直线l2的距离仍然是3cm． 故②错误． 由上述过程可知， 点P到BC的距离为定值3cm， 即△PBC的BC边上的高为3cm， 又因为BC＝2cm， 所以△PBC的面积为定值． 故③错误． 因为点D，E分别是线段PB，PC的中点， 所以DE是△PBC的中位线， 所以DE（cm）， 即线段DE的长度不变． 故④正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理及三角形的面积公式是解题的关键． 考点2 等腰直角三角形的性质 1．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．2 B．22 C．2 D．2 【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝45°＝∠ACD， ∴AD＝CD＝2cm， 在Rt△BCD中，∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴BC＝2CD＝4cm， ∴BD2（cm）， ∴AB＝BD﹣AD＝（22）（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点3 全等三角形的判定和性质 1.（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　 　 .（只写一个） 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC， 故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【分析】①根据t＝2s时得出四边形ABCP为矩形，据此可解决问题． ②根据“平行线间的距离处处相等”即可解决问题． ③根据②中的发现即可解决问题． ④利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】解：①当t＝2s时， AP＝2cm， 则AP＝BC． 又因为AP∥BC，∠ABC＝90°， 所以四边形ABCP是矩形， 所以PC＝AB＝3cm， 所以四边形ABCP的周长为：2×（2+3）＝10（cm）． 故①正确． 因为“平行线间的距离处处相等”，AB＝3cm，∠ABC＝90°， 所以直线l1与直线l2之间的距离是3cm， 所以当t＝4s时，点P到直线l2的距离仍然是3cm． 故②错误． 由上述过程可知， 点P到BC的距离为定值3cm， 即△PBC的BC边上的高为3cm， 又因为BC＝2cm， 所以△PBC的面积为定值． 故③错误． 因为点D，E分别是线段PB，PC的中点， 所以DE是△PBC的中位线， 所以DE（cm）， 即线段DE的长度不变． 故④正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理及三角形的面积公式是解题的关键． 2.（2023•宁夏）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质得出AD＝AE，∠DAE＝90°，再根据SAS证明△EAB≌△DAC得出∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，得出∠EBC＝90°，再根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠EAB+∠BAD＝90°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠EAB＝∠CAD， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°， ∵BC＝2，BD：CD＝1：3， ∴BD，CD＝BE， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据SAS证明△EAB≌△DAC是解题的关键． 3.（2023•宁夏）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【分析】根据平行线的性质和判定证得EB∥DC，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【解答】证明：∵EF∥AC， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝∠CBE， ∴∠CBE+∠C＝180°， ∴EB∥DC， ∵DE∥BC，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得EB∥DC是解决问题的关键． 考点4 三角函数在几何计算中应用 1.（2021•宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 　 　 m．（结果精确到1m）． （参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4） 【分析】设OE＝x m，AE＝BF＝y m，然后结合角的正切值列方程组求解，从而求得AD的高度． 【解答】解：如图： 由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形， ∴AB＝EF＝0.45m，OC＝ED＝1.7m， 设OE＝x m，AE＝BF＝y m， 在Rt△AOE中，tan42°， ∴， 在Rt△BOF中，tan35°， ∴， 联立方程组，可得， 解得：， ∴AD＝AE+ED3（m）， 故答案为：3． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义，利用角的正切值列方程组是解题关键． 2.（2022•宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 　 　 米（精确到1米）． （参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04） 【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝x m，则AF＝（50+x）m，DF＝（x﹣14）m，利用tan46°12′1.04，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得， OB48（m）， ∴AF＝OE＝OB+BC+CE＝48+2+CE， ∵∠CDE＝45°，∠DEC＝90°， ∴DE＝CE， 设DE＝CE＝x m， 则AF＝（50+x）m，DF＝（x﹣14）m， ∵∠ADE＝46°12′． ∴tan46°12′1.04， 解得x≈1614， ∴CE＝1614米， 故答案为：1614． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和DF的长是解题的关键． 3.（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　 cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 【分析】过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G，先利用平角定义可得∠ABG＝60°，然后分别在Rt△ABG和Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G， ∵∠ABE＝120°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABE＝60°， 在Rt△ABG中，AB＝2cm， ∴AG＝AB•sin60°＝2（cm）， 在Rt△BCF中，∠EBC＝80°，BC＝11cm， ∴CF＝BC•sin80°≈11×0.9848＝10.8328（cm）， ∵器身底部CD距地面的高度为21.5cm， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度＝AG+CF+21.510.8328+21.5≈34.1（cm）， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度约为34.1cm， 故答案为：34.1． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4.（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　） A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数 【分析】延长DC交EF于点H，根据三角函数的定义得到CH，DH，由CD＝DH﹣CH，求出EH，即可求出EF，即可得到答案． 【解答】解：如图，延长DC交EF于点H． 由题意知CD＝AB，FH＝1.5+2＝3.5（米）， 在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，tan∠ECH， ∴CH， 在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，tan∠EDH， ∴DH， ∵CD＝DH﹣CH， ∴AB， ∴EH， ∴EF＝EH+FH＝（3.5）（米）． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 考点5 解直角三角形的实际应用 1.（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计） 【分析】设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，则AC∥MN，由弧长公式求出AB的长，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC， 则AC∥MN， 由弧长公式得：π（cm）， ∵AC∥MN， ∴∠BAC＝∠NMA＝30°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴BCAB（cm）， 答：传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，弧长公式以及含30°角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点6 尺规作图 1．（2022•宁夏）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）． （1）画出该平面直角坐标系xOy； （2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1； （3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1； （3）根据平行四边形的性质即可画出图形． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，线段A1B1即为所求； （3）如图，平行四边形AOBD即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，作图﹣旋转变换，熟练掌握各性质是解题的关键． 2．（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x， 由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG＝x， 在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3，即AG＝3， 故选：B． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出AG＝BG是解题的关键． 3．（2022•宁夏）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D． （1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E； （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可． （2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝EC， ∵AB＝BC， ∴AB＝EC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCE为菱形． 【点评】本题考查尺规作图、菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 4．（2024•宁夏）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，以AB为直径的⊙O经过点D，点P是边AC上一点（不与点A，C重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分； （2）在边AB上找一点P′，使得BP′＝CP． 【分析】（1）过A，D两点画直线AD．利用点D是边BC的中点和三角形面积公式可判断直线AD满足条件； （2）连接BP交AD于点E，连接CE并延长交AB于点P，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则△ABC为等腰三角形，然后利用对称性可得到点P′满足条件． 【解答】解：（1）如图，直线AD为所作； （2）如图，点P′为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理． 5．（2025•宁夏）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点D作BC的垂线段； （2）过点E作BC的平行线． 【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形； （2）取格点T，组哟直线ET即可． 【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求； （2）如图，直线ET即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 6．（2025•宁夏）如图，点P在直线l外． ①在直线l上任取一点A，连接AP； ②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B； ③分别以点P和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ； ④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C； ⑤连接CB，CP． （1）由②得AP与AB的数量关系是 　 　 ；由③得到的结论是 　 　 ． （2）求证：四边形ABCP是菱形． 【分析】（1）利用作图痕迹判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：由②得AP与AB的数量关系是AP＝AB；由③得到的结论是AQ平分∠PAB． 故答案为：AP＝AB，AQ平分∠PAB． （2）证明：由作图可知PA＝AB＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， 由作图可知AQ平分∠PAB， ∴∠PAC＝∠CAB， ∴∠PCA＝∠CAB， ∴PC∥AB， ∵PC＝AB， ∴四边形ABCP是平行四边形， ∵AP＝AB， ∴四边形ABCP是菱形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 1.（2025•宁夏一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△AEC的面积等于四边形AFBE的面积；③∠BAD＝∠AEC；④BE2+DC2＝DE2；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①② 【分析】利用图形的旋转不变性得到△ADC≌△AFB，∠DAF＝90°，利用SAS公理即可判定△AED≌△AEF；利用等腰直角三角形可以验证结论正确；利用全等三角形的面积相等，可得S△ADC＝S△AFB，根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝S△ABF+S△ABD＝S四边形AFBD，可得的结论正确；利用已知条件得到∠FBE＝90°，利用勾股定理和等量代换可得结论正确． 【解答】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴△ADC≌△AFB，∠DAF＝90°． ∴AF＝AD． ∵∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝90°﹣∠EAD＝45°． ∴∠FAE＝∠DAE． 在△AED和△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（SAS）． ∴①的结论正确； ∵AB＝AC， ∴∠ABE＝∠ACD＝45°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠BAD＝45°+∠BAE，∠AED＝45°+∠BAE， ∴∠BAD＝∠AEC， ∴③的结论正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴S△ADC＝S△AFB． ∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝S△ABF+S△ABD＝S四边形AFBD， ∴②的结论正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD，∠FBA＝∠C＝45°． 在Rt△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°． ∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°． ∴BF2+BE2＝EF2． ∴CD2+BE2＝EF2． 由①得：△AED≌△AEF， ∴EF＝DE． ∴CD2+BE2＝DE2． ∴④的结论正确； 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用图形的旋转不变性是解题的关键． 2．（2025•宁夏中宁县模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①CF＝CD；②∠F＝67.5°；③AE＝2BE；④AB﹣BD＝2CD，其中正确的结论是 　 　 .（写序号） 【分析】①正确．只要证明△ADC≌△BFC，即可得CF＝CD； ②正确．由△ADC≌Rt△BFC，利用直角三角形两个锐角互余可直接得出结论； ③错误．证明△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质，故BEBF，由AE≠BF，故AE≠2BE； ④正确．根据AC＝BC，CF＝CD，AF＝AB，利用线段的和差即可解答． 【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°， ∵∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°， ∴∠EAF＝∠FBC， 在△ACD与△BFC中， ， ∴△ADC≌△BFC， ∴CF＝CD，故①正确； ②∵△ADC≌△BFC， ∴∠CBF＝∠EAF＝22.5°， ∴∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°，故②正确； ③∵∠CAB＝45°， ∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴AF＝AB， ∴△ABF是等腰三角形， ∵BE⊥AD， ∴BEBF， ∵AE≠BF， ∴AE≠2BE，故③错误； ④∵AC＝BC，CF＝CD，AF＝AB， ∴AF＝AC+CF＝BC+CD＝BD+CD+CD＝BD+2CD＝AB， ∴AB﹣BD＝2CD，故④正确． 所以①②④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形是解答此题的关键，学会通过计算证明角相等． 3.（2025•金凤区校级三模）宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒AB的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面200m的C点，测得风电塔筒顶端A的俯角为21°，再将无人机沿水平方向飞行40m到达点D，测得风电塔筒底端B的俯角为45°，则风电塔筒AB的高度约为 　 　 m． （结果精确到1m，参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 【分析】延长BA交CD的延长线于点E，在Rt△BED中，根据∠BDE＝45°，得出△BED为等腰直角三角形，说明DE＝BE＝200m，在Rt△CEA中根据∠ECA＝21°，，进而求出结果即可． 【解答】解：如图2，延长BA交CD的延长线于点E，则∠BED＝90°， ∵无人机垂直上升至距水平地面200m的C点， ∴BE＝200m． 在Rt△BED中，∠BDE＝45°， ∴△BED为等腰直角三角形， ∴DE＝BE＝200m， ∴CE＝CD+DE＝200+40＝240（m）， 在Rt△CEA中，∠ECA＝21°，， ∴EA＝CE•tan∠ECA＝240×tan21°≈240×0.38≈91.2（m）， ∴AB＝BE﹣EA＝200﹣91.2≈109（m）， 故答案为：109． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确构造直角三角形是解题的关键． 4．（2025•利通区校级三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的中线，AE是∠CAD的平分线，DF∥AC交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　 ． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，再根据AE是∠CAD的平分线，DF∥AC，可得∠DFA＝∠CAF＝∠DAF，从而得出，据此求解即可． 【解答】解：∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠B＝∠C＝45°， ∵AE是∠CAD的平分线， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵DF∥AC， ∴∠DFA＝∠CAF＝∠DAF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点． 5．（2025•兴庆区校级二模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，长阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为 　 　 米． 【分析】过点E作 EI⊥AD 于点1．利用三角函数得出，根据勾股定理得出 AE＝0.5，根据等腰三角形的性质可得AI＝ID＝0.4，最后利用勾股定理求得AE，即可． 【解答】解：如图2，过点E作 EI⊥AD于点I， ∵∠FDG＝90°， ∴∠ADE+∠BDG＝90°， ∵∠ABG＝90°， ∴∠BGD+∠BDG＝90°， ∴∠BGD＝∠ADE， ∴GD∥FH， ∴∠BGD＝∠α， ∴∠ADE＝∠α， ∵， ∴， ∵AB长为 2.5米，BD＝1.7 米，AE＝DE， ∴（米）， ∴IE＝0.3 （米）， ∴（米）， 故答案为：0.5． 【点评】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰三角形性质的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 6．（2025•宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 　 　 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， 由题意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADC中，tan∠CAD， ∴CD＝AD•tan37°≈30×0.75＝22.5（米）， 在Rt△ADB中，tan∠BAD， ∴BD＝AD•tan60°＝3030， ∴BC＝BD+CD＝22.5+3073.5（米）， 即这栋楼的高度BC是73.5米． 故答案为：73.5． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 7．（2025•中宁县模拟）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m，起重臂AB长为6.1m，∠ABH＝125°，楼高FG为14.4m，操作平台A在FG上． （结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） （1）求此时操作平台A离地面的高度AG； （2）若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 【分析】（1）如图：过点B作BM⊥FG，垂足为点M，则四边形BHGM为矩形，AB＝6.1m，BH＝3.4m，∠ABH＝125°，进而得到∠ABM＝35°，再解直角三角形可得AM≈3.477m，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接BF，由题意可知，FG＝14.4m，AB最长为13m，再解直角三角形可得BM＝ABcos35°≈5.0m，即FM＝FG﹣MG＝11m，再根据勾股定理可得BF2＝146m2，则132＝169＞146即可判断． 【解答】解：（1）如图：过点B作BM⊥FG，垂足为点M，则四边形BHGM为矩形，AB＝6.1m，BH＝3.4m，∠ABH＝125°， ∴MG＝BH＝3.4m，∠HBM＝90°，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠ABH﹣∠HBM＝125°﹣90°＝35°， ∵在Rt△ABM中，， ∴AM＝ABsin35°＝6.1×0.57≈3.477（m）， ∴AG＝AM+MG＝3.477+3.4＝6.9（m）． 答：操作平台A离地面的高度约为6.9m． （2）解：能，理由如下： 如图：连接BF，由题意可知，FG＝14.4m，AB最长为13m， ∵在 Rt△ABM中，， ∴BM＝ABcos35°＝6.1×0.82≈5.0（m）， ∴FM＝FG﹣MG＝14.4﹣3.4＝11（m）， ∴在 Rt△FBM 中，根据勾股定理得：BF2＝BM2+FM2， ∴BF2＝5.02+112＝146（m2）， ∵132＝169＞146， ∴操作平台A能到达楼顶F． 【点评】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $